ифференциальное исчисление функций нескольких переменных

лементы линейной алгебры и аналитической геометрии

11-20. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:

1) длину ребра АВ;

2) угол между ребрами АВ и AS;

3) угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;

4) площадь основания пирамиды;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой АВ;

7) уравнение плоскости АВС;

8) проекцию вершины S на плоскость АВС;

9) длину высоты пирамиды.

 

11. А(-2;0;0); В(0;3;0); C(0;0;1); S(0;2;3).

12. А(4;0;0); В(0;-8;0); C(0;0;2); S(4;6;3).

13. А(-2;0;0); В(0;6;0); C(0;0;2); S(-1;6;4).

14. А(1;0;0); В(0;2;0); C(0;0;2); S(1;1;4).

15. А(-3;0;0); В(0;-2;0); C(0;0;1); S(-2;-1;3).

16. А(6;0;0); В(0;-3;0); C(0;0;2); S(4;-3;4).

17. А(3;0;0); В(0;-6;0); C(0;0;1); S(1;-3;3).

18. А(-4;0;0); В(0;4;0); C(0;0;2); S(-2;4;3).

19. А(-6;0;0); В(0;2;0); C(0;0;3); S(-3;2;5).

20. А(-1;0;0); В(0;5;0); C(0;0;2); S(-1;3;4).

 

41-50. На плоскости дана линия своим уравнением в полярной системе координат r=r(φ). Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ допустимые значения через промежуток , начиная от φ =0 до φ =2 π; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить какая это линия.

41. . 42. .

43. . 44. .

45. . 46. .

47. . 48. .

49. . 50. .

 

51-60. Дана система линейных уравнений:

Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.

 

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

 

 

71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

 

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

 

91-100. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z³+a=0.

 

91. . 92. .

93. . 94. .

95. . 96. .

97. . 98. .

99. . 100. .

101-105. Построить график функции преобразованием графика функции

101. ; 102. ;

103. ; 104. ;

105. .

 

 

106-110. Построить график функции преобразованием графика функции .

106. 107. ;

108. 109. ;

110. .

111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

111. а) ; б) ;

в) ; г) .

112. а) ; б) ;

в) ; г) .

113. а) ; б) ;

в) ; г) .

114. а) ; б) ;

в) ; г) .

115. а) ; б) ;

в) ; г) .

116. а) ; б) ;

в) ; г) .

117. а) ; б) ;

в) ; г) .

118. а) ; б) ;

в) ; г) .

119. а) ; б) ;

в) ; г) .

120. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

131 – 140. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

 

2. Производная и её приложение

141-150. Найти производные данных функций.

141. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

142. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

143. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

 

144. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

145. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

146. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

147. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

148. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

149. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

150. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

 

151-160. Найти и .

151. а) ; б) .

152. а) ; б) .

153. а) ; б) .

154. а) ; б) .

155. а) ; б) .

156. а) ; б) .

157. а) ; б) .

158. а) ; б) .

159. а) ; б) .

160. а) ; б) .

 

риложения дифференциального исчисления

101-110. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

 

191. . 192. .

193. . 194. .

195. . 196. .

197. . 198. .

199. . 200. .

 

ифференциальное исчисление функций нескольких переменных

231. Дана функция .

Показать, что .

232. Дана функция .

Показать, что .

233. Дана функция .

Показать, что .

234. Дана функция .

Показать, что .

235. Дана функция .

Показать, что .

236. Дана функция . Показать, что .

.

237. Дана функция .

Показать, что .

238. Дана функция .

Показать, что .

 

239. Дана функция .

Показать, что .

240. Дана функция .

Показать, что .

 

251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

251. z=x ² +y ² - 9 xy+ 27; 0≤ x ≤3, 0≤ y ≤3.

252. z=x ² + 2 y ² + 1; x ≥0, y ≥0, x + y ≤3.

253. z= 3-2 x ² -xy - y ²; x ≤1, у ≤ х, у ≥0.

254. z=x ² + 3 y ²+x-y; x ≥1, y ≥-1, х+y ≤1.

255. z=x ² + 2 xy +2 y ²; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤2.

256. z= 5 x ² - 3 xy + y ² + 4; x ≥-1, y ≥-1, х+y ≤1.

257. z= 10+2 xy - x ²; 0≤ y ≤4- x ².

258. z=x ²+2 xy -y ² + 4 x; x ≤0, y ≤0, х+y +2≥0.

259. z=x ² + xy -2; 4 x ²-4≤ y ≤0.

260. z=x ²+ xy; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤3.

 

261-270. Дана функция z=z(x, y), точка А(х₀, у₀) и вектор . Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .

261. .

262. .

263. .

264. .

265. .

266. .

267. .

268. .

269. .

270. .

 

5. Неопределённый и определённыё интегралы

 

281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.

281. а) ; б) ;

в) ; г) .

282. а) ; б) ;

в) ; г) .

283. а) ; б) ;

в) ; г) .

284. а) ; б) ;

в) ; г) .

285. а) ; б) ;

в) ; г) .

286. а) ; б) ;

в) ; г) .

287. а) ; б) ;

в) ; г) .

288. а) ; б) ;

в) ; г) .

289. а) ; б) ;

в) ; г) .

290. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

30 1. . 30 2. .

30 3. . 30 4. .

30 5. . 306. .

30 7. . 30 8. .

30 9. . 310. .

 

ифференциальные уравнения

321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.

321. . 322. .

323. . 324. .

325. . 326. .

327. . 328. .

329. . 330. .

 

341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

341. ; , .

342. ; , .

343. ; , .

344. ; , .

345. ; , .

346. ; , .

347. ; , .

348. ; , .

349. ; , .

350. ; , .