Утверждение 1. Точки 
расположены симметрично относительно концов текущего интервала неопределенности.
Действительно, из (3) следует, что точка 
отстоит от точки 
на величину 
; точка 
отстоит от точки 
на ту же величину 
Утверждение 2. Для любого 
1 алгоритм золотого сечения обладает следующим свойством: одна из точек 
, 
совпадает с одной из точек , 
.
Доказательство. Пусть на 
-й итерации 
. В соответствии с алгоритмом золотого сечения 
причем, очевидно, 
ТИН r +1. Для того, чтобы доказать справедливость утверждения достаточно показать, что верно отношение
| (4) |
Из соотношений (3) следует, что
.
Аналогично имеем 
Разделив первый из этих результатов на второй, получим
| (5) |
Из уравнения (2) следует, что 1- 
= 
. Отсюда и из (5) следует справедливость (4).
Аналогично проводится доказательство для случая 
Указанное свойство алгоритма золотого сечения позволяет на каждой итерации (кроме первой) производить испытания только в одной точке.
Из схемы алгоритма золотого сечения имеем.
Утверждение 3. В результате одной итерации алгоритма золотого сечения длина текущего интервала неопределенности сокращается в раз
Поэтому количество итераций 
, необходимых для нахождения минимума функции с точностью 
, находится из условия
Метод Фибоначчи
Рассмотрим следующую задачу условной оптимизации: найти минимум одномерной унимодальной функции 
(
), определенной в замкнутой области допустимых значений 
=[ 
, 
],
Числа Фибоначчи и их некоторые свойства.
Числа Фибоначчи задаются следующим рекуррентным уравнением:
| (1) |
Числа Фибоначчи 
,..., 
приведены в нижеследующей табл. 1.
Таблица 1
|
| ... | ||||||||||
| ... |
Общее выражение для 
-го числа Фибоначчи можно получить из решения уравнения (1):
При больших значениях членом (- ) N +1 можно пренебречь. При этом
| (2) |
Отсюда следует, что 
. Т.е. отношение двух соседних чисел Фибоначчи примерно постоянно и равно .
Алгоритм Фибоначчи.
Алгоритм Фибоначчи относится к классу поисковых методов оптимизации и включает в себя два этапа.
Первый этап состоит из ( -1)-й итерации для =1,2,… -1. Рассмотрим схему -й итерации, когда ТИН r =[ , ]:
1. Вычисляем величины
2. Вычисляем значения 
функции 
().
3. Если , то выполняем присваивания 
, 
, 
. Иначе - выполняем присваивания 
, 
,
Алгоритм Фибоначчи обладает тем свойством, что после выполнения ( -1)-й итерации имеет место следующая ситуация: 
. Т.е. в результате ( -1)-й итерации сужение текущего интервала неопределенности не происходит:
Второй этап призван решить, по какую сторону от точки 
лежит точка минимума функции ().
Второй этап выполняется по следующей схеме:
1. Находим точку 
= + 
, где 
|ТИН N -1| - свободный параметр алгоритма.
2. Вычисляем значение функции 
.
3. Если 
, то выполняем присваивания 
. Иначе - выполняем присваивания 
В качестве приближенного значения точки минимума 
с равными основаниями может быть принята любая точка ТИН N.
