Давление жидкости на криволинейную стенку

Составляющие равнодействующей гидростатического давления на произвольную криволинейную стенку в общем случае определяются согласно следующим правилам

;

где: 𝛒 – плотность жидкости;

– заглубление центра проекции поверхности на плоскости перпендикулярные осям ;

– площади проекций стенки на плоскости перпендикулярные осям ;

-- объем тела давления (объем жидкости, расположенной над поверхностью в направлении оси ).

4.1. Сила давления жидкости на криволинейную цилиндрическую стенку

Задача определения равнодействующей сил гидростатического давления на цилиндрическую стенку имеет практическое значение, так как в гидротехнических сооружениях часто используют конструкции с такой поверхностью соприкосновения (водонапорные баки, вальцовые, секторные и сегментные затворы).

Для цилиндрической стенки, находящейся под односторонним воздействием покоящейся жидкости равнодействующую сил избыточного давления можно определить, зная ее составляющие по координатным осям (рис.4.1).

Очевидно, что

(4.1)

где

(4.2)

Если формулу (4.2) для составляющей переписать иначе

(4.3)

где - давление в центре проекции стенки на плоскость ;

- площадь проекции стенки на плоскость ,

а формулу для составляющей преобразовать к виду

(4.4)

где - объем жидкости, расположенный над поверхностью стенки, то можно сформулировать следующие правила:

· горизонтальная составляющая равнодействующей гидростатического давления, действующего на цилиндрическую стенку, может быть определена, как равнодействующая давления на вертикальную проекцию этой стенки на плоскость ;

· вертикальная составляющая равнодействующей гидростатического давления равна весу жидкости в объеме, ограниченном свободной поверхностью, цилиндрической поверхностью, воспринимающей давление, и торцевыми поверхностями (рис.4.2).

Рис. 4.1

Линию действия равнодействующей сил избыточного давления можно найти, если установить линии действия составляющих . Положение этих линий определяется координатами соответственно (рис. 4.1в).

Рис. 4.2

Для рассматриваемого случая расчетные формулы представлены ниже:

	(4.5)
	(4.6)

Примеры решения задач

Пример 4.1

Определить силу полного давления на секторный затвор и ее направление. Глубина воды перед затвором H = 4 м, длина затвора L = 8 м, .

Рис. 4.4

Решение

Горизонтальная составляющая силы давления воды на секторный затвор ac равна силе давления воды на проекцию этого затвора на вертикальную плоскость, нормальную направлению

(4.7)

− гидростатическое давление воды в центре тяжести проекции секторного затвора на вертикальную плоскость, нормальную направлению ;

− глубина погружения центра тяжести проекции секторного

Тогда

(4.8)

Вертикальная составляющая силы давления воды на секторный затвор равна

весу воды в объеме фигуры длиной с торцевыми поверхностями abc

(4.9)

где − площадь фигуры abc.

Площадь фигуры abc

здесь − радиус затвора.

Значение вертикальной составляющей силы давления

(4.10)

Сила полного давления равна равнодействующей сил давления

(4.11)

Направление равнодействующей определяется углом

(4.12)

Пример 4.2

Определить силу давления воды на один метр ширины затвора (), перекрывающего канал между двумя смежными камерами, если глубина воды в левой камере , а в правой камере ; R = 4 м, а = 2 м,

Рис.4.5

Решение

Горизонтальная составляющая силы давления воды на затвор со стороны уровня h 1 направлена слева направо и равна

(4.13)

Горизонтальная составляющая силы давления воды на затвор со стороны уровня h 2 определяется аналогично и имеет противоположное направление

(4.14)

Равнодействующая горизонтальных сил

(4.15)

Вертикальная составляющая силы полного давления воды на заданную криволинейную поверхность со стороны уровня h 1 действует вверх и равна весу воды в объеме, ограниченном по торцам площадью при ширине затвора

(4.16)

Вертикальная составляющая силы полного давления воды со стороны уровня h 2 действует вниз и равна весу воды в объеме, ограниченном по торцам площадью и направлена вниз

(4.17)

Следовательно, равнодействующая вертикальных сил будет равна весу воды в объеме с площадью поперечного сечения

(4.18)

где

Тогда находим

(4.19)

Сила полного давления воды на затвор равна сумме

Линия действия равнодействующей гидростатического давления должна проходить через ось цилиндрической поверхности. На рис. 4.5 она проходит через точку и составляет с горизонталью угол

(4.20)

Пример 4.3

Определить силу гидростатического давления воды на b =1 м ширины вальцевого затвора диаметром d =1,2 м при h 1=1,2 м, h 2 =0,5 м.

Рис. 4.6

Решение

Горизонтальную составляющую силы полного давления со стороны уровня h 1

находим, как результирующую силу гидростатического давления на проекцию цилиндрической поверхности на плоскость перпендикулярную оси

(4.22)

Точка приложения силы может быть вычислена из условия равенства моментов относительно оси от составляющей гидростатического давления по оси и силы

(4.23)

Откуда получаем, что

(4.24)

Численные значения

(4.25)

Горизонтальная составляющая силы полного давления со стороны уровня h 2 и ее

точка приложения определяются аналогично

(4.26)

Проекция равнодействующей гидростатического давления на ось равна

(4.27)

Линия действия силы делит отрезок внешним образом на части обратно пропорциональные

(4.28)

Так как , находим

(4.29)

Далее получаем

(4.30)

Вертикальная составляющая силы полного давления со стороны h 1 равна весу воды в объеме с торцевым сечением (площадь половины круга, ширина затвора )

(4.31)

Вертикальная составляющая силы полного давления со стороны h 2 равна весу воды в объеме с торцевым сечением

(4.32)

где

Расчет по формуле (4.32) дает результат

(4.33)

Так как направлены в одну сторону и вверх, то их равнодействующая равна

(4.34)

Что бы определить положение линии действия равнодействующей , установим расположения линий действия сил и .

Рис. 4.7

Вертикальная равнодействующая гидростатического давления на поверхности (рис. 4.7) определяется по формуле

(4.35)

Знак минус указывает на то, что сила направлена вертикально вверх. Это совпадает с ранее полученным результатом.

Равнодействующая и элементарные силы гидростатического давления относительно начала координат (точка ) должны создавать одинаковые моменты, что и позволяет найти координату , которая определяет положение линии действия силы

(4.36)

Аналогичные действия для гидростатического давления со стороны дают следующий результат

(4.37)

Следовательно, вертикальная составляющая равнодействующей гидростатического давления имеет значение

(4.38)

Положение линии действия силы легко найти по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. Линия действия составляющей будет проходить на расстоянии , (см. рис. 4.7).

Координаты точки , и в плоскости симметрии затвора, определяют точку , через которую проходит равнодействующая гидростатического давления . Второй точкой, через которую должна пройти линия действия силы , будет точка на оси затвора. Это легко понять, если уяснить, что элементарные силы , действующие на площадке , образуют сходящуюся систему сил, линии их действия пересекаются в точке . Угол , который образует линия действия силы с осью , равен

(4.39)

Сила давления воды на затвор равна равнодействующей сил давления

(4.40)

Пример 4.4

Для отливки полого чугунного цилиндра с наружным диаметром D = 500 мм, внутренним диаметром d = 400 мм и длиной l =1000 мм в опоку укладывается горизонтальный стержень А диаметром d и длиной =1200 мм. Необходимо определить вес G верхней половины заливочного ящика , чтобы он не всплыл под действием давления жидкого чугуна с удельным весом , если удельный вес формовочной земли , а уровень верхнего края литника относительно оси стержня определяется высотой h =400 мм.

Рис. 4.8

Решение

При заливке литейной формы жидким чугуном верхняя часть заливочного ящика находится под воздействием силы тяжести , гидростатического давления на цилиндрической поверхности радиусом и длиной

(4.41)

силы давления всплывающего стержня , которая определяется разностью веса стержня и равнодействующей гидростатического давления (всплывая стержень действует на часть по поверхностям - см. рис. 4.8)