инейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
, (3.1)
где 
, 
- заданные функции времени 
.
Если 
при всех , то уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент постоянный, то (3.1) называют уравнением с постоянными коэффициентами.
Прежде чем решать уравнение (3.1) отметим свойство линейных однородных уравнений. Пусть 
и 
- решения уравнения 
. Тогда 
также является решением при любых значениях постоянных 
и 
. Действительно, подставив 
в (3.1) получим:
Рассмотрим однородное уравнение
. (3.2)
Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде:
или 
.
Учитывая, что 
, имеем: 
.
Интегрируя обе части последнего выражения, получим:
, 
, 
,
. (3.3)
Формула (3.3) дает решение уравнения (3.2) с начальным условием 
.
Пример 4. Популяция бактерий увеличивается таким образом, что удельная скорость роста в момент (время выражается в часах) составляет величину 
. Пусть начальная популяция 
. Какой будет популяция после 12 ч. роста?
Решение: По условию удельная скорость равна 
. Это однородное линейное уравнение первого порядка при 
. Интегрируя его, получаем:
.
, 
.
Размер популяции после 12ч. роста выражается величиной
.
Пример 5. Модель сезонного роста.
Дифференциальное уравнение первого порядка 
, где 
- положительная постоянная, можно рассматривать как простейшую модель сезонного роста. Скорость роста 
популяции 
становится то положительной, то отрицательной, и популяция то возрастает, то убывает. Это может вызываться такими сезонными факторами, как доступность пищи.
Заметим, что здесь 
.
Так как 
, то общее решение записывается в виде: 
.
Полагая 
, получим 
, т.е. размер популяции в момент есть 
. Максимальный размер популяции, равный 
, достигается при 
, 
, 
,…, когда 
. Минимальный размер, равный 
, достигается при 
, 
, 
,…, когда 
. В этой модели размер популяции колеблется от до с периодом 
. Моменты времени , , 
,… можно считать серединами сезонов наибольшей доступности пищи (летних сезонов),а моменты 
, 
, 
,… соответствует серединам сезонов наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одного года соответствует ед. времени.
ис. 2.1
Исследуем теперь неоднородное уравнение(3.1). Будем искать решение (3.1) в виде:
, (3.4)
где 
, 
неизвестные дифференцируемые функции.
Учитывая, что 
из уравнения (3.1) получим:
.
Или
. (3.5)
Будем считать, что 
, то есть 
.
С учетом этого, уравнение (3.5) примет вид:
. Или 
.
Интегрируя это уравнение, получим:
,
где с - произвольная постоянная.
Таким образом, общее решение уравнения (3.1) имеет вид:
. (3.6)
Определение 3. Функция 
называется интегрирующим множителем для уравнения (3.1)
Пример 6. Внутривенное питание глюкозой.
Рассмотрим лечебную процедуру состоящую в вливании глюкозы в кровеносную систему. Пусть 
- количество глюкозы в крови пациента в момент времени . Допустим, что глюкоза вводится в кровь с постоянной скоростью с (г/мин.). В то же время глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Таким образом, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка
, (3.7)
где 
- положительная постоянная. Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида (3.1) при 
и 
.
Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде: 
.
Умножив последнее уравнение на интегрирующий множитель 
, и учитывая, что
получим:
.
Интегрируя, получаем:
,
где 
- постоянная интегрирования.
Таким образом, общее решение (3.7) имеет вид:
. (3.8)
Если известна начальная концентрация глюкозы в крови 
, то из (3.8)имеем:
.
Значит, общее решение может быть записано в виде:
. (3.9)
Из (3.9) следует, что с увеличением времени содержание глюкозы в крови приближается к числу 
, которое есть равновесное количество глюкозы в крови.
Пример 7. В популяцию людей большой численности занесено инфекционное заболевание. Доля людей, перенесших заболевание, возрастает со временем. Пусть 
обозначает долю людей, переболевших этой болезнью за лет после ее возникновения в популяции, и пусть
.
Найдите 
, если 
. За сколько лет доля переболевших достигнет 
?
Решение: Запишем уравнение в виде:
.
Умножив на 
и учитывая, что
получим:
.
Интегрируя, находим:
. или 
.
Учитывая, что имеем: 
.
Таким образом 
.
Пусть 
- время, при котором доля переболевших людей достигнет , т.е.
.
Отсюда находим:
; 
; 
; 
.
Таким образом, доля переболевших людей достигнет через 7 лет.
2.2. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка:
метод разделения переменных
Общий вид нелинейного уравнения следующий:
, (3.10)
где 
- заданная непрерывная функция.
Биологическая интерпретация уравнения (3.10) заключается в том, что скорость роста популяции является функцией времени и размера популяции. В общем случае не удается отыскать формулу, дающую в явном виде решение уравнения(3.10). Однако имеются некоторые специальные типы нелинейных уравнений первого порядка, решение которых можно найти в явном виде. Одним из таких уравнений является уравнение с разделяющимися переменными.
Будем говорить, что переменные 
и в уравнении (3.10) разделяются, если:
,
где 
- представляет собой функцию только от , а 
- функцию только от . В этом случае уравнение (3.10) записывается в виде:
. или 
. (3.11)
В такой форме левая часть интегрируется по переменной , а правая часть интегрируется по переменной . Выполняя эти два интегрирования, приходим к общему решению
. (3.12)
Если и достаточно простые, то можно найти эти интегралы и получить общее решение в явном виде.
ример 8. Логистический закон развития.
Скорость роста популяции в расчете на одну особь представляет собой разность между средней рождаемостью и средней смертностью. Будем считать, что средняя рождаемость выражается положительной постоянной 
, не зависящей от времени и размера популяции . Допустим также, что средняя смертность пропорциональна размеру популяции и поэтому равна 
, где 
- положительная постоянная. Это увеличение смертности с ростом популяции может происходить за счет конкуренции за доступные пищевые ресурсы.
В данном случае, популяция подчиняется уравнению 
.
Или
. (3.13)
Разделяя переменные, получим:
.
Интегрируя, имеем:
.
Учитывая, что
имеем:
; 
;
; 
; 
.
Разрешая последнее уравнение относительно , находим:
;
. (3.14)
Если есть размер начальной популяции, то
; 
; 
.
Подставив последнее в(3.14), получим:
. (3.15)
Процесс роста, описываемый функцией (2.15) называется логистическим ростом, а уравнение (2.13)- логистическим уравнением.
При логистическом росте популяции с увеличением времени популяция приближается к предельному (равновесному) размеру, равному 
. То есть размер равновесной популяции прямо пропорционален средней рождаемости и обратно пропорционально средней смертности на одну особь.
