Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ДГТУ)

 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

ТЕХНИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ

 

 

Ростов-на-Дону 2014

 

 

Составители: Волокитин Г.И., Ступникова Н.П.

 

Программа и варианты контрольной работы № 1 для студентов первого курса заочного формы обучения: Методические указания / ДГТУ. Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2014. – с.

 

 

Методическая разработка предназначена для студентов заочной формы обучения технических направлений. Содержит программу курса математики по темам: «Линейная алгебра», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия». Указана рекомендуемая литература, варианты контрольной работы № 1 (первый семестр), а также даны образцы решения задач. Номер варианта студент определяет по последней цифре зачетной книжки.

 

 

Рецензент: к.ф.-м.н., доц. Ворович Е.И. (ДГТУ, г. Ростов-на-Дону)

 

Научный редактор: д.ф.-м.н., проф. Ларченко В.В.

 

© Издательский центр ДГТУ, 2014

Экзаменационная программа по математике

Для студентов 1-го курса заочного факультета.

Элементы линейной алгебры.

Матрицы, виды матриц и действия с матрицами. Числовые характеристики матриц. Определители второго и третьего порядков: определения, свойства и способы вычисления. Элементарные преобразования матриц. Обратная матрица: определение, критерий существования и способы вычисления обратной матрицы. Базисный минор и ранг матрицы. Системы линейны алгебраических уравнений, их виды. Теорема Кронекера-Капелли. Решение определенных систем третьего порядка методом Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Общее решение однородных и неоднородных неопределенных систем. Понятие линейного пространства. Линейный оператор, матрица линейного оператора.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Понятие геометрического вектора. Проекция вектора на ось. Линейные операции над векторами. Линейная независимость векторов, базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора, их геометрический смысл. Действия с векторами в координатах. Условие коллинеарности векторов. Скалярное произведение двух векторов: определение, свойства, вычисление в координатах и приложения. Векторное произведение двух векторов: определение, свойства, вычисление в координатах и приложения. Смешанное произведение трех векторов, теорема о геометрическом смысле, вычисление в координатах и свойства. Условие компланарности трех векторов.

Прямая на плоскости. Угловой коэффициент прямой. Различные виды уравнений прямой (каноническое уравнение, общее, «в отрезках», нормальное). Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Плоскость: нормальный вектор, общее уравнение плоскости. Различные виды уравнений плоскости («в отрезках», нормальное уравнение). Угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

Прямая в пространстве: канонические, параметрические уравнения. Прямая как пересечение двух плоскостей. Угол между прямыми и угол между прямой и плоскостью.

Системы координат на плоскости: прямоугольная и полярная. Системы координат в пространстве: прямоугольная, цилиндрическая и сферическая. Кривые второго порядка: определения и канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Поверхности второго порядка: Эллипсоиды, сфера, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Конус второго порядка. Цилиндры второго порядка.

Литература:

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука, 1984.

2. Данко П.В., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.

3. Волокитин Г.И., Ларченко В.В., Азаров Д.А., Редько Ю.С. Начала линейной алгебры. Учебное пособие. – Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ, 2012.

4. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитическая геометрия. Москва «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

5. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия. Издание четвертое, дополненное. Москва «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1973.

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

Задача 1. Даны матрицы и . - единичная матрица. Найти:

а) матрицу ; б) обратную матрицу и проверить, что :

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

 

Задача 2. Тремя методами (Крамера, матричным методом и методом Гаусса) решить систему линейных алгебраических уравнений: , где матрицы и заданы в условии задачи 1, а - матрица-столбец неизвестных .

Задача 3. Даны точки

. Найти:

а). Координаты, модуль и направляющие косинусы вектора ;

б). Проекцию вектора на вектор ;

в).Скалярное произведение векторов и , а также угол между ними;

г).Векторное произведение векторов и , а также площадь треугольника ;

д). Смешанное произведение векторов , а также объем пирамиды ABCD.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Задача 4. На плоскости даны вершины треугольника . Найти:

а). Канонические уравнения сторон и ;

б). Уравнение высоты, опущенной из вершины B;

в). Внутренний угол ;

г). Уравнение медианы, проведенной из вершины B;

д). Расстояние от точки В до стороны . Сделать чертеж:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

 

 

Задача 5. Точки , , , , координаты которых заданы в условии задачи 3, являются вершинами пирамиды. Найти:

а). Уравнения ребра ;

б). Угол между ребрами и ;

в). Уравнение грани ;

г). Угол между ребром и гранью ;

д). Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины , а также проекцию этой вершины на плоскость .

 

 

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

 

Пример 1. Даны матрицы и . - единичная матрица. Найти:

а) матрицу ; б) обратную матрицу и проверить, что :

.

Решение. а). Раскроем скобки, получим

.

Применяя правило умножения матрицы на матрицу, имеем

.

Следовательно,

 

.

б). Обратную матрицу найдем, используя присоединенную матрицу . Элементы присоединенной матрицы - это алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , расположенные по столбцам:

.

Обратная матрица определяется формулой:

.

Вычислим определитель матрицы, проверим, что матрица невырожденная, следовательно, имеет обратную матрицу. Определитель найдем, раскрывая по элементам первой строки:

.

Находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы :

.

Итак, присоединенная матрица имеет вид:

.

Таким образом, обратная матрица равна

.

Проверим, что обратная матрица найдена правильно, должно выполняться условие . Вычислим элементы произведения матриц:

- верно,

- верно,

- верно.

Пример 2. Тремя методами (Крамера, матричным методом и методом Гаусса) решить систему линейных алгебраических уравнений: , где матрицы и заданы в условии задачи 1, а - матрица-столбец неизвестных .

Решение. Учитывая правило перемножения матриц, запишем подробный вид системы:

.

Получим решение по формулам Крамера: . Здесь - определитель матрицы системы, он найден в задаче 1 при нахождении обратной матрицы. - определители, полученные из определителя матрицы системы заменой соответственно первого, второго, третьего столбца матрицы столбцом правых частей:

.

Таким образом, получаем,

.

Получим решение матричным методом. В этом случае решение определяется формулой:

.

Обратная матрица была найдена при решении задачи 1. Поэтому сразу запишем

.

Сравнивая соответствующие элементы матриц слева и справа, снова находим

.

Получим решение методом Гаусса. При помощи элементарных преобразований строк расширенной матрицы последовательно исключаем неизвестные в уравнениях системы. На месте клетки получим единичную матрицу , при этом на месте клетки появится вектор решения.

. Итак, .

 

Пример 3. Даны точки

. Найти:

а). Координаты, модуль и направляющие косинусы вектора ;

б). Проекцию вектора на вектор ;

в).Скалярное произведение векторов и , а также угол между ними;

г).Векторное произведение векторов и , а также площадь треугольника ;

д). Смешанное произведение векторов , а также объем пирамиды ABCD.

Решение. а) Вектор найдем по формуле : . Модуль вектора определяется соотношением . Получаем отсюда . Направляющие косинусы – это координаты орта вектора . Т.е. вектора . Направляющие косинусы равны: .

б). Проекцию вектора вычислим с помощью скалярного произведения:

.

 

Найдем вектор . Учитывая формулу вычисления скалярного произведения векторов в координатах

,

найдем проекцию

.

в). Найдем вектор и вычислим скалярное произведение векторов и . . .

Косинус угла между векторами и определяется равенством

.

Отсюда заключаем, что угол .

Найдем вектор и вычислим векторное произведение векторов с помощью формулы

.

. . Учитывая, что модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, для площади треугольника имеем соотношение

.

д). Найдем вектор и вычислим смешанное произведение по формуле

.

Имеем . .

Учитывая, что модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного па векторах-сомножителях, а объем пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда, получаем

.

 

Пример 4.. На плоскости даны вершины треугольника . Найти:

а). Канонические уравнения сторон и ;

б). Уравнение высоты, опущенной из вершины B;

в). Внутренний угол ;

г). Уравнение медианы, проведенной из вершины B;

д). Расстояние от точки В до стороны . Сделать чертеж:

.

Решение. а). Уравнения сторон найдем, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: .

Угловой коэффициент прямой равен .

б). Угловой коэффициент высоты связан с угловым коэффициентом стороны соотношением . Отсюда находим, . Уравнение высоты составим, используя уравнение прямой, имеющей заданный наклон и проходящей через заданную точку: .

.

в). Для нахождения внутреннего угла используем формулу

.

Получаем, . .

г). Чтобы составить уравнение медианы, найдем координаты точки - середины стороны : .

(каноническое уравнение вертикальной прямой).

д). Расстояние от вершины до стороны найдем по формуле:

, где - общее уравнение прямой, -

точка, от которой определяется расстояние. Общее уравнение стороны имеет вид: . Поэтому .

Строим треугольник в координатных осях:

Пример 5. Точки являются вершинами пирамиды. Найти:

а). Уравнения ребра ;

б). Угол между ребрами и ;

в). Уравнение грани ;

г). Угол между ребром и гранью ;

д). Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины , а также проекцию этой вершины на плоскость .

Решение. а). Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки, определяются соотношениями

.

Следовательно, уравнения ребра имеют вид

, или .

б). Угол между ребрами - это угол между векторами и .

Эти векторы соответственно равны и . Поэтому

.

в). Составим уравнение грани , используя условие компланарности векторов , и текущего вектора :

.

Раскрывая определитель, получим

, или

.

г). Угол между прямой с направляющим вектором и плоскостью с нормальным вектором определяется формулой

.

Направляющий вектор ребра равен , координаты нормального вектора плоскости – это коэффициенты в общем уравнении плоскости, т.е. . Отсюда получаем

, .

д). Направляющим вектором высоты пирамиды, опущенной из вершины , является нормальный вектор плоскости . Поэтому канонические уравнения высоты следующие

.

Проекцию вершины на плоскость основания найдем как пересечение прямой и плоскости . Для этого от канонических уравнений высоты перейдем к параметрическим уравнениям:

Подставляя последние соотношения в уравнение плоскости , получаем уравнение для определения значения параметра , соответствующего точке :

.

Подставляя полученное значение в параметрические уравнения высоты, находим координаты точки :

.