Закономерности случайных и хаотических блужданий можно понять, используя простую модель, которая легко реализуется с помощью компьютера.
N частиц (которые в начальный момент для удобства наблюдений распределены на оси y) смещаются последовательными шагами ∆x вдоль оси x. Каждый шаг каждой частицы выбирается случайным и независимым от других шагов. Однако распределение вероятностей при выборе любого шага одно и то же. Также принимается, что смещения в противоположные стороны равновероятны.
Рассмотрим модель пьяницы. Зададим блуждание точки по горизонтальной линии по правилу: точка равновероятно перемещается как влево, так и вправо на заранее заданное конечное расстояние а. Необх-мо определить, преодолеет ли точка когда-нибудь конечное расстояние х. Генерируем случайное число ]0;1[. Если число>0,5, то точка проходит на расстояние а вправо, если <0,5 – то влево, если =0,5 - считаем выборку незначимой и генерируем новое число. Соотв-но складываем или вычитаем расстояния. Повторяем данные действия, пока точка не пройдет необх-мое расстояние х. Мы можем убедиться экспериментально в том, что время ожидания решения задачи зависит только от данных величин а и х. Другими словами, задача всегда имеет решение.
Модель случайного и хаотического блуждания обладает большой общностью: например, с ее помощью можно вычислить процессы рождения и гибели в биологической популяции или определить равновесную – установившуюся длину очереди за каким-либо товаром.
6. Дифференциальные уравнения как средство моделирования реальных процессов.
При моделировании динамических процессов прослеживаются изменения величин, характеризующих процесс, во времени и/или в пространстве.
В классической физике, механике, биологии и других науках процессы чаще всего непрерывны. Адекватным математическим языком их описания являются дифференциальные уравнения.
Примерами использования дифф-х ур-ний в физике могут являться: ур-ние колебания струны (как конечной, так и бесконечной), ур-ние теплоповодности для конечного и бесконечного стержня и т.д.
С помощью дифференц-х ур-ний можно создавать модели, получаемые из фундаментальных законов природы, т.е. модели, следующие из законов Архимеда, Ньютона, Кулона и других известных законов. Примерами таких моделей могут быть: модель траектории подводной лодки (з-н Архимеда: выталкивающая сила, g-ускорение своб-го падения, V-объем тела, -плотность воды), отклонение заряженной частицы в электронно-лучевой трубке (з-н Кулона: сила притяжения F=q1q2/r2).
Одна и та же модель может описывать различные системы, н-р, линейное дифф-ное ур-ие II порядка с полож-ми постоянными коэфф-тами служит моделью электрического колебательного контура и в то же время моделью малых колебаний маятника в сопротивляющейся среде.
Большинство моделей, описывающих баланс вещества (воды, воздуха, химических компонентов и т.д.) в геосферах, используют уравнения в частных производных. В их числе движение воды в морях, океанах и озерах, движение ледников и воздушных масс, перенос вещества и распространение загрязнений в геосферах и т.д. Характерным процессом, который описывается уравнениями в частных производных, является движение подземных вод.
В практике геоэкологического моделирования часто приходится иметь дело с задачами, в которых требуется учитывать не одну, а несколько переменных. Так, подавляющее большинство исследований должно быть привязано к карте, значит, необходимо учитывать уже минимум две координаты, а, возможно, и высотную отметку; часто необходимо исследовать процесс во времени, а это еще одна переменная, и т.д. Поэтому здесь используются диффер-ные ур-ния, включающие несколько переменных.
Дифф-ные, в том числе обыкновенные дифф-ные, ур-ия часто исполь-ся для матем-го модел-ния природных процессов. Наиболее известные примеры - кинетика химических (биохимических) реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, задачи экономики природопользования.
В дифф-ное ур-ие порядка n в качестве неизвестных величин входят функция y(x) и ее производные порядка n по аргументу x:
f(x,y,y',...,y(n))=0
Пример. Модель типа жертва-хищник.
