Можно ли расставить по кругу 2017 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.
Все натуральные делители числа n удалось разбить на пары так, что сумма делителей в каждой паре - простое число. Докажите, что все эти простые числа различны.
10. Натуральное число назовём хорошим, если все его натуральные делители, отличные от единицы, можно разбить на две группы с равными суммами. Докажите, что число 100! не является хорошим. (100! — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 100, взятых по одному разу.)
11. У натурального числа n выписали четыре различных делителя, меньших n, оканчивающихся на одну и ту же ненулевую цифру. Докажите, что их сумма меньше, чем 6n/7.
22 декабря 2016 Делимость и остатки.
1. Решить в целых числах уравнение 2 n + 7 = x2.
2. Докажите, что не существует таких натуральных чисел a и b, что a2 – 3b2 = 8.
3. Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй. Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?
4. На доске выписаны числа 1, 2,..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?
5. Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя а) ровно в шесть раз; б) ровно в пять раз?
6. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.
Можно ли расставить по кругу 2017 различных натуральных чисел так, чтобы для любых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.
Все натуральные делители числа n удалось разбить на пары так, что сумма делителей в каждой паре - простое число. Докажите, что все эти простые числа различны.
10. Натуральное число назовём хорошим, если все его натуральные делители, отличные от единицы, можно разбить на две группы с равными суммами. Докажите, что число 100! не является хорошим. (100! — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 100, взятых по одному разу.)
11. У натурального числа n выписали четыре различных делителя, меньших n, оканчивающихся на одну и ту же ненулевую цифру. Докажите, что их сумма меньше, чем 6n/7.
22 декабря 2016 Делимость и остатки.
1. Решить в целых числах уравнение 2 n + 7 = x2.
2. Докажите, что не существует таких натуральных чисел a и b, что a2 – 3b2 = 8.
3. Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй. Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?
4. На доске выписаны числа 1, 2,..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?
5. Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя а) ровно в шесть раз; б) ровно в пять раз?
6. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.
