Определение 1.3. Линейным разностным уравнением второго порядка называется уравнение вида:
(1.7)
где 
– заданные функции от n. Если 
, то уравнение называется однородным. В противном случае 
- не однородным.
Если 
и 
постоянные, то (1.7) называют уравнением с постоянными коэффициентами.
Уравнение (1.7) можно решить методами, аналогичными методам решения уравнений первого порядка. Полагая 
, можно выразить 
через 
и 
. Полагая 
, выразим 
через 
, а затем через и . Теоретически таким образом можно выразить 
через и . Однако вычисления при этом оказываются очень громоздкими, и вывести общую формулу для крайне трудно. Случай постоянных коэффициентов поддается решению общими методами.
Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
. (1.8)
Будем считать 
постоянными, причем 
.
Будем искать решение уравнения (1.8) в виде:
, (1.9)
где 
– некоторое число. Учитывая, что 
, из уравнения (1.8) получим:
,
или, 
(1.10)
Уравнение (1.10) называется характеристическим уравнением для разностного уравнения (1.8). Оно является квадратным и имеет следующие корни:
.
При решении характеристического уравнения следует рассматривать три случая. Два его корня могут быть действительными и различными (когда 
); они могут быть действительными и равными между собой (
) или же комплексными (
).
Случай 1. Если 
, то описанный выше метод дает два решения уравнения (1.8): 
и 
. Общее решение имеет вид:
, (1.11)
где 
– произвольные постоянные.
Постоянные 
и 
можно выразить через значения 
. Полагая 
в решении (1.11) получаем:
или
Решая систему уравнений, находим:
, 
. (1.12)
Таким образом, если даны 
, то этим определено единственное решение уравнения (1.8).
Пример 1.7. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка 
Выписать общую формулу для , если 
и 
. Чему равно 
?
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет корни
.
По формуле (1.11) общее решение имеет вид:
.
По формулам (1.12) находим:
.
Таким образом, единственным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является
.
При 
получаем 
.
Случай 2. Если , то корни характеристического уравнения (1.10) равны между собой: 
. Рассмотренный метод порождает лишь одно решение 
. Однако, другим решением уравнения (1.8) служит 
.
Тогда общее решение можно записать в виде:
, (1.13)
где 
и 
– произвольные постоянные. Чтобы убедиться в этом, подставим (1.13) в (1.8). Получим:
Первые два слагаемых обращаются в нуль, т.к. 
. Третье слагаемое равно нулю, поскольку 
и 
.
Итак, получим, что формула (1.13) дает общее решение уравнения (1.8).
Полагая и в (1.13), получим:
Отсюда, 
, 
. (1.14)
Пример 1.8. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка 
. Найти , если 
и 
.
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет единственный корень 
. Поэтому общее решение уравнения имеет вид:
.
Полагая , , получаем 
и 
. Таким образом, 
. В частности, 
.
Случай 3. Если 
, то корни характеристического уравнения (1.10) являются комплексно-сопряженными числами:
, 
, (1.15)
где 
– мнимая единица 
.
Общее решение уравнения (1.8) записывается в виде:
, (1.16)
где , – произвольные постоянные, 
.
Постоянные , можно выразить, как и прежде, через и .
Решение (1.16) разностного уравнения (1.8) обладает интересными свойствами. Так как 
и 
с увеличением 
колеблются между значениями -1 и 1, решение также колеблется несколько более сложным образом. Свойство этого решения покажем на примере.
Пример 1.9. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка 
. Найти , если 
, а .
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет комплексные корни 
, 
. Так как 
, 
, 
, то 
. Отсюда общее решение
.
Полагая и 
, получаем 
и 
. Искомое решение есть
.
В частности, 
, 
, 
, 
и т.д.
Пример 1.10. С целью анализа распространения инфекционных заболеваний в школе ведется запись вспышек кори. Согласно полученным оценкам, вероятность 
возникновения хотя бы одного нового случая заболевания спустя недель после вспышки удовлетворяет уравнению 
. Найдите , если 
и 
.
Решение. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Учитывая формулу (1.13), получим:
.
Считая 
и 
, имеем:
.
.
Искомое решение есть
. (1.17)
Из (1.17) последовательно находим: , 
, 
, 
, 
. Отсюда заключаем, что через три недели вероятность нового случая кори становится меньше 50 %.
1.3. Метод вариации постоянных для разностных уравнений второго порядка
Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
, (1.18)
с постоянными (при ).
Для решения уравнения (1.18) применим методы, использованные в
п. 1.2, но для простоты рассмотрим лишь случай действительных и различных корней 
.
Пусть 
– корни характеристического уравнения 
, соответствующего однородному уравнению (1.8). Тогда 
– общее решение (1.8), причем 
и 
– произвольные постоянные.
Идея метода вариации постоянных состоит в том, чтобы считать постоянные и зависящими от таким образом, что получается решение неоднородного уравнения (1.18). Согласно этому, будем искать решение в виде:
, (1.19)
где 
и 
могут изменяться вместе с .
Из (1.19) имеем:
.
Прибавив к правой части и отняв от нее величину 
, получим:
Для упрощения записи будем считать, что
, (1.20)
при любом значении . Тогда получим:
. (1.21)
Из уравнения (1.21) имеем: 
. Поступая как и выше, получим:
(1.22)
Подставив теперь выражения (1.22), (1.21), (1.19) в уравнение (1.18), получим:
Группируя слагаемые и приравнивая правую часть 
,имеем:
(1.23)
Т.к. 
и 
– корни характеристического уравнения, то первые два выражения в квадратных скобках (1.23) обращаются в нуль и, значит,
(1.24)
Объединив (1.20) и (1.24), мы получим систему двух уравнений
(1.25)
относительно двух неизвестных 
и 
.
Решив систему, получим:
, (1.26)
. (1.27)
Уравнения (1.26) и (1.27) представляют собой линейные разностные уравнения первого порядка, которые можно решить методами п.1.1.
Решая (1.26), получаем:
,
,
,
…
(1.28)
Аналогично для уравнения (1.27) имеем общее решение
(1.29)
Т.о., общее решение уравнения (1.18) запишется в виде
, (1.30)
где и выражаются формулами (1.28), (1.29).
Если известны и , то постоянные 
и 
находим из уравнений 
, 
.
Пример 1.11. Если бы популяция рыб росла, не подвергаясь внешним возмущениям, то ее прирост в 
-м году был бы вдвое больше прироста в -м году. Однако в исследовательских целях к популяции ежегодно добавлялось по 100 рыб. Найти – численность популяции рыб в -м году, если 
, 
.
Решение. Численность рыб удовлетворяет разностному уравнению второго порядка 
Или 
.
Здесь 
. Характеристическим служит уравнение 
с корнями 
. Общее решение уравнения имеет вид:
.
По формулам (1.28), (1.29) находим:
.
.
Таким образом, 
.
Найдем постоянные и . При 
и 
имеем:
Отсюда 
, 
, а искомое решение есть
.
В частности, 
, 
, 
. Ясно, что численность рыб продолжает очень быстро возрастать.
