По дисциплине «Математическое моделирование» студенту необходимо выполнить контрольную работу.
Перед выполнением работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов изучаемой математической дисциплины, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа (см. методические материалы, выданные в электронном виде на установочной сессии). Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе по дисциплине «Математическое моделирование» (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).
Контрольная выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента. В конце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы, а так же в электронном виде на А 4..
В каждой задаче надо выписать ее условие и данные своего варианта, подробно изложить теоретический материал:
1. построение соответствующей заданию математической модели (используемые законы, принципы, критерии и т.п.),
2. вывести необходимые соотношения и сформулировать постановку данной задачи,
3. пояснить ход решения,
4. дать комментарии к вычислениям и оценку полученным результатам.
Для аналитических преобразований и вычислений использовать пакет аналитических вычислений maxima. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки. В конце работы следует привести список используемой литературы.
Эти пункты нужно выполнить обязательно…
Процесс построения моделей может быть условно разбит на следующие этапы.
1. Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. Помимо сведений общего характера о природе объекта и целях его исследования эта стадия может содержать также некоторые предположения (невесомый стержень, толстый слой вещества, прямолинейное распространение световых лучей и т.д.). Данный этап можно назвать формулировкой предмодели.
2. Следующий этап – завершение идеализации объекта. Отбрасывают все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными для его поведения. По возможности идеализирующие предположения записываются в математической форме, с тем чтобы их справедливость поддавалась количественному контролю.
3. После выполнения первых двух этапов можно переходить к выбору или формулировке закона (вариационного принципа, аналогии и т.п.), которому подчиняется объект, и его записи в математической форме. При необходимости используются дополнительные сведения об объекте, также записываемые математически. Следует иметь в виду, что даже для простых объектов выбор соответствующего закона отнюдь не тривиальная задача.
4. Завершает формулировку модели её «оснащение». Например необходимо задать сведения о начальном состоянии объекта (скорость лодки и её массу в момент t = 0) или иные её характеристики, без знания которых невозможно определить поведение объекта. И, наконец, формулируется цель исследования модели.
5. Построенная модель изучается всеми доступными исследователю методами, в том числе со взаимной проверкой различных подходов. В отличие от рассматриваемых в п.п. 1, 2 простейших случаев, большинство моделей не поддаются чисто теоретическому анализу, и поэтому необходимо широко использовать вычислительные методы. Это обстоятельство особенно важно при изучении нелинейных объектов, так как их качественное поведение заранее, как правило, неизвестно.
6. В результате исследования модели не только достигается постановленная цель, но и должна быть установлена всеми возможными способами (сравнением с практикой, сопоставлением с другими подходами) её адекватность – соответствие объекту и сформулированным предположениям. Неадекватная модель может дать результат, сколь угодно отличающийся от истинного, и должна быть либо отброшена, либо соответствующим образом модифицирована.
Контрольная работа
Тема № 1. «Математические модели в виде
обыкновенных дифференциальных уравнений»
Задание 1.1. Построить математическую модель механической системы, состоящей из пружины с жесткостью k, один конец которой жестко закреплен, а на другом находится тело массой m. Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент вязкого трения μ. Начальное смещение тела из положения равновесия равно x 0.
Найти:
а) амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;
б) частоту и период затухающих колебаний системы;
в) уравнение огибающей кривой колебаний;
г) смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t для затухающих колебаний.
Построить графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени.
1.1. k = 104 н/м, m = 1,1 кг, μ = 0,64, x0 = 0.13 м, t 1 = 4 с;
Задание 1.2. Подводная лодка водоизмещением V движется горизонтально со скоростью υ на глубине H от поверхности моря. Средняя плотность лодки ρ1. В момент t 0 = 0 лодка начинает всплытие. Сопротивлением воды пренебречь.
Определить:
а) время t 1, когда лодка всплывет на поверхность моря;
б) расстояние L, которое пройдет лодка в горизонтальном направлении в момент всплытия;
в) вертикальную скорость u лодки;
г) траекторию движения подводной лодки в координатах (l, h);
д) тип соответствующей кривой.
Плотность воды принять равной ρ0 = 10-3 кг/м3. Сделать чертеж.
2.1. V = 1170 т, υ = 22 км/ч, Н = 260 м, ρ 1 = 0,85∙10-3 кг/м3;
