, ( ) , , .
9. . ().
. ( ( ), , ). . , - ( ). .
, , . , :
1) () .()
2) ., . (,)
3) ., . Z()
.
, , , k, . . ,
\{2,4,6,8,10\}\,\!
. .
?
, , .
, , . . . , . , , , .
, , , - .
, .
, . , , .
|
|
, .
- . .
10. N . . .
.
Î : = {y:y~x, yÎA}. , .
, .
n n. : = {a1,a2,a3,,an,}. , , .
:
1. , .
2. , .
3. .
4. .
5. .
6. , .
, , , , .
11. . [0,1].
( ) (0,1) .
. , : , , , n- , , , . , , (0,1) . (0,1). , .
(0,1) (0<x<1)
[0,1] .
. , (0,1) 1,2,3,,n, n : n = 0, a1n, a2n, a3n,,akn kn n, .. 0 9. . , 0,1 0,0(9) , . , . n m , : akn = akm , (k=1,2,3,).
|
|
, (0,1) 1,2,3,,n, , (0,1) . = 0, b1,b2,b3,,bn, bn nn n. ,, nn = 2, bn 3, ann ¹ 3, bn = 3. , (0,1) 1,2,3,,n,, .. . .
12. , . - ( ) ().
. .
, ( ) , , .
1. , ( )
2.: , , .
3. ( ).
13. . .
, , , , . , , .
. : , . => ! - : , , , , , , .
: .
( ), , (-): - , . (- , - - .) , , (), , (), (, ) - (), - () ( (0,1). ={0<x<1} . . 3 (0,1). N- .).
|
|
.. .
.
14. , , . ().
, , (, , ...). N ( , natural). , N ={1,2,3,....}
{0, 1, -1, 2, -2,....}. , ( ) 0 (). Z. , Z ={1,2,3,....}.
, , m , n . Q. .
- .
+
, , . , . . , . : , . . , , , , , - .
15. . . .
. : .
z x=a+bi, a,b , i ( j ) .
z Re z=a, b z Im z=b, .. z=Rez+iImz.
z , (, , , ).
:
z1=x1 + iy1, z2 = x2+ iy2.
1) z1z2 = (x1x2) + i(y1y2);
2) z1z2 = (x1x2 y1y2) +i(x1y2 + x2y1);
|
|
(x1 + iy1)(x2 +iy2) i2 (-1).
3) z1/z = x1x2+y1y2/ x22+y22 +i x2y1-x1y2/x22y22
. , z2*=x2 iy2 z=x+iy. z2* .
:
1) z=z*, z ;
2) (zz2)* = z1*z2*;
3) (z1z2) = z1*z2*
4) (
( , z1 , z2 )
:
|z| z: |z|= , |z| =
:
1)|z1z2| = |z1| * |z2|;
2) |z| = |z*|;
3) |z1/z2| = |z1| / |z2|.
z=x+iy (,), P(x,y) .
z=x+iy P(x,y) .
, , z*=x-iy P*(x, -y) , |z| z, , ( ).
j, ( ) z arg z.
, , 2pk, kÎz. j 2p z 0 2p (0£ arg z <2p). .
z `OP.
:
x = Re z = r cosj = |z| cos arg z;
y = Imz = r cosj = |z| cos arg z, r = |z|.
z= x+iy, :
z = x + iy = r cosj +I r sinj = |z| (cos arg z + I sin arg z)
: arg (z1z2) = arg z1 + arg z2
:
( j)., r1 = |z1|, r2 = |z2|, j1 = arg z1, j2 = arg z2.
16. .
, n ,
z = ρ (cos φ + i sin φ);
, ρ , φ
zn = [ρ (cos φ + i sin φ)] n = ρ n (cos n φ + i sin n φ).
. 1707; . 1748.
cos n φ sin n φ cos φ sin φ; ρ = 1 ,
cos n φ = cosn φ - Cn2 cosn-2 φ sin2 φ + Cn4 cosn-4 φ sin4 φ -...,
sin n φ = Cn1 cosn-1 φ sin φ - Cn3 cosn-3 φ sin3 φ +...,
Cnm = n!/ m!(n - m)! (. ). .
17. . ( ). .
, , . , , : , , , .
( ) n : 1, 2,,n, m.
:
1) , ;
2) , .
( , ).
|
|
, .
, (ak, bl), ak {a1,a2,am}; bl {b1,b2,bn}, mn .
, ( ) ( ). , ( ). . , , , , . .
18. . , ().
. , . . , , , .
n. n!=1*2**n
n m m (m£n), .
( mn - n m).
: mn =
: ?
: 36=6*5*4=120
n Pn n n, .. Pn = Amn = n!
: ?
: P7 = 7! = 1*2*3*4*5*6*7 =
n m m (m£n), .
( mn C n m).
: Amn = PmCmn
Cmn =
: ?
: Cmn =
19. . , .
. . , () .
`Amn n m , .
mn = nm
: 8 0 1?
: 2 (n=2), m 8 (=8), , `82 = 28=256
P(3,2,2).
, , 3 , - 2 , - 2 . : 7=3+2+2
: P(k1,k2,,km) =
= P(3,2,2,) =
m n , ( `mn). .
mn . : , , . (. ). m , (n-1). .. , , . (m ) ((n-1) ) P(n-1,m). , `Cmn =
: 5 , ?
: `553 = P(3-1,5) =
20. . . ().
n m m(m<=n), . Cmn ( C n m)
:
1. Ckn = Cn-kn k n , , , . k , k ( n) .
2. Ckn = Ck-1n-1 + Ckn-1 , n ( n - ).
: , .
k . k, .
3. C0n + C1n + + Cnn = 2n , n , . , , , . ( , k), ( ).
, n.
, .
(x+a)n = C0nxn + C1nxn-1a + C2nxn-2a2 ++Cnnan -