Элементы теории.
Пусть имеется упругий линейный элемент, например, пружина жесткостью k, (Н/м). Элемент ограничен двумя узлами i и j, где к нему приложены силы fi и fj,(Н), которые вызывают смещения узлов ui и uj, (м), вызывая деформацию, например, удлинение элемента, равную разности перемещений его концов: 
.
Силу, направленную с положительным направлением координатной оси (например, Ох), принято считать положительной. Силу, сонаправленную с отрицательным направлением координатной оси – отрицательной.
По определению, коэффициент жесткости k численно равен силе, вызывающей деформацию элемента на единицу длины, поэтому зависимость между силами fi и fj и вызываемыми ими деформациями равны:
(1)
Равенства (1) можно записать в матричной форме:
(2)
Или в более лаконичной форме
(3)
Здесь k симметричная матрица, называется матрицей жесткости упругого элемента, u –вектор –столбец перемещений, f –вектор приложенных сил.
Рассмотрим систему из двух последовательно соединенных упругих элементов (двух пружин жесткостью k1 и k2).
В этой системе помимо внешних сил действуют еще и внутренние силы, приложенные к общей точке соединения элементов (общем узле).
В i –ом узле m-го элемента могут действовать несколько сил, которые мы будем обозначать через 
, результирующие этих сил обозначим через 
.
В рассматриваемом случае i =1,2,3, а m =1,2, на узел 1 действует сила 
, на узел 2 сила 
, на узе 3 сила: 
.
В соответствии с равенством (2) для элементов системы можно записать:
Для первого элемента:
Для второго элемента:
Для составления матрицы жесткости системы из двух последовательно соединенных упругих линейных элементов рассмотрим равновесие сил, действующих на каждый из узлов, перемещения которых обозначим как Δi:
Перепишем эти равенства в виде линейной системы:
(4)
Линейную систему (4) можно записать в матричной форме:
(5)
или, в прежнем в виде матричного уравнения (2):
.
Здесь k матрица жесткости системы является первым сомножителем равенства (5).
Для наглядного представления о способе получения матрицы жесткости данной системы элементов, мысленно выделим матрицы жесткости упругих элементов 1 и 2 в отдельности. В виде подматриц они расположены на главной диагонали матрицы k и «сцеплены» в общем узле 
.Их главные диагонали совпадают с главной диагональю общей матрицы жесткости и на ней же стоят суммы жесткостей элементов системы, примыкающих друг к другу.
Пример 1.
Описать растяжение двух последовательно соединенных пружин с жесткостью 
жестко закрепленных на одном конце (узел 1).Найти перемещения второго и третьего узлов и реакцию опоры в первом узле.
Решение
Предположим, что узел 1 системы жестко закреплен и перемещаться не может (u1=0), в этом узле в нем силой F1 будет реакция связи с опорой, а в узлах 2 и 3 приложены равные силы F2=F3=Р.
При этом равенство (5) запишется в виде:
Выполняем умножение матриц.
Приравнивая сходственные элементы столбцов, получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными 
:
Решая эту систему, получим:
ример 2.
Систему образуют три последовательно соединенные пружины с жесткостью k1=100Н/см, k2=200 Н/см и k3=100 Н/см соответственно. Концы системы закреплены (узлы 1 и 4) u 1 = u 4 = 0. В узле 3 между второй и третьей пружинами приложена продольная сила Р=500Н, сжимающая третью пружину, на узел 2 внешние силы не действуют.
Определить: 1) глобальную матрицу жесткости системы; 2) смещения узлов 2 и 3; 3)реакции связи в первом и четвертом узлах; 4) усилие в элементе 2.
Решение
Запишем матрицы жесткости для каждого из элементов системы:
Глобальная матрица жесткости строится исходя из принципа суперпозиции, и имеет вид симметричной и ленточной матрицы:
Уравнение равновесия для всей системы упругих элементов имеет вид:
(*)
Чтобы учесть в данном уравнении граничные условия u 1 =0 и u 4 = 0 надо вычеркнуть в матрице К первую и четвертую строки, первый и четвертый столбцы. При этом получаем:
При умножении матриц получаем систему:
откуда
Итого, имеем следующие значения смещений: 
Система (*) принимает вид:
Умножая первую и четвертую строки матрицы жесткости на вектор-столбец смещений и приравнивая первому и четвертому элементам столбца в правой части, получаем:
Конечно-элементным уравнением для элемента 2 системы будет
Подставляя численные значения, получим
Откуда
Итого 
.
Задача решена полностью.
ример 3.
