казания по выполнению контрольной работы.

1. Номер варианта контрольной работы соответствует порядковому номеру в учебной ведомости (уточняется преподавателем на аудиторных занятиях).

2. Сборник контрольных работ содержит 30 вариантов. Студенты, имеющие порядковые номера 31-й, 32-й и т.д. выполняют варианты контрольной работы, начиная с первых номеров, т.е. №1, №2 и т.д.

3. В каждой контрольной работе 5 (пять) задач: три – по теории вероятностей, две – по математической статистике. Контрольная работа принимается к проверке преподавателем при решении всех пяти задач. В противном случае работа возвращается студенту для выполнения КР в полном объеме.

4. Контрольные работы принимаются как в печатном (А4), так и в рукописном виде с подробным пояснением выполняемых действий и используемых формул и положений.

5. В любом случае контрольная работа оформляется с титульным листом соответствующей формы.

6. После проверки контрольная работа возвращается студенту для устранения замечаний и дополнительной подготовки к защите. Исправленная работа выносится на защиту.

Варианты контрольной работы

Вариант 1
	1/3 ламп производится на первом заводе, 1/4 – на втором, остальные – на третьем. Вероятности брака в продукции первого, второго и третьего заводов соответственно равны 0,2, 0,15 и 0,05. Найдите вероятность того, что бракованная лампа произведена на первом, втором или третьем заводе.
	Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В течение часа любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,005. Требуется найти вероятность того, что в течение часа было не более 7 вызовов.
	Случайная величина Х задана интегральной функцией Найти: а) дифференциальную функцию (плотность вероятности); б) математическое ожидание и дисперсию величины X; в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ; г) построить графики функций и .
	Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем покупок товаров, не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких, например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в течение января регистрировал частоту покупок стограммовых пакетиков с содой и собрал следующие данные (х_i): 8, 4, 4, 9, 3, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 3, 5, 7, 10, 6, 5, 7, 3, 2, 9, 8, 1, 4, 6, 5, 4, 2, 1, 0, 8. Постройте вариационный ряд, определите его числовые характеристики (Выборочное среднее арифметическое, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, коэффициент вариации). Какие рекомендации вы дали бы администрации универсама?
	Среди стандартных изделий одной фабрики в среднем 15% относится ко второму сорту. С какой вероятностью можно утверждать, что процент изделий второго сорта среди 1000 стандартных изделий данной фабрики отличается от 15% по абсолютной величине меньше чем на 2%?

Вариант 2

Брокерская компания проводит операции с ценными бумагами: 10% сделок заключается с инвестиционными банками, 20% – с другими брокерскими компаниями, остальные – с физическими лицами. Вероятности того, что контрагент не выполнит условия сделки, составляют для указанных групп контрагентов 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля сделок в среднем не исполняется по вине контрагентов.

Среди работников компании каждый пятый имеет высшее образование. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных 4-х работников компании, хотя бы два имеют высшее образование.

Случайная величина X имеет распределение, заданное таблицей

x_i	-2
p_i	0,1	0,4	0,3	0,2

Составить закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности были проведены выборочные бизнес-обследования и получены следующие результаты:

Интервалы значений показателя деловой активности, бал.	0-8	8-16	16-24	24-32
Число предприятий (акционерные общества открытого типа)

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее значение показателя деловой активности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.

Служба контроля энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. С помощью собственно-случайного отбора выбрано 10 квартир и определен расход электроэнергии в течение одного из летних месяцев (кВт ч): 125; 78; 102; 140; 90; 45; 50;125; 115;112. С вероятностью 0,95 определите доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме при условии, что в доме 70 квартир, а отбор был: а) повторным; б) бесповторным.

Вариант 3

Была проведена одна и та же контрольная работа в трех группах. В первой группе из 30 студентов 8 выполнили работу на «отлично», во второй, где 28 студентов, – 6 «отличных» работ, в третьей, где 27 студентов, – 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая выбранная наудачу работа из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана наудачу, окажется «отличной».

