Разложение многочлена на множители.

Задание 1. Разложите многочлен на множители:

f (x)= х 3+2 х 2-5 х -6, выпишем делители свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±6. x =1 - не корень, так как f (1)=1+2-5-6=-8¹0 x =-1- корень, так как f (-1)=-1+2+5-6=0 х 3+2 х 2-5 х -6 | x +1 x 3+ x 2 x 2+ x -6 x 2-5 х -6 x 2+ x -6 x -6 -6 x -6 f (x)= х 3+2 х 2-5 х -6=(x +1)(x 2+ x -6)= =(x +1)(x -2)(x +3) x 2+ x -6=0 D =25 f (x)=(x +1)(x -2)(x +3)	f (x)= х 3+3 х 2-4 х -12, выпишем делители свободного члена:   х 3+3 х 2-4 х -12 | x     f (x)= х 3+3 х 2-4 х -12=     f (x)=(x -2)(x +2)(x +3)
f (x)= х 3+2 х 2+5 х +4, выпишем делители свободного члена: ±1; ±2. x =-1- корень, так как f (-1)=-1+2-5+4=0     f (x)=	f (x)= х 3-3 х 2+5 х -6,

Простейшие дроби часто называют элементарными дробями.

Различают следующие виды простейших дробей:

I
II
III	, где D = p 2-4 q <0
IV	, где D = p 2-4 q <0

Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов. Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?

Приведём математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.

Вспомним, как складывались дроби с разными знаменателями:

Привести дроби к общему знаменателю	Разложить дробь на сумму простейших

Теорема 1: Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q (x) представим в виде:

Q (x)= А (x - a) ^r (x - b) ^s …(x ²+ px + q) ^t (x ²+ ux + v) ^l,

то эту функцию можно представить единственным образом в виде:

Данное разложение называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.

Теорема 2: Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, то выполнив деление получим:

,

где W (x) — некоторый многочлен, а R (x) — многочлен степени меньше, чем Q (x).

Задание 2. Разложить рациональную функцию на элементарные дроби:

1) Степень числителя (равная) меньше степени знаменателя (равная). Поэтому приступим к разложению знаменателя на множители: x 2-4 x +3=(x -)(x -)   Теперь приступим к разложению дроби:

2) Степень числителя (равная) меньше степени знаменателя (равная). Поэтому приступим к разложению знаменателя на множители: x 2-4 x +3=(x -1)(x -3)   Теперь приступим к разложению дроби:

3) Степень числителя (равная) больше степени знаменателя (равная). Поэтому выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «столбиком».   Теперь приступим к разложению знаменателя на множители x 2-4 x +3=(x -1)(x -3)

4) Степень числителя (равная) больше степени знаменателя (равная). Поэтому выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «столбиком».   Теперь приступим к разложению дроби:

5) Степень числителя (равная) больше степени знаменателя (равная). Поэтому выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «столбиком».     Разложим знаменатель на множители: x 3-1= Теперь приступим к разложению дроби:

5) Степень числителя (равная) меньше степени знаменателя (равная). Поэтому разложим знаменатель на множители:(x 3-1)2= Теперь приступим к разложению дроби:

Домашнее задание

Произвести разложение рациональной функции на элементарные дроби:

;	;	;
;	;