Двухступенчатый стержень с двумя ступенями одинаковой длины l, имеющих площади поперечного сечения ступеней S1 и S2 заделан с левого торца в стену и нагружен на правом торце усилием Р, направленным вдоль оси стержня. Модуль упругости материала стержня – Е. Составить матрицу жесткости стержня, определить перемещения сечений 1, 2 и 3.
Решение
Разобьем стержень на два участка (элемента) 1 и 2 и введем на их концах узлы 1, 2 и 3 где будем определять неизвестные перемещения u1,u2 и u3.
Рассмотрим отдельно один элемент длиной l и площадью поперечного сечения S к концам которого приложены силы Р1 и Р2, направленные вдоль оси стержня. Под их действием торцы стержня (узлы) имеют осевые перемещения l 1 и l 2. Связь между усилиями и перемещениями даются соотношениями:
; 
Систему из этих двух равенств можно записать в матричной форме
(п.3.1)
или
(п.3.2)
Здесь матрица жесткости элемента, связывающая узловые усилия и перемещения имеет вид:
(п.3.3)
Составим уравнение равновесия для всего двухступенчатого стержня, объединяя полученные соотношения для элементов 1 и 2, записанные с учетом равенства (п.3.3). Так как стержень состоит из нескольких элементов, то его глобальная матрица жесткости должна включать матрицы жесткости этих элементов. Это включение состоит в том, что их главные диагонали должны совпадать с главной диагональю глобальной матрицы жесткости и состыковываться в узле 2.
На основании (п.3.1) общую систему уравнений равновесия можно записать в виде матричного равенства:
(п.3.4)
Здесь 
- перемещение i – го узла всей системы.
В правой части равенства (п.3.4) учтено, что реакция опоры F1 приложена к первому узлу системы, второй узел свободен от внешних нагрузок, а внешнее усилие Р приложено к третьему узлу.
Теперь вводим граничные условия в перемещениях. Первый узел закреплен, а потому 
.
Остальные перемещения находим понижая порядок определителя матрицы жесткости. Это достигается замещением нулями первой строки и первого столбца и помещением в главную диагональ единицы:
или
Умножая матрицы в левой части равенства, получаем равенство двух вектор столбцов:
Отсюда следуют два равенства:
(п.3.5)
Складывая оба равенства, получаем 
. Подставляя это значение 
во второе из равенств системы (п.3.5) и выполняя простейшие преобразования, находим: 
. Окончательным решением поставленной задачи будут значения перемещений
; ;
Ступенчатый стержень можно также рассматривать как систему из двух последовательно соединенных упругих элементов с жесткостями
и 
Тогда для состояния стержня можно составить матричное уравнение, с диагональной и симметричной матрицей жесткости, аналогичное тем, которые рассматривались в предыдущих примерах:
Перемещения u2 и u3 определяем заменой нулями первой строки и первого столбца и установкой единицы в первый диагональный элемент:
Откуда
Решение этого матричного уравнения дает:
ример 4.
Для показанной на схеме системы пружин с жесткостью k1, k2,k3 и k4 построить глобальную матрицу жесткости.
Решение
Составим таблицу связи элементов и номеров узлов этих элементов:
| Элемент | Узел i | Узел j |
Поместим в таблицу матрицы жесткости для каждого элемента, указав при этом, в верхней строке перемещения каких узлов они связывают
| u4 u1 | u2 u3 | u3 u5 | u2 u1 |
| 
| 
| 
|
Используя принцип суперпозиции, составим глобальную матрицу жесткости для всей системы элементов
u1 u2 u3 u4 u5
Полученная матрица является ленточной и симметричной. В рассмотренных примерах длина элементов отсутствует. Задача решена.
Задание к лабораторной работе
Вычислить:
• растяжение трех последовательно соединенных пружин жесткостью k1 =5 кН/м, k2=2кН/м и k3=3кН/м. Система закреплена в первом (верхнем) узле и находится под действием силы Р4=0,5 кН, направленной вдоль оси системы и приложенной в четвертом (нижнем) её узле. На узел 2 действует сила Р2=0,2 кН, направленная вниз (по второму варианту направленная вверх). На третий узел силы не действуют. Собственный вес пружин считать пренебрежимо малым. Составить общую матрицу жесткости системы.
• Вычислить продольную деформацию двухступенчатой бетонной опоры, выполненной в виде цилиндра с длиной и площадью поперечного сечения нижней части l 1=0,5м, S1=0,5м2,
с длиной и площадью поперечного сечения верней части l 1=0,3м, S1=0,3м2. На опору положен груз, создающий усилие 2 тонны силы. Модуль Юнга бетона Е=10гПа.
