Задача 1. Задана марковская цепь с переходными вероятностями:
p i 1 = i / (i +1), pi,i +1= 1 / (i +1), i = 1, 2, 3, …
Найти стационарные вероятности состояний МЦ.
Задача 2. В задаче об случайных блужданиях первый столбец матрицы Р переходных вероятностей имеет вид: (q 0, q 1, q 2, …), а вероятности
pi,i +1= 1- qi = pi, i ³ 0.
Найти стационарные вероятности состояний МЦ.
Задача 3. Два стрелка А и В поочередно стреляют по мишени, причем после каждого попадания стреляет тот же стрелок, после промаха он передает право выстрела другому стрелку. Право первого зачетного выстрела предоставляется на тех же условиях. Выбор стрелка для предварительного выстрела определяется по жребию с помощью бросания монеты. Определить вероятность попадания мишени n -м выстрелом, если вероятность попадания стрелком А равна a, стрелком В равна b.
Задача 4. Автомашина используется для перевозки грузов между 2m пунктами на кольцевой трассе: по одному путевому листу она направляется в следующий пункт с вероятность р и в предыдущий пункт с вероятность q = 1 – p. Найти стационарные вероятности того, что автомашина окажется в произвольный момент в пункте с заданным номером.
Задача 5. Физическая модель Эренфестов. В сосуде из двух резервуаров находится m молекул, которые перемещаются из одного резервуара в другой. На каждом шаге каждая молекула может остаться в том же резервуаре с вероятностью р или перейти в другой с вероятностью q = 1– p. Построить марковскую цепь для определения числа молекул в резервуаре.
Задача 6. Из урны, содержащей N белых и черных шаров, в том числе m белых (2m£N), извлекают m шаров. Черные возвращают в урну, а белые заменяют на черные и тоже возвращают в урну. Найти вероятность того, что после n извлечений в урне останется i £ m белых шаров. Составить общие выражения и довести задачу до определения вероятностей при N =6, m =3.
Задача 7. Для марковской цепи заданы вектор вероятностей начальных состояний А = (a, b, g) и матрицы переходных вероятностей на 1, 2 и 3-м шаге соответственно:
| a1 a2 a3 | | a2 a3 a1 | |a3 a1 a2 |
Р 1 = | a3 a1 a2 |, P 2 = | a1 a2 a3 |, P 3 = |a2 a3 a1 |.
| a2 a3 a1 | | a3 a1 a2 | |a1 a2 a3 |
Найти вероятности того, что МЦ после 3-го шага окажется в состоянии i = 1, 2, 3.
Задача 8. Физическая модель Эренфестов. В сосуде из двух резервуаров находится m молекул. На каждом шаге случайно выбирается одна из m молекул и перемещается из своего резервуара в другой. Найти стационарное распределение вероятностей числа молекул в первом резервуаре.
Задача 9. m белых и m черных шаров перемешаны и поровну поделены между двумя урнами. Из каждой урны наугад извлекают один шар и перекладывают в другую урну. Найти стационарное распределение вероятностей числа белых шаров в первой урне.
Задача 10. В задаче о случайных блужданиях переходные вероятности: p 00 = a0, p 01 = b0, pi,i = ai, pi,i +1 = b i, pi,i -1 = g i, i ³ 1.
Найти стационарное распределение вероятностей МЦ и условие эргодичности состояний.
Задача 11. В соревнованиях от каждой команды выступает по три спортсмена, которые встречаются только со спортсменами из других команд. По условиям состязаний ничьих не может быть. Проигравший выбывает из соревнований. Известно, что a, b, g - вероятности того, что в очередном туре соответственно из одного, двух и трех спортсменов данной команды никто не проиграет, b1, g1 – из двух и трех спортсменов данной команды проиграет только один, g2 – из трех спортсменов двое проиграют. Сконструировать марковскую цепь и найти вероятности того, что после n туров в команде останется ровно i спортсменов (i = 0, 1, 2, 3).