Основы взаимодействия между простыми популяциями типа жертва - хищник несложно выразить математически. Пусть популяция кроликов будет жертвами, популяция лис - хищниками. Предположим, что кроме кроликов, лисы ничего не едят, а в отсутствие лис кролики размножаются неограниченно. Тогда скорость увеличения популяции кроликов будет
dx/dt = ax
а популяции лис:
dy / dt = -py
где x - размеры популяции кроликов, t - время, a – коэфф-т рождаемости кроликов, y -размеры популяции лис, p - коэфф-т смертности лис. Из последнего уравнения следует, что в отсутствие кроликов лисы не размножаются.
Взаимодействие популяций можно учесть следующим образом (для кроликов):
dx / dt = ax - bxy
где b - число кроликов, съеденных лисами в единицу времени. Для лис:
dy / dt = cxy - py
где c – коэфф-т, выражающий увеличение популяции лис вследствие "поедания" кроликов. Получили систему из двух линейных дифф-ных ур-ий.
Т.о.моделир-ние присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных специальностей – исследов-лей, политиков, экономистов, военачальников и др. Привнесение в эти сферы точного знания помогает ограничить интуитивное умозрительное моделирование, расширяет поле приложений рациональных методов.
7. Имитационное моделирование
Имитационное моделирование – это метод исследования, основанный на том, что изучаемая система заменяется имитатором и с ним проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с имитатором называют имитацией (имитация — это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).
Имитационная модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта. Такие модели представляют собой компьютерную программу, которая шаг за шагом воспроизводит события, происходящие в реальной системе.
Исп в тех случаях, когда невозможно построить достат точную модель. Один из самых быстрых способов получения работоспос моделей, кот позволяет достат быстро начать эксперим над получ мод. Эл-ты моделир объекта в имитац моделир предст как черные ящики. В них есть входы, описыв-е экзогенными переменными, выходы, характериз действие, выполн черн ящиками.
Случаи целесообразного исп:
1) если оно позвол эксперим исслед сложные внутр взаимод в рассм сист.
2) необход детальное наблюд имитируемой системы
3) имитация позвол изучать динамич с-мы в реальном или приведенном режиме времени.
Шаги:
1. Верификация (проверка) модели
2. Оценка адекватности
3. Проблемный анализ (формиров значимых параметров).
Преимущество: возможность подмены процесса смены событий в исследуемой системе в реальном масштабе времени на ускоренный процесс смены событий в темпе работы программы.
Имитационное моделирование включает в себя:
- концептуальное моделирование (на ранних этапах формирования имитационной модели),
- логико-математическое (включая методы ИИ) – для целей описания отдельных подсистем модели;
- компоненты физического (натурного) моделирования;
- структурно-функциональное моделирование.
Становление компьютерного моделирования связано с имитационным моделированием. Имитационное моделирование предполагает создание логико-математической модели сложной системы. При имитационном моделировании логическая структура моделируемой системы адекватно отображается в модели, а процессы ее функционирования, динамика взаимодействия ее элементов воспроизводятся (имитируются) на модели. Поэтому построение имитационной модели включает структурный анализ моделируемой системы и разработку функциональной модели, отражающей динамические портреты моделируемой системы.
Важная особенность: методом исследования компьютерной модели является направленный вычислительный эксперимент, содержание которого определяется проведенными аналитическими исследованиями и соответствующими вычислительными процедурами, реализуемыми как на стадии стратегического планирования эксперимента, так и на стадии обработки, интерпретации его результатов.
етод системной динамики.
Метод системной динамики позволяет моделировать динамические процессы на высоком уровне агрегирования, в основе нее лежит представление о функционировании динамической системы, как совокупности потоков (денежных, продукции, людских и т.п.). Содержание базовой концепции структуризации в методах системной динамики может интерпретироваться как способ структуризации дифференциальных моделей, базирующийся на концепции потоковой стратификации систем. Методы системной динамики применяется для систем, ориентированных на непрерывное моделирование. Системная динамика декларирует, что именно взаимодейтвия раскрывают поведенческую сложность и определяют поведение организационных структур, которые поддаются целенаправленному управлению. Системная динамика концентрирует внимание именно на взаимодействиях.
