1. На плоскости даны два вектора 
и 
. Найти разложение вектора 
по базису 
и 
.
2. Даны три вектора 
и 
. Найти разложение вектора 
по базису 
.
3. Даны три вектора 
, 
. Найти разложение вектора 
по базису 
4. Даны четыре вектора: 
. Найти разложение вектора 
по векторам 
.
5. Векторы 
и 
образуют угол 
; зная, что 
, найти скалярное произведение векторов 
и 
.
6. Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если 
и 
.
7. Известно, что | 
|=3, | 
|= 4; 
. Вычислить: скалярное произведение векторов 
и 
.
8. Векторы и 
образуют угол 
; зная, что 
, найти скалярное произведение векторов 
и 
.
9. Даны вершины треугольника А (2, –5), В (1, –2), С (4, 7). Вычислить координаты центра тяжести этого треугольника. Найти длину медианы АМ.
10. Даны вершины треугольника А (–1, –1), В (3, 5), С (–4, 1). Вычислить координаты центра тяжести этого треугольника. Найти длину медианы ВМ.
11. Даны вершины треугольника А (1, 4), В (3, –9), С (–5, 2). Вычислить координаты центра тяжести этого треугольника. Найти длину медианы АМ.
12. Даны вершины треугольника А (3, –1), В (1, 1), С (2, 3). Вычислить координаты центра тяжести этого треугольника. Найти длину медианы ВМ.
13. Точка 
делит отрезок АВ в отношении 
. Найти координаты точки В, если 
.
14. Точка 
делит отрезок АВ в отношении 
. Найти координаты точки А, если 
.
15. Отрезок АВ двумя точками разделен на три равные части. Определить координаты точек деления, если 
, 
.
16. Точка 
делит отрезок АВ в отношении 
. Найти координаты точки В, если 
.
17. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13.
18. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами 24, а эксцентриситет равен 
.
19. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если она имеет асимптоты 
и расстояние между фокусами равно 20.
20. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если расстояние между директрисами равно 
и эксцентриситет равен 
.
21. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, парабола симметрична относительно оси Ох и проходит через точку А (1, 3).
22. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, парабола симметрична относительно оси Ох и проходит через точку А (–4, 2).
23. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, парабола симметрична относительно оси Оу и проходит через точку А (3, –5).
24. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, парабола симметрична относительно оси Оу и проходит через точку А (–2, 1).
25. Даны вершины треугольника АВС А (1;1;-2), В (1;1;0), С (-1;3;0). Вычислить длину его высоты АН. (Используя векторное произведение векторов)
26. Дан треугольник АВС, в котором А (-1;1;2), В (1;1;0), С (2;6;-2). Вычислить длину его высоты ВН. (Используя векторное произведение векторов)
27. Дан треугольник АВС, в котором А (-1;1;2), В (1;1;0), С (2;6;-2). Вычислить площадь треугольника АВС, длину высоты CH. (Используя векторное произведение векторов)
28. Дан треугольник АВС, в котором А (6;5;-1), В (12;1;0), С (1;4;-5). Вычислить площадь треугольника АВС, длину высоты CH. (Используя векторное произведение векторов)
29. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках
А (2;-1;0), В (5;4;3), С (3;1;-1) и D (4;-1;3).
30. Даны вершины тетраэдра: А (-2;3;0), В (4;2;-1), С (5;3;6), D (-4;-5;9). Найти длину его высоты, опущенной из вершины Д.
31. Объём тетраэдра V=7, три его вершины находятся в точках А(-2;0;-1), В(3;-1;1), С(2;-1;4). Найти координаты четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси Oу.
32. Даны вершины тетраэдра: А(7;5;-1), В(0;-2;1), С(2;-2;4), Д(-4;1;3). Найти длину его высоты, опущенной из вершины В.
33. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку с координатами М1(3;-2;-7) и параллельно плоскости 2x-3z+5=0.
34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: 2x-y+3z-1=0, x+2y+z=0.
35. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2;-1;1) перпендикулярно к двум плоскостям: 2x-z+1=0, y=0.
36. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки
М1(1;-1;-2) и М2(3;1;1) перпендикулярно к плоскости x-2y+3z-5=0.
37. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М1(-1;2;-3) параллельно прямой: 
.
38. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М1(-4;-5;3) параллельно прямой: 
39. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М1(2;3;-5) параллельно прямой: x=3t-7, y=-2t+4, z=3t+4.
Составить каноническое уравнения прямой, которая проходит через точку М0(3;-2;-4) параллельно прямой 
40. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:
1) 
2) x=2t-4, y=-t+4, z=-2t-1;
x=4t-5, y=-3t+5, z=-5t+5
3) 
y=-2t, z=-t+2
4) 
41. Даны вершины эллипсоида А 1(8;0;0); А 2(-2;0;0). Написать уравнение этого
эллипсоида, зная, что плоскость YOZ пересекает его по эллипсу: x =0, 
42. Оси симметрии однополостного гиперболоида Ф служат осями
ортонормированного репера и Ф проходит через эллипс 
и
гиперболу 
Написать уравнение гиперболоида Ф.
43. Оси симметрии однополостного гиперболоида служат осями ортонормированного репера. Написать уравнение этого гиперболоида, если он проходит через линию 
и точку М0(3;4;3).
44. Написать уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат и который проходит через точку М0(3;1;0) и пересекает плоскость хОz по эллипсу 