Задача 12. Буферное запоминающее устройство (БЗУ) расположено между двумя каналами связи. За один шаг (время h) каждый из двух каналов передает (независимо от другого) одно сообщение безошибочно с вероятностью рi (i =1, 2) и с ошибкой с вероятностью qi = 1 – pi. При возникновении ошибки то же сообщение передается по каналу в следующем интервале h и так делают до тех пор, пока сообщение не будет передано безошибочно. Безошибочно переданное первым каналом сообщение запоминается в БЗУ, а безошибочно переданное вторым каналом сообщение удаляется из БЗУ. Найти стационарное распределение количества находящихся в БЗУ сообщений.
Задача 13. Система состоит из прибора (П) и блокирующего устройства (БУ). При повышении напряжения в сети блокирующее устройство с вероятностью a, а прибор – с вероятностью b. Если отказало БУ, то П при повышении напряжения отказывает с вероятностью g. За время между соседними повышениями напряжения прибор восстанавливает работоспособность с вероятностью d, а при одновременном отказе БУ и П оба восстанавливаются с вероятностью e. Включение БУ и П порознь не производится. Восстановление работоспособности БУ отдельно от П не проводится, так как об отказе БУ узнают только после отказа П. Найти стационарное распределение вероятностей состояний системы.
Задача 14. В задаче о случайных блужданиях вероятности переходов: pi 0= qi, i =0,1,2,… pi,i +1= pi = 1- qi, i =0,1,2,… Найти условие невозвратности состояний марковской цепи.
Задача 15. В урне находится 6 шаров (3 белых и 3 черных). В каждом опыте из урны извлекают 3 шара. Черные возвращают в урну, а белые заменяют на черные и тоже возвращают в урну. Найти вероятность того, что после n опытов в урне останется i белых шаров (i = 0,1,2,3).
Задача 16. В соревнованиях от каждой команды выступают по три спортсмена, которые встречаются только со спортсменами других команд. По условиям соревнования ничьих не бывает. Проигравший спортсмен выбывает из соревнований. Известны вероятности: a, b, g - вероятности того, что в очередном туре из 1, 2 и 3-х спортсменов никто не проиграет,
b1, g1 – из 2 и 3-х оставшихся спортсменов проиграет один, g2 – из 3-х спортсменов проиграют двое. Найти вероятность того, что через n туров в команде останется k спортсменов (k = 0,1,2,3).
Задача 17. Два стрелка стреляют поочередно по мишени. Вероятность попадания стрелком А равна a, стрелком В равна b. При промахе право на следующий выстрел передается другому спортсмену. Право первого зачетного выстрела предоставляется на тех же условиях после предварительного выстрела. Выбор стрелка для предварительного выстрела происходит по жребию. Найти вероятность поражения мишени n-ым выстрелом.
Задача 18. Два игрока продолжают игру до полного разорения одного из них. Вероятности выигрыша партии для каждого из игроков равна p и q соответственно (p + q = 1). В каждой партии выигрыш (проигрыш другого) равен 1 рублю. Определить вероятности разорения игроков, если общий капитал обоих игроков составляет N рублей, а игрок А до игры имел j рублей.
Задача 19. Автомат для продажи билетов может работать при получении монет 5 и 10 рублей. В первом случае он выдает билет, если приемник на m пятирублевых монет не заполнен, и выключается в противном случае. При получении 10 рублей автомат выдает билет и сдачу 5 рублей, если в приемнике есть пятирублевые монеты. В противном случае автомат выключается. Монеты в 5 и 10 рублей поступают в автомат с вероятностями p и q = 1– p. Определить вероятности выключения автомата по каждой из причин.
Задача 20 (о случайных блужданиях). Частица может перемещаться по целочисленным точкам прямой линии, имеющей слева экран с координатой 0. За каждую единицу времени частица перемещается в соседнее левое положение (из точки i в точку i -1) с вероятностью qi и в соседнее правое положение (из точки i в точку i +1) с вероятностью pi =1– qi.
Частица остается в точке 0 с вероятностью q 0 и переходит в точку 1 с вероятностью p 0=1– q 0. Необходимо провести классификацию состояний соответствующей процессу случайных блужданий бесконечной неприводимой марковской цепи. Найти условия эргодичности и невозвратности состояний.