При установке газовой плиты вероятность того, что она не потребует ремонта в течение гарантийного срока 0,9. Найти вероятность, что из четырех установленных в коттедже газовых плит, не более чем одной потребуется ремонт в течение гарантийного срока.

Случайная величина X задана функцией распределения

Найти постоянную C, математическое ожидание квадрата случайной величины X и дисперсию случайной величины X, построить графики функция f (x), F (x).

Имеются выборочные данные о стоимости потребительской корзины из 19 основных продуктов по городам N-ой области (на начало 2012 г.).

Стоимость потребительской корзины, тыс. руб.
Число городов области

Постройте полигон распределения частот. Найдите среднюю стоимость потребительской корзины в выборке, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.

Результат обследования 100 рабочих крупного завода, проводимого с целью определения времени, затрачиваемого на обработку детали, приведены в таблице

время обраб.	3,6 - 4,2	4,2 – 4,8	4,8 -5,4	5,4 - 6,0	6,0 - 6,6
число рабоч.

Найти границы, в которых с надежностью 0,95 заключено среднее время обработки детали.

Вариант 4

В библиотеке имеется 5 методичек выпуска 2007 года и 9 методичек по той же теме выпуска 2012 года. Библиотекарь выдает на группу 6 методичек. Какова вероятность того, что первой пришедшей группе будет выдано 5 методичек выпуска 2012 года, если библиотекарь берет методички произвольно?

При передаче сообщения вероятность искажения каждого знака равна 0,01. Предполагая независимость искажения любого из знаков, найти вероятность того, что группа из 5 знаков: а) не будет искажена; б) будет содержать менее двух искажений.

Случайная величина X задана плотностью вероятности

Найти: а) значение параметра a; б) функцию распределения F (x); в) вероятность попадания случайной величины X в интервал

; г) построить графики f (x), F (x).

Имеются выборочные данные о числе сделок, заключенных брокерскими фирмами и конторами города в течение месяца.

Число заключенных сделок	10-30	30-50	50-70	70-90
Число брокерских фирм и контор

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее число заключенных сделок, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, размах вариации. Объясните полученные результаты.

Размер некоторой детали измерялся 8 раз. Результаты измерений в мм таковы: 5,4; 5,0; 4,8; 4,9; 5,2; 5,3; 5,2; 5,0. Зная, что ошибки измерений следуют нормальному закону, найти: а) вероятность получения случайного результата измерений в пределах полученных при измерениях результатов; б) доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,99; в) доверительный интервал для оценки средней квадратической ошибки с надежностью 0,95.

Вариант 5

В партии из 20 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными.

По многолетним наблюдениям в районе обсерватории из 30 ноябрьских ночей ясными бывают, в среднем, 10 ночей. Группе астрономов, собирающихся сделать мировое открытие, выделено 5 ночей для наблюдений. Найти вероятность того, что мировое открытие будет совершено, если для этого потребуется, по крайней мере, 2 ясные ночи.

Случайная величина X задана интегральной функцией (функцией распределения)

. Найти: а) математическое ожидание случайной величины X (ответ записать в виде десятичной дроби приближённо с точностью до 0,01); б) вероятность попадания значений X в интервал (0, 3). в) построить графики функций

Имеются данные о годовой мощности предприятий в 2003 году

Предприятия с годовой мощностью, тыс. т	Количество предприятий
До 500
500 – 1000
1000 – 2000
2000 – 3000
Свыше 3000

а) Постройте гистограмму, кумуляту.

б) Рассчитайте среднюю мощность предприятий.

в) Найдите дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

г) Сделайте анализ полученных результатов.

Произведено измерение некоторого размера у 25 деталей. При обработке результатов измерений, следующих нормальному закону, найдено:

мм,

. Определить: а) вероятность получения случайного результата в пределах от 18 до 19 мм; б) доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,99 с применением нормального распределения; в) доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95.

Вариант 6

В первом ящике находится 5 белых и 3 черных шара, а во втором – 3 белых и 5 черных. Из первого ящика перекладывают во второй наугад два шара, а затем берут из второго один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется черным.

Найти вероятность наступления события A ровно 3 раза в 5 независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 1/3. Определить также вероятность наступления события A не менее 4 раз в этих же условиях.

Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию A и 15 тыс. руб. в компанию B. Компания A обещает 20% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,1. Компания B обещает 10% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,05. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, определить ожидаемую доходность и уровень риска.

Имеются данные о группировке коммерческих банков РФ по величине объявленного уставного фонда (на 1 марта 2009 г.).

Объявленный уставной фонд, руб.	До 100 млн.	100-500 млн.	500 млн-1 млрд.	Свыше 1 млрд.
Число коммерческих банков

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите средний размер объявленного уставного фонда коммерческих банков РФ. Охарактеризуйте колеблемость размера объявленного уставного фонда коммерческих банков с помощью соответствующих показателей.

При просмотре 10000 волокон из партии льна обнаружено 1200 недозрелых. Сколько надо просмотреть волокон льна из этой партии, чтобы с вероятностью

можно было ручаться за точность определения доли недозрелых волокон во всей партии в пределах 1%? Отбор бесповторный.

Вариант 7

В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

На факультете учатся 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днем рождения: а) трех студентов; б) не менее трех.

Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию A и 15 тыс. руб. в компанию B. Компания A обещает 10% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,5. Компания B обещает 5% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,25. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, определить ожидаемую доходность и уровень риска.

Имеются данные о денежной эмиссии, осуществлявшейся ЦБ РФ в период 2001-2004 гг.

Годы
Размер эмиссии, млрд. руб.	89,3	1 513,0	10 904,8	23169,9

Найдите среднегодовой размер эмиссии за указанный период. Охарактеризуйте колеблемость размера эмиссии с помощью различных показателей вариации.

При изучении физико-механических свойств обувных кож испытано n = 12 образцов и получены следующие значения предела прочности кожи на разрыв X, Н/мм:

№ п/п	x_i
	18.6
	19.2
	17.0
	19.8
	21.3
	16.2
	17.4
	20.5
	19.6
	18.3
	18.1
	16.9

Требуется:

а) выполнить первичную статистическую обработку результатов наблюдений, т.е. определить выборочное среднее , «исправленное» стандартное отклонение S (X) и коэффициент вариации V изучаемого признака;

б) полагая, что изменчивость величины признака X описывается законом нормального распределения, найти доверительный интервал для среднего предела прочности a этой кожи на уровне заданной надежности γ = 0,90.

Вариант 8

В телеателье имеется три кинескопа. Вероятности неисправности каждого из них соответственно равны 0,1; 0,2; 0,1. Какова вероятность того, что среди этих кинескопов исправными окажутся: а) два кинескопа; б) хотя бы один кинескоп.

Имеется 4 колоды карт по 36 листов. Из каждой колоды извлекают по одной карте. Какова вероятность, что среди извлеченных карт 3 картинки?

Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Рассматривается случайная величина X – число попаданий при трех выстрелах. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Имеются данные о еженедельном количестве проданных компьютеров одной из фирм: 398, 412, 560, 474, 544, 690, 587, 600, 613, 457, 504, 477, 530, 641, 359, 566, 452, 633, 474, 499. 580, 606, 344, 455,505, 396, 347, 441, 390, 632, 400, 582. Составьте вариационный ряд. Найдите среднее количество проданных компьютеров. Рассчитайте показатели вариации (Выборочное среднее арифметическое, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, коэффициент вариации).

При выборочном обследовании физического веса готовой продукции по схеме бесповторного собственно-случайного отбора получены следующие результаты:

Вес единицы продукции, кг	12-15	15-18	18-21	21-24	24-27
Число обследованных единиц

Найти доверительные границы для генерального среднего, отвечающие вероятности , если вся партия содержит 980 единиц.

Вариант 9

В тире имеется пять винтовок, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Стрелок берет наудачу одну из винтовок. Найти вероятность попадания в цель.

Имеется 2 урны. В первой урне 5 белых и 5 черных шаров. Во второй урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу выбирается урна и из нее вынимается шар. Затем шар возвращается в урну, из которой его вынули, и процедура повторяется еще 5 раз (всего процедура проведена 6 раз). Какова вероятность того, что число вынутых белых шаров будет: а) три; б) более трех.

