Механические колебания и волны

КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ И ОПТИКА

 

 

Пример решения задачи

 

1. Вдоль шнура распространяется поперечная волна, уравнение которой имеет вид м, где – смещение точек шнура; – время, с; – координата точек шнура, м.

Найти: а) период колебания точек шнура ; б) скорость распространения волны ; в) длину волны ; г) разность фаз колебаний точек шнура, находящихся на расстоянии м; д) амплитуду скорости поперечного движения частиц шнура.

Дано: м ,0 м	Решение Как известно, уравнение поперечной плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х, имеет вид:
а) -?; б) –? в) –?; г) –?; д) –?	, (1)

где - амплитуда смещения, – циклическая частота, – волновое число, – начальная фаза. Из сравнения условий задачи и выражения (1) можно найти искомые величины.

Период колебания вязан с циклической частотой соотношением:

. Поэтому с.

Волновое число определяется выражением .

Поэтому для скорости распространения волны имеем

По найденным значениям периода колебаний и скорости волны можно определить длину волны из соотношения м.

Разность фаз колебаний любых двух точек шнура определяется формулой

.

Поэтому для точек шнура из условия задачи имеем

рад.

Скорость смещения точек шнура в поперечном направлении получается дифференцированием по времени выражения (1), т.е.

(2)

Из условия задачи и формулы (2) для максимального значения скорости получается:

Ответ: а) с; б) м/с; в) м; г) рад; д) м/с.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстояние l = l/12, для момента времени t = T /6. Амплитуда колебания А = 0,050 м.

(0,043 м)

 

2. Амплитуда гармонического колебания 5,0 см, период 4,0 с. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.

( = 7,8·10^-2 м/с; a_m = 0,12 м/с²)

4. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х =A₁sinw₁ t и y = A₂cosw₂ t, где A₁ = 8 cm, A₂ = 4 см, w₁ = w₂ = 2 с^--1. Написать уравнение траектории и построить ее.

 

5. Точка совершает простые гармонические колебания, уравнение которых x = Asinw t, где A=5 см, w= 2 с^--1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией П = 0,1 мДж, на нее действовала возвращающая сила F=5 мН. Найти этот момент времени t.

 

6. Определить частоту n простых гармонических колебаний диска радиусом R = 20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска пер­пендикулярно его плоскости.

7. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R == 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

 

8. Определить период Т колебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещения D r =18 см и максимальная скорость v _max=16 см/с.

 

9. Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение x _о= 4 см, а скорость v _о=10 см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу j_о колебаний, если их период T=2 с.

 

10. Складываются два колебания одинакового на­