ахождение кратчайших путей в графе

2.2.1 Алгоритм Дейкстры строит кратчайшие пути, ведущие из исходной вершины графа к остальным вершинам этого графа (если таковые имеются).

В процессе работы алгоритма последовательно помечаются рассмотренные вершины графа. Причем вершина, помеченная последней (на данный момент) расположена ближе к исходной вершине, чем все непомеченные, но дальше, чем все помеченные.

Сначала помечается исходная вершина; следующей, очевидно, будет помечена вершина, ближайшая к исходной, и смежная с ней.

Пусть на каком-то шаге уже помечено несколько вершин. Известны кратчайшие пути, ведущие из исходной вершины к помеченным. Для каждой из непомеченных вершин проделаем следующее:

1. Рассмотрим все дуги, ведущие из помеченных вершин в одну непомеченную. Каждая такая дуга является последней дугой на пути из исходной вершины в эту непомеченную.

2. Выберем из этих путей кратчайший. А затем выберем среди них самый короткий ко всем непомеченным вершинам, и пометим вершину, к которой он ведет.

Алгоритм завершится, когда будут помечены все достижимые вершины.

В результате работы алгоритма Дейкстры строится Дерево кратчайших путей.

2.2.2 Алгоритм сортировки: сортировка Шейкер

Математическое описание задачи

Сортировка Шейкер является усовершенствованной сортировкой методом пузырька. Идея метода: шаг сортировки состоит в проходе снизу вверх по массиву. По пути просматриваются пары соседних элементов. Если элементы некоторой пары находятся в неправильном порядке, то меняем их местами.(см. Таб. 3)

 

Таблица 3

i=1

 

После нулевого прохода по массиву "вверху" оказывается самый "легкий" элемент - отсюда аналогия с пузырьком. Следующий проход делается до второго сверху элемента, таким образом второй по величине элемент поднимается на правильную позицию.

Делаем проходы по все уменьшающейся нижней части массива до тех пор, пока в ней не останется только один элемент. На этом сортировка заканчивается, так как последовательность упорядочена по возрастанию. Среднее число сравнений и обменов имеют квадратичный порядок роста: отсюда можно заключить, что алгоритм пузырька очень медленен и малоэффективен.

Тем не менее, у него есть громадный плюс: он прост и его можно по-всякому улучшать. Чем мы сейчас и займемся. Во-первых, рассмотрим ситуацию, когда на каком-либо из проходов не произошло ни одного обмена. Что это значит? Это значит, что все пары расположены в правильном порядке, так что массив уже отсортирован. И продолжать процесс не имеет смысла(особенно, если массив был отсортирован с самого начала!). Итак, первое улучшение алгоритма заключается в запоминании, производился ли на данном проходе какой-либо обмен. Если нет - алгоритм заканчивает работу. Процесс улучшения можно продолжить, если запоминать не только сам факт обмена, но и индекс последнего обмена k. Действительно: все пары соседих элементов с индексами, меньшими k, уже расположены в нужном порядке. Дальнейшие проходы можно заканчивать на индексе k, вместо того чтобы двигаться до установленной заранее верхней границы i.

Качественно другое улучшение алгоритма можно получить из следующего наблюдения. Хотя легкий пузырек снизу поднимется наверх за один проход, тяжелые пузырьки опускаются со минимальной скоростью: один шаг за итерацию. Так что массив 2 3 4 5 6 1 будет отсортирован за 1 проход, а сортировка последовательности 6 1 2 3 4 5 потребует 5 проходов.

Чтобы избежать подобного эффекта, можно менять направление следующих один за другим проходов. Получившийся алгоритм называют " шейкер-сортировкой ".

Алгоритм

Алгоритм работает следующим образом. Сначала вводятся исходные данные: длина массива и его элементы (блок 1, 2), затем организуется цикл по всей длине массива, во время которого (блоки 3 -7) и проводится сравнение элементов а[j-1]>a[j] и их обмен при проходе справа-налево. Номер последнего обмена l запоминается. Далее организуется цикл, в котором проводится проверка условия а[j-1]>a[j] при проходе массива слева-направо (блоки 8 - 12).

3. Нахождение кратчайшего пути в графе методом дейкстры

Вариант №3.

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7

Пути решения кратчайшего пути от X1 до X7:

1. x1->x2->x5->x7= 25+36+15=76

2. x1->x2->x4->x7=25+12+13=50

3. x1->x4->x7=16+13=29

4. x1->x6->x4->x7=15+14+13=42

5. x1->x6->x3->x7=15+23+17=55

6. x1->x6->x4->x5->x7=15+14+22+15=66

7. x1->x6->x3->x5->x7=15+23+6+15=59

Ответ: Кротчайший путь в графе равен x1->x4->x7=16+13=29