По заданному закону распределения дискретной случайной величины X найти ее среднее квадратическое отклонение, получить функцию распределения F (x), привести аналитическое и графическое изображение функции распределения F (x), построить многоугольник распределения вероятностей.

x_i
p_i	0,1	0,2	0,2	0,1	0,4

Имеются данные о числе тонн грузов, перевозимых еженедельно паромом некоторого морского порта в период навигации: 398, 412, 560, 474, 544, 690, 587, 600, 613, 457, 504, 477, 530, 641, 359, 566, 452, 633, 474, 499, 580, 606, 344, 455, 505, 396, 347, 441, 390, 632, 400, 582. а) Составьте вариационный ряд. б) Рассчитайте показатели вариации ряда (Выборочное среднее арифметическое, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, коэффициент вариации). в) Сделайте анализ полученных результатов.

По схеме повторной выборки произведено выборочное измерение выработки на земляных работах у 145 рабочих. В результате этого обследования средняя выработка определена в 4,95 м³ на одного рабочего, а среднее квадратическое отклонение оказалось равным 1,5 м³. Найти доверительные границы для генерального среднего, отвечающие вероятности

Вариант 10

В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся белыми?

Известно, что 30% призывников имеют 27 размер обуви. Сколько пар обуви надо иметь на складе воинской части чтобы с вероятностью р₀=0,9 были обеспечены все такие призывники, если в часть прибыло 200 новобранцев.

x_i
p_i	0,3	0,1	0,3	0,2	0,1

Кредиты ЦБ РФ предприятиям России за 7 месяцев 2012 г. (с апреля по октябрь) характеризуются следующими данными:

Месяц	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь
Размер кредитов, млрд. руб.	918,1	1 025,3	1041,8	1 393,0	1 860,0	2 153,2	2 731,0

Найдите среднемесячный размер кредита за указанный период. Охарактеризуйте колеблемость размеров кредита с помощью соответствующих показателей.

По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40 мм, а S= 1,8 мм. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала

Вариант 11

В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наудачу извлечены 2 шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.

Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

По заданному закону распределения дискретной случайной величины X, найти ее среднее квадратическое отклонение, привести аналитическое и графическое изображение функции распределения F (x), построить многоугольник распределения вероятностей.

x_i
p_i	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей (Выборочное среднее арифметическое, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, коэффициент вариации)

х_i	0,01	0,03	0,04	0,07
m_i

По выборке объемом 25 единиц определена выборочная средняя диаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ= 0,975 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм.

Вариант 12

В урне находится 12 шаров: 8 белых и 4 красных. Какова вероятность того, что выбранные наугад два шара будут одного цвета.

Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при одном броске 0,5. Произведено 6 бросков. Найти вероятность того, что попаданий будет больше половины.

Плотность распределения случайной величины

Найти параметр a, функцию распределения и F (x) и вероятность

. Построить графики функций

варианты, x_i
относительная частота,	0,15	0,28	0,25	0,32

Партия изделий считается годной к выпуску, если брак в ней не превышает 3%. Из партии в 2000 изделий было отобрано и проверено 400. При этом бракованных изделий оказалось 6. Какова вероятность того, что вся партия удовлетворяет техническим условиям и может быть принята?

Вариант 13

В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течение смены для станков соответственно равна 0,1, 0,2 и 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены безотказно проработают два станка.

Выход молодняка в инкубаторе составляет в среднем 75% числа заложенных яиц. Оценить вероятность того, что из 8000 заложенных в инкубатор яиц вылупится от 5950 до 6050 (включительно) яиц.

Обзор счетов 400 инвесторов на фондовой бирже дал следующую информацию о числе сделок в течение последнего квартала:

Число следок, X
Число держателей финансовых инструментов

1. Постройте график распределения X.

2. Найдите вероятность того, что случайно выбранный инвестор произвел:

- ноль сделок;

- по крайней мере, одну сделку;

- больше пяти;

- меньше шести.

3. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа сделок.

x_i
m_i

Определить численность выборки при обследовании остатков на расчетных счетах у клиентов Госбанка, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка репрезентативности не превышала 5 руб., если

руб.

Вариант 14

Два производственных участка по выпуску однотипной продукции за смену выдали одинаковое количество изделий. Возможный процент брака на первом участке составляет 5%, на втором – 4%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, из числа поступивших на склад, не соответствует установленным требованиям.

Всхожесть семян новой культуры 85%. На опытном участке посеяли 500 семян. Найти вероятность того, что прорастут от 400 до 450 семян.

Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [2, 6]. Какова вероятность принятия ею значений, не более, чем на 0,5 отклоняющихся от среднего значения?

Ниже представлена группировка отраслей и подотраслей промышленности по темпам роста цен на изготавливаемую продукцию за период с начала года.

Сентябрь 2006 г., % к декабрю 2005 г.	92,1-100,0	100,1-108,0	108,1-116,0	116,1-124,0	124,1-132,0	132,1-140,0
Число отраслей и подотраслей, единиц

Найдите среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Постройте гистограмму. Сделайте выводы.

Из партии изделий объемом в 2000 штук сформирована выборка размером 110 единиц, распределение которых по значению признака X дается следующей таблицей:

X	<500	500 -1000	1000 - 1500	1500 - 2000	2000 - 2500	Всего
Y

Определить:

а) Пределы, в которых с вероятностью 0,954 заключено среднее значение величины X;

б) Вероятность того, что доля признака Y для X не менее 1500, во всей совокупности, отличается от выборочной доли не более чем на 0,05 (по абсолютной величине).

Вариант 15

Есть три завода,производящих одну и ту же продукцию.При этом1-й заводпроизводит 25%, 2-й завод − 35% и 3-й завод − 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти: а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.

Возможно короткое замыкание, вероятность которого равна 0,0005 для каждого провода коммуникации. Всего проходит 4000 проводов. Определить вероятность возникновения обесточивания всей системы, если для этого достаточно хотя бы одного замыкания.

Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

. Найти плотность распределения

, числовые характеристики

. Построить графики функций

Ниже приводятся данные о возрастном составе безработных по Российской Федерации, зарегистрированных в службе занятости по сведениям на последнюю неделю марта 2012 г., %.

Возраст, лет	16-20	20-24	25-29	30-49	50-54	55-59	60-65
Мужчины	7,7	17,0	11,9	50,9	4,2	5,7	2,6
Женщины	11,2	18,5	11,7	49,5	4,0	3,8	1,3

Найдите средний возраст безработных мужчин и женщин, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Оцените различия показателей возрастного состава безработных мужчин и женщин. Сделайте выводы.

Из партии изделий объемом в 15000 штук сформирована выборка размером 150 единиц, распределение которых по значению признака X дается следующей таблицей:

X	24 - 28	28 -32	32 - 36	36 - 40	40 - 44	44 - 48	48 - 52	Всего
Y

Определить:

а) Пределы, в которых с вероятностью 0,975 заключено среднее значение величины X;

б) Вероятность того, что доля признака Y для X не менее 40, во всей совокупности, отличается от выборочной доли не более чем на 0,02 (по абсолютной величине).

Вариант 16

Из 10 билетов выигранными являются 2. Определить вероятности того, что среди взятых наудачу 5 билетов: а) один выигрышный; б) оба выигрышных; в) нет выигрышных.

Вероятность того, что саженец ели прижился, и будет расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев ели. Какова вероятность того, что нормально вырастут не менее 250 деревьев?

Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей

Найти коэффициент A, функцию распределения

, построить графики функций

По выборке 4, 6, 7, 7, 10, 15, 18 найти числовые характеристики выборки (Выборочное среднее арифметическое, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, коэффициент вариации).

Из партии изделий объемом в 1000 штук сформирована выборка размером 100 единиц, распределение которых по значению признака X дается следующей таблицей:

X	<50	50 -52	52 - 54	54 - 56	56 - 58	58 - 60	Всего
Y

Определить:

а) Пределы, в которых с вероятностью 0,925 заключено среднее значение величины X;

б) Вероятность того, что доля признака Y для X не менее 54, во всей совокупности, отличается от выборочной доли не более чем на 0,01 (по абсолютной величине).

