В ряде задач требуется не только найти для параметра θ подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Для определения точности и надежности θ∗ в МС вводят понятие доверительного интервала и доверительной вероятности.
Пусть для параметра θ из опыта получена несмещенная оценка θ∗. Оценим возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность 
такую, что событие с вероятностью γ можно считать практически достоверным. Найдём такое значение ε, ε>0, для которого вероятность отклонения оценки на величину, не превышающую ε, равна γ: 
(2.20)
Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене θ на θ*, будет равен ± ε. Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться с малой вероятностью α =1 −γ.
Перепишем уравнение (2.20) в виде: 
(2.21)
Равенство (2.21) означает, что с вероятностью γ неизвестное значение параметра θ попадает в интервал 
, равный 
(2.22)
который является случайным, т. к. случайным является центр θ* интервала 
.Случайной является и его длина, равная 2ε, т.к. ε, как правило, вычисляется по опытным данным. Поэтому в (2.21)величину γ лучше толковать не как вероятность γ попадания точки θ в интервал , а как вероятность того, что случайный интервал накроет точку θ:
θ*– центр доверительного интервала, 
Вероятность γ принято называть доверительной вероятностью (надежностью), а интервал – доверительным интервалом.
Интервал 
будем называть доверительным для оценки параметра, при заданной доверительной вероятности γ или при заданном уровне значимости α = 1− γ, если он с вероятностью γ "накрывает" оцениваемый параметр θ, т.е. 
(2.23)
Границы интервала 
называют доверительными границами. Доверительный интервал можно рассматривать как интервал значений параметра θ, совместимых с опытными данными и не противоречащих им. Метод доверительных интервалов был разработан Ю. Нейманом, который использовал идеи Р.Фишера. Рассмотрим вопрос о нахождении доверительных границ . Пусть для параметра θ имеется несмещённая оценка θ*. Если бы был известен закон распределения величины θ*, задача нахождения доверительного интервала была бы весьма простой. Для этого достаточно было бы найти такое значение ε, для которого выполнено соотношение (2.20). Сложность состоит в том, что закон распределения оценки θ* зависит от закона распределения СВξ, следовательно, от его неизвестных параметров, в частности, от параметра θ.
16 Проверка гипотез о среднем значении нормально распределенной СВ при известной дисперсии
Пусть имеется генеральная совокупность X, распределенная по нормальному закону с известной дисперсией 
(т.е. σ известно). Генеральная средняя a неизвестна, но есть основания предполагать, что она равна предполагаемому значению 
. Из нормальной генеральной совокупности X извлечем выборку 
объема n, по которой найдем 
. При этом дисперсия 
известна. Поскольку предполагается, что как СВ 
взаимно независимы, то они имеют одинаковые нормальные распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (мат ожидание, дисперсию, и т.д.). Необходимо по известному при заданном уровне значимости α проверить гипотезу 
о равенстве генеральной средней a гипотетическому значению . Сформулируем правила проверки гипотезы 
обозначив через 
значение критерия, вычисленное по данным наблюдений.
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней a нормальной совокупности с известной дисперсией гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе 
, необходимо вычислить 
(3,5)
и по таблице значений функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области из равенства 
(3,6)
Если 
– нет оснований отвергнуть гипотезу ; если 
– гипотезу отвергают.
Правило 2. При конкурирующей гипотезе 
критическую точку 
правосторонней критической области находят из равенства 
(3,7)
Если 
– нет оснований отвергнуть гипотезу; если 
– гипотезу 
отвергают.
Правило 3. При конкурирующей гипотезе 
критическую точку 
находят по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области 
. Если 
– нет оснований отвергнуть гипотезу 
; если 
– гипотезу отвергают.
Замечание. Из правила 1 следует, что если область принятия гипотезы есть интервал 
, то область ее отклонения – 
