лгоритм расчета показателей качества функ­ционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.

Вводится параметр . Если , то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: — среднее число требо­ваний, поступающих за единицу времени, — среднее время обслуживания одним каналом одного требования, то­гда — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступаю­щие требования. Поэтому условие означает, что чис­ло обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования.

Важней­шие характеристики работы СМО:

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы сво­бодны

.

(13)

2. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

; ().

(14)

3. Среднее время ожидания требованием начала обслу­живания в системе:

; ().

(15)

4. Средняя длина очереди:

; ().

(16)

5. Среднее число свободных от обслуживания каналов:

.

(17)

 

ЗАДАЧА 5.

В осно­ве создания балансовых моделей лежит балансовый метод, т.е. ме­тод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использо­вания. Балансовый метод и создаваемые на его основе балансо­вые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве.

Матрица А - матрица коэффициентов материальных прямых затрат. В общем случае, когда имеется п отраслей производства, она имеет вид:

= .

Элементы матрицы а_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат. Каждый элемент а_ij показывает, какое количество продукции i -й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j -й отрасли.

Коэффициенты а_ij рассчитываются следующим образом:

,

(18)

где X_j – валовая продукция j -й отрасли.

Если определить векторы-столбцы совокупной (валовой) продукции Х и конечной продукции Y таким образом:

, ,

где x_i и у_i - соответственно валовая и конечная продукция отрасли i, то система уравнений в матричной форме примет вид

,

(19)

Эта система уравнений называется экономико-математической моделью межотрас­левого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты— выпуск»). С помощью этой модели можно выполнить следующие варианты расчетов:

1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X_i), можно определить объемы конечной про­дукции каждой отрасли (Y_i):

,

(20)

2. Задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

,

(21)

В формулах (3) и (4) Е обозначает единичную матрицу n -го порядка, а (Е - А)^-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е - А). Формула для вычисления обратной матрицы раз­мера 2х2 имеет вид:

Обозначая обратную матрицу через В=(Е - А)^-1, систему уравнений в матричной форме (21) можно записать в виде

,

(22)

Элементы матрицы В будем обозначать через b_ij, тогда из матричного уравнения (22) для любой i -й отрасли можно получить следующее соотношение:

,

(23)

Коэффициенты b_ij называются коэффици­ентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Коэффициент полных материальных за­трат b_ij показывает, какое количество продукции i -й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j -й отрасли.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.

Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.:ЮНИТИ, 2002.

Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2001.

Киселев В.Ю. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие. – Иваново: ИГЭУ, 1998.

Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 1998.

Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, «Дело и сервис», 1999.

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ

 

Методические указания для самостоятельной работы
студентов заочной формы обучения

 

Составитель ШЕЛЕПИНА Ирина Геннадьевна

Редактор

 

 

Лицензия ЛР №020264 от 15.12.96 г.

Подписано в печать... Формат 60х84 ¹/₁₆.

Печать плоская. Усл. печ. л. 1,39. Тираж 100 экз. Заказ

Ивановский государственный энергетический университет

Отпечатано в ОМТ МИБИФ

153003, Иваново, ул. Рабфаковская, 34