Вариант 17

Из 36 карт наугад выбираются 3. Вычислите вероятность того, что среди них будут король и дама.

Вероятность того, что договор страховой компании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,2. Страховая компания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 180 до 300 раз включительно.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины с плотностью

По данным выборочного обследования получено следующее распределение семей по среднедушевому доходу

Среднедушевой доход семьи в месяц, у.е.	до 25	25-50	50-75	75-100	100-125	125-150	150 и выше
Количество обследованных семей

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедушевой доход семьи в выборке, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.

X	3 - 5	5 - 7	7 - 9	9 - 11	11 - 13	13 - 15	15 - 17	Всего
Y

Определить:

а) Пределы, в которых с вероятностью 0,99 заключено среднее значение величины X;

б) Вероятность того, что доля признака Y для X не менее 13, во всей совокупности, отличается от выборочной доли не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).

Вариант 18

Какова вероятность того, что пятизначное число состоит из цифр 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной плотностью распределения

. Найдите интегральную функцию распределения, постройте графики

По данным выборочного обследования получено следующее распределение по среднедушевому доходу

Среднедушевой доход семьи в месяц, у.е.	до 25	25 – 50	50 – 75	75 – 100	100 – 125	125 – 150	150 и выше
Количество обследованных семей

Постройте гистограмму, кумуляту. Рассчитайте среднюю мощность предприятий. Найдите дисперсию. среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте анализ полученных результатов.

Из партии в 5000 электрических ламп было отобрано по схеме бесповторной выборки 300. Средняя продолжительность горения ламп в выборке оказалась равной 1450 ч, а дисперсия – 40000. Какова вероятность того, что средний срок горения ламп во всей партии заключен в пределах от 1410 до 1490 ч?

Вариант 19

На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 3% брака, второй – 2% и третий – 4%. Найти вероятность того, что на сборку попадет бракованная деталь, если с первого автомата поступает 100, со второго – 200, с третьего – 250 деталей.

Вероятность появления события A в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна p = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

Математическое ожидание распределённой по Пуассону случайной величины равно трём. Какова вероятность, что при проведении опыта значение случайной величины не превзойдёт двух?

По результатам выборочного обследования торговых киосков города получены следующие данные о дневной выручке частного бизнеса.

Выручка от продажи товара, тыс. у. е.	до 1	1-1,2	1,2-1,4	1,4-1,6	1,6-1,8	1,8-2,0	2,0 и выше
Число торговых киосков

Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедневную выручку от продажи товаров, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.

Из генеральной совокупности извлечена выборка

x_i	-2
m_i

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а.

Вариант 20

На склад поступают детали заводов № 1 и № 2. Первый завод производит 80% стандартных изделий, завод № 2 – 60%. Наудачу взяли по одной детали каждого завода. Найти вероятности следующих событий: а) обе детали стандартны; б) только одна деталь стандартна; в) хотя бы одна деталь стандартна.

Вероятность поражения мишени стрелком равна

. Найти вероятность того, что при n = 2100 выстрелах мишень будет поражена ровно 1500 раз.

Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов 5 недействующих. Случайным образом из этой партии взято 4 аппарата. Построить закон распределения случайной величины X – числа недействующих аппаратов из числа отобранных. Найти дисперсию этой случайной величины. В каких единицах она измеряется? Построить интегральную функцию распределения случайной величины X, многоугольник распределения.

Постройте гистограмму частот, найдите среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники.

Выручка, у.е.	0-200	200-300	300-400	400-500	500-600	600-700
Число дн.

Из 2000 деталей было отобрано 400, распределение которых по размеру дается следующей таблицей:

Размер детали, мм	7,95-8,00	8,00-8,05	8,05-8,10	8,10-8,15	8,15-8,20	8,20-8,25
Количество деталей

Найти ошибку выборки при определении среднего в случаях повторного и бесповторного отбора.

