Краткие теоретические сведения. 1. Линейная теория упругости

Лабораторная работа №1

РАСТЯЖЕНИЕ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ

С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ

 

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

1. Линейная теория упругости

2. Статический анализ

3. Плоская задача (плоское напряженное состояние)

4. Концентрация напряжений

 

ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Тонкая прямоугольная пластина с размерами 2 a; a =5 (см) по длине и 2 b; b =2 (см) по ширине имеет в центре отверстие радиуса R= 0.25 (см) (Рис. 1). Пластина выполнена из упругого изотропного материала с модулем Юнга E =2·10⁶ (кГ/см²) и коэффициентом Пуассона ν=0,3. Пластина растягивается распределенной нагрузкой интенсивности p =0,1·10⁶ (кГ/см²), действующей на ее левую и правую грани. Требуется определить максимальные напряжения в пластине.

 

Рис. 1.

 

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Отверстие вносит возмущение в однородное напряженное состояние одноосно растягиваемой пластины. В зоне, вблизи отверстия, происходит повышение напряжений, называемое концентрацией напряжений. Аналогичная задача для бесконечной пластины, одноосно растягиваемой на бесконечности равномерными нагрузками, называется задачей Кирша и является фундаментальной задачей теории упругости о концентрации напряжений. В задаче Кирша максимальные напряжения, равные 3p, возникают в точке с координатами (0, R) (см. рис.1) и являются тангенциальными напряжениями.

Поскольку поля напряжений, деформаций и перемещений являются существенно неоднородными около отверстия, то для получения приемлемой точности конечно-элементных расчетов при построении конечно-элементных сеток следует задавать параметры, обеспечивающие сгущение разбиений вблизи отверстия.

 

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

При плоском напряженном состоянии перемещения пластины в области W, принадлежащей плоскости xy, можно характеризовать вектором перемещений ={ U_x, U_y }={ U, V }, где U = U (x, y), V = V (x, y). Компоненты , , тензора деформаций , выражаются через поле перемещений по формулам

; ; (1)

Определяющие соотношения, связывающие механические напряжения и деформации в упругой изотропной среде при плоском напряженном состоянии, имеют вид

(2)

где

(3)

, (4)

– тензор напряжений, , , - компоненты тензора напряжений.

Коэффициенты l и m из (4) называются коэффициентами Ламе, коэффициент m часто обозначается также через G и имеет смысл модуля сдвига. Модуль E из (4) называется модулем Юнга, а ν – коэффициентом Пуассона.

Уравнения равновесия упругой среды в плоской задаче имеют вид

(5)

(6)

Подстановка в (5), (6) определяющих соотношений (2) и формул (1) приводит к эллиптической системе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно неизвестных функций перемещений U и V. К этой системе следует добавить граничные условия на границе области. Основными видами граничных условий в теории упругости являются следующие условия. Пусть граница G разбита на два подмножества: и . На части границы считаются известными компоненты вектора перемещений

, , (7)

На участке задается вектор напряжений

, (8)

где – вектор внешней единичной нормали к границе G.

Граничные условия (7) носят следующие наименования: граничные условия в перемещениях, граничные условия 1-ого рода, условия типа Дирихле, главные граничные условия. Обычно в (7) , , что соответствует жесткому закреплению участка границы .

Аналогично, граничные условия (8) имеют следующие наименования: граничные условия в напряжениях, граничные условия 2-ого рода, условия типа Неймана, естественные граничные условия. При однородных граничных условиях (8), когда , , участок границы называется участком, свободным от напряжений. Вектор напряжений , как векторная функция от x, y, может включать сосредоточенные векторы , которые имеют смысл сосредоточенных сил.