Лабораторная работа №1
РАСТЯЖЕНИЕ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ
С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
1. Линейная теория упругости
2. Статический анализ
3. Плоская задача (плоское напряженное состояние)
4. Концентрация напряжений
ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ
Тонкая прямоугольная пластина с размерами 2 a; a =5 (см) по длине и 2 b; b =2 (см) по ширине имеет в центре отверстие радиуса R= 0.25 (см) (Рис. 1). Пластина выполнена из упругого изотропного материала с модулем Юнга E =2·106 (кГ/см2) и коэффициентом Пуассона ν=0,3. Пластина растягивается распределенной нагрузкой интенсивности p =0,1·106 (кГ/см2), действующей на ее левую и правую грани. Требуется определить максимальные напряжения в пластине.
Рис. 1.
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Отверстие вносит возмущение в однородное напряженное состояние одноосно растягиваемой пластины. В зоне, вблизи отверстия, происходит повышение напряжений, называемое концентрацией напряжений. Аналогичная задача для бесконечной пластины, одноосно растягиваемой на бесконечности равномерными нагрузками, называется задачей Кирша и является фундаментальной задачей теории упругости о концентрации напряжений. В задаче Кирша максимальные напряжения, равные 3p, возникают в точке с координатами (0, R) (см. рис.1) и являются тангенциальными напряжениями.
Поскольку поля напряжений, деформаций и перемещений являются существенно неоднородными около отверстия, то для получения приемлемой точности конечно-элементных расчетов при построении конечно-элементных сеток следует задавать параметры, обеспечивающие сгущение разбиений вблизи отверстия.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
При плоском напряженном состоянии перемещения пластины в области W, принадлежащей плоскости xy, можно характеризовать вектором перемещений 
={ Ux, Uy }={ U, V }, где U = U (x, y), V = V (x, y). Компоненты 
, 
, 
тензора деформаций 
, выражаются через поле перемещений по формулам
; 
; (1)
Определяющие соотношения, связывающие механические напряжения и деформации в упругой изотропной среде при плоском напряженном состоянии, имеют вид
(2)
где
(3)
, 
(4)
– тензор напряжений, 
, 
, 
- компоненты тензора напряжений.
Коэффициенты l и m из (4) называются коэффициентами Ламе, коэффициент m часто обозначается также через G и имеет смысл модуля сдвига. Модуль E из (4) называется модулем Юнга, а ν – коэффициентом Пуассона.
Уравнения равновесия упругой среды в плоской задаче имеют вид
(5)
(6)
Подстановка в (5), (6) определяющих соотношений (2) и формул (1) приводит к эллиптической системе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно неизвестных функций перемещений U и V. К этой системе следует добавить граничные условия на границе 
области. Основными видами граничных условий в теории упругости являются следующие условия. Пусть граница G разбита на два подмножества: 
и 
. На части границы считаются известными компоненты вектора перемещений
, 
, 
(7)
На участке задается вектор напряжений 
, 
(8)
где 
– вектор внешней единичной нормали к границе G.
Граничные условия (7) носят следующие наименования: граничные условия в перемещениях, граничные условия 1-ого рода, условия типа Дирихле, главные граничные условия. Обычно в (7) 
, 
, что соответствует жесткому закреплению участка границы .
Аналогично, граничные условия (8) имеют следующие наименования: граничные условия в напряжениях, граничные условия 2-ого рода, условия типа Неймана, естественные граничные условия. При однородных граничных условиях (8), когда 
, 
, участок границы называется участком, свободным от напряжений. Вектор напряжений , как векторная функция от x, y, может включать сосредоточенные векторы 
, которые имеют смысл сосредоточенных сил.