Вариант 21

На склад поступило 1500 изделий с первой фабрики и 2000 изделий со второй. Известно, что средний процент нестандартных изделий среди продукции первой фабрики равен 3%, второй – равен 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным.

Вероятность поражения мишени стрелком равна

. Найти вероятность того, что при n = 2100 выстрелах мишень будет поражена от 600 до 660 раз.

Закон распределения P (X = x) приведен в таблице. Требуется: а) определить математическое ожидание M (X), дисперсию D (X) и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; б) построить график этого распределения, в) функцию распределения отобразить аналитически и графически.

x_i
p_i	0,16	0,35	0,31	0,12	0,03	0,03

Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную работников одного из цехов промышленного предприятия.

Заработная плата, у.е.	50-75	75-100	125-150	150-175	175-200	200-225
Число работников

Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации заработной платы.

Для установления среднего веса изделия из 300 контейнеров организована серийная выборка с бесповторным отбором. Выбрано 6 контейнеров, каждый из которых содержит 40 изделий. Получены следующие результаты.

Номер контейнера	Средний вес изделия, г	Среднее квадратическое отклонение, г
	10,55	0,28
	10,58	0,31
	10,59	0,25
	10,62	0,27
	10,64	0,26
	10,65	0,30

Найдите необходимый объем выборки, с вероятностью 0,99, гарантирующий предельную ошибку оценки среднего веса изделия в партии, равную 0,025 г.

Вариант 22

На склад с трех предприятий поступает продукция первого и второго сорта. В продукции первого предприятия содержится 15% второсортных изделий, в продукции второго предприятия – 25%, в продукции третьего предприятия – 30%. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортными два изделия.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 75 раз и не более 90 раз.

Завод получает сырье на автомашинах от трех независимо работающих поставщиков. Вероятность прибытия автомашины от первого поставщика равна 0,2, от второго – 0,3, от третьего – 0,1. Составить распределение числа прибывших машин. Найти математическое ожидание и дисперсию полученной случайной величины. Построить график интегральной функции распределения.

Предположим, у вас есть следующая информация об акциях A и B:

Экономическое состояние в следующем году	Вероятность того, что произойдет	Возврат по акции B в следующем году, %	Возврат по акции A в следующем году, %
Снижение деловой активности	0,3	9,8
Умеренный рост	0,4	11,2
Подъем деловой активности	0,3

Рассчитайте среднюю арифметическую, дисперсию и коэффициент вариации для акций A и B. Если вы решили купить одну акцию, какую из двух вы выберете? Почему?

Для определения средней урожайности пшеницы с одного гектара на площади в 20000 га проведено точное выборочное обследование, результаты которого приведены в таблице

Урожайность пшеницы, ц/га	15,0-17,5	17,5-20,0	20,0-22,5	22,5-25,0	25,0-27,5
Площадь, га

Какова вероятность того, что средняя урожайность пшеницы на всем массиве отличается от среднего выборочного не более чем на 15 кг?

Вариант 23

Отдел технического контроля проверяет поступающие из двух цехов изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие цеха № 1 стандартно, равна 0,9, для изделия цеха № 2 эта вероятность равна 0,95. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий (по одному от каждого цеха) только одно стандартное.

Вероятность найти белый гриб среди прочих равна

. Какова вероятность того, что: а) среди 300 грибов белых будет 75; б) белых грибов будет не менее 50 и не более 100?

Дискретная случайная величина X может принимать только два значения:

, причем

. Известны вероятность

возможного значения

, математическое ожидание M (X) = 3,5 и дисперсия D (X) = 0,25. Найти закон распределения этой случайной величины. Отобразить найденный закон аналитически и графически.

Предположим, что на некотором предприятии собраны данные о числе дней, пропущенных работниками по болезни.

Число дней, пропущенных в текущем месяце
Число работников

Постройте полигон распределения частот. Найдите среднее число пропущенных дней, стандартное отклонение, коэффициент вариации. Является ли распределение симметричным?

Для определения среднего процента сырого белка в зернах пшеницы было отобрано 626 зерен, обследование которых показало, что выборочное среднее равно 16,8, а выборочная дисперсия – 4. Чему равна вероятность того, что средний процент сырого белка отличается от 16,8 по абсолютной величине меньше, чем на 0,2%?

