астные случаи поверхностных акустических волн

еоретические основы построения математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах

сновные понятия

Для построения математических моделей поверхностных акустических волн в упругих средах необходимо ознакомится с основными понятиями в данной области.

Среда называется упругой, или линейной, если её деформация пропорциональна приложенной.

Упругими, или механическими волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругих средах.

Звуковые или акустические волны — это волны, которые распространяются в упругой среде, характеризующиеся слабыми возмущениями. Это механические колебания с малыми амплитудами. Отсюда следует, что акустические волны являются упругими.

Наиболее распространёнными типами упругих волн в твёрдых телах являются:

· продольные волны — волны с колебанием частиц вдоль направления распространения волны;

· поперечные волны — волны с колебанием частиц перпендикулярно направлению распространения волны;

· поверхностные волны (например, волны Рэлея) — волны с колебанием частиц по эллипсам вдоль поверхности тела;

· волны Лэмба — волны в тонких пластинах;

· изгибные волны — распространение колебаний деформации изгиба в стержнях или пластинах, длина волны которых много больше толщины стержня или пластины.

 

При распространении акустической волны можно наблюдать следующие явления:

Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний.

Интерференция – сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуды результирующих колебаний в различных точках пространства.

Дифракция – отклонение от прямолинейного распространения волн, огибание волнами препятствий.

Угол отражения волны от поверхности равен углу падения (согласно принципу Гюйгенса).

Поверхностные акустические волны (ПАВ) — упругие волны, распространяющиеся вдоль поверхности твёрдого тела или вдоль границы с другими средами. ПАВ подразделяются на два типа: с вертикальной поляризацией и с горизонтальной поляризацией (волны Лява).

Возникновение и распространение акустических волн связано с упругими свойствами сред. Все реальные тела деформируемые. В случае твердых тел существует два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические. Пределом упругости называют силу, до которой деформация будет упругой. Для идеально упругих тел между действующими сипами и деформациями существует однозначная связь, описываемая законом Гука: F=kDx.

Существует широкий класс твердых тел, для которых при малых деформациях этот закон приближенно справедлив. Существуют изотропные и анизотропные тела. Одно и то же тело может вести себя как изотропное по отношению к одним телам и воздействиям, и как анизотропное – по отношению к другим. По отношению к взаимодействиям, связанным с упругими свойствами все монокристаллические тела ведут себя как анизотропные.

астные случаи поверхностных акустических волн

К наиболее часто встречающимся частным случаям поверхностных волн можно отнести следующие:

1. Волны Рэлея (или рэлеевские), в классическом понимании распространяющиеся вдоль границы упругого полупространства с вакуумом или достаточно разреженной газовой средой. Энергия этих волн локализована в поверхностном слое толщиной от l до 2l, где l - длина волны. Частицы в волне Рэлея движутся по эллипсам, большая полуось w которых перпендикулярна границе, а малая u - параллельна направлению распространения волны (рис. 1).

 

Рис. 1 Поверхностная упругая волна Рэлея на свободной границе твердого тела

 

Обозначения:

х - направление распространения волны;

u,w - компоненты смещения частиц;

кривые изображают ход изменения амплитуды смещений при удалении от границы.

Фазовая скорость волн Рэлея c _R» 0.9 c _t, где c _t - фазовая скорость плоской поперечной волны.

2. Затухающие волны рэлеевского типа на границе твердого тела с жидкостью, при условии, что фазовая скорость в жидкости с _L < с _R в твердом теле (что справедливо почти для всех реальных сред). Эта волна непрерывно излучает энергию в жидкость, образуя в ней отходящую от границы неоднородную волну (рис. 2).

 

 

Рис. 2 Поверхностная упругая затухающая волна рэлеевского типа на границе твердого тела и жидкости

Обозначения:

х - направление распространения волны;

u,w - компоненты смещения частиц;

кривые изображают ход изменения амплитуды смещений при удалении от границы;

наклонные линии - фронты отходящей волны.

Фазовая скорость этой волны с точностью до процентов равна с _R , коэффициент затухания на длине волны al ~ 0.1. Распределение по глубине смещений и напряжений - такое же, как в волне Рэлея.

3. Незатухающая волна с вертикальной поляризацией, бегущая по границе жидкости и твердого тела со скоростью, меньшей с _L (и, соответственно, меньшей, чем скорости продольной и поперечной волн в твердом теле). Структура этой ПВ совсем другая, чем у рэлеевской волны. Она состоит из слабо неоднородной волны в жидкости, амплитуда которой медленно убывает при удалении от границы, и двух сильно неоднородных продольной и поперечной волн в твердом теле (рис. 3).

Рис. 3 Незатухающая ПВ на границе твердого тела и жидкости

Обозначения:

х - направление распространения волны;

u,w - компоненты смещения частиц;

кривые изображают ход изменения амплитуды смещений при удалении от границы.

Энергия волны и движение частиц локализованы в основном в жидкости.

4. Волна Стонли, распространяющаяся вдоль плоской границы двух твердых сред, модули упругости и плотности которых не сильно различаются. Такая волна состоит (рис. 4) как бы из двух рэлеевских волн - по одной в каждой среде.

Рис. 4 Поверхностная упругая волна Стонли на границе двух твердых сред

Обозначения:

х - направление распространения волны;

u,w - компоненты смещения частиц;

кривые изображают ход изменения амплитуды смещений при удалении от границы.

Вертикальные и горизонтальные компоненты смещений в каждой среде убывают при удалении от границы так, что энергия волны оказывается сосредоточенной в двух граничных слоях толщиной ~ l. Фазовая скорость волны Стонли меньше значений фазовых скоростей продольных и поперечных волн в обеих граничащих средах.

5.Волны Лява - ПВ с горизонтальной поляризацией, которые могут распространяться на границе твердого полупространства с твердым слоем (рис. 5).

 

Рис. 5 Поверхностная упругая волна Лява на границе "твердое полупространство - твердый слой"

Обозначения:

х - направление распространения волны;

кривые изображают ход изменения амплитуды смещений при удалении от границы.

Эти волны - чисто поперечные: в них имеется только одна компонента смещения v, а упругая деформация в волне Лява представляет собой чистый сдвиг. Смещения в слое (индекс 1) и в полупространстве (индекс 2) описываются выражениями:

v ₁ = (A ¤ cos(s ₁ h)) cos(s ₁ (h - z))sin( w t - kx);

v ₂ = A Чexp (s ₂ z) sin( w t - kx), (1)

где t - время;

w - круговая частота;

s ₁ = (k _t1² - k ²)^1/2;

s ₂ = (k ² - k _t2²)^1/2;

k - волновое число волны Лява;

k _t1, k _t2 - волновые числа поперечных волн в слое и в полупространстве соответственно;

h - толщина слоя;

А - произвольная постоянная.

 

Из выражений для v ₁ и v ₂ видно, что смещения в слое распределены по косинусу, а в полупространстве экспоненциально убывают с глубиной. Для волн Лява характерна дисперсия скорости. При малых толщинах слоя фазовая скорость волны Лява стремится к фазовой скорости объемной поперечной волны в полупространстве. При w h ¤ c _t2 >>1 волны Лява существуют в виде нескольких модификаций, каждая из которых соответствует нормальной волне определенного порядка.

К ПВ относят и волны на свободной поверхности жидкости или на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. Такие ПВ возникают под влиянием внешнего воздействия, например, ветра, выводящего поверхность жидкости из равновесного состояния. В этом случае, однако, упругие волны существовать не могут. В зависимости от природы возвращающих сил различают 3 типа ПВ: гравитационные, обусловленные в основном силой тяжести; капиллярные, обусловленные в основном силами поверхностного натяжения; гравитационно-капиллярные.