Вариант 24

Среди кандидатов в студенческий совет факультета три первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на предстоящую конференцию. Найти вероятности следующих событий: А – будут выбраны одни третьекурсники, В – будет выбран следующий состав: 1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 третьекурсника; С – все первокурсники попадут на конференцию; D – не будет выбрано ни одного второкурсника.

В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Вероятность рождения мальчика 0,515. Найти вероятность того, что среди них: а) девочек и мальчиков будет поровну; б) мальчиков меньше, чем девочек.

Дано распределение дискретной случайной величины X. Построить аналитически и графически функцию распределения F (x). Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

x_i
p_i	0,3	0,1	0,1	0,5

При взвешивании груза получены следующие данные 129, 125, 130, 122, 135, 125, 120, 130, 127. Определить среднее значение веса груза, среднюю ошибку взвешивания и другие показатели вариации (Выборочное среднее арифметическое, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, коэффициент вариации).

Для определения процента нестандартных изделий в партии, объем которой равен 10000, было отобрано 500 деталей, среди которых оказалось 10 нестандартных. Найти ошибку выборки при определении доли в случаях повторного и бесповторного отбора.

Вариант 25

Среди поступающих на склад деталей 70% из цеха 1, 30% − из цеха 2. Вероятность брака для цеха 1 равна 0,02, для цеха 2 – 0,03. Наудачу взятая деталь оказалась доброкачественной. Какова вероятность того, что она изготовлена в цехе 1?

В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти: 1) вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники. 2) вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.

Дано распределение дискретной случайной величины X. Построить функцию распределения F (x), отобразить ее аналитически и графически. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

x_i
p_i	0,1	0,4	0,5

При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи: 5; 3; 2; 1; 4; 6; 3; 7; 9; 1; 3; 2; 5; 6; 8; 2; 5; 2; 3; 6; 8; 3; 4; 4; 5; 6; 5; 4; 7; 5; 6; 4; 8; 7; 4; 5; 7; 8; 6; 5; 7; 5; 6; 6; 7; 3; 4; 6; 5; 4. Составьте вариационный ряд распределения частот. Постройте полигон распределения частот, кумуляту. Определите среднее число членов семьи. Охарактеризуйте колеблемость размера семьи с помощью показателей вариации. Объясните полученные результаты, сделайте выводы.

Для определения процента изделий второго сорта в партии производится случайная повторная выборка объемом 100 единиц. Определить доверительные границы для процента изделий второго сорта во всей партии, которые могут быть гарантированы с доверительной вероятностью

, если в выборке оказалось 25 изделий второго сорта.

Вариант 26

Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвертой – 0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

В магазине 5 холодильников. Вероятность выхода из строя каждого холодильника в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребует: 1) 4 холодильника; 2) не менее 2 холодильников; 3) не более 1 холодильника; 4) не менее 1 холодильника.

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2. Куплено 3 билета. Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины X – числа выигрышных билетов. Функцию распределения отобразить аналитически и графически.

При обследовании надоя коров случайным образом отобрали 307 коров, данные по ним сгруппировали и составили таблицу

надои	3000-3400	3400-3800	3800-4200	4200-4600	4600-5000
число коров

Найти выборочное среднее, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, коэффициент вариации.

Выборочно обследовали качество кирпича. Из 1600 проб в 32 случаях кирпич оказался бракованным. Требуется определить, в каких пределах заключается доля брака для всей продукции, если результат необходимо гарантировать с вероятностью

Вариант 27

У фотолюбителя в коробке находится 5 одинаковых кассет с

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
	\|	азрешение на допуск к работе

Поделиться с друзьями:

Дата добавления: 2017-02-11; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2411 | Нарушение авторских прав

Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Начинайте делать все, что вы можете сделать – и даже то, о чем можете хотя бы мечтать. В смелости гений, сила и магия. © Иоганн Вольфганг Гете
==> читать все изречения...

1804 -

| 1650 -

Ген: 0.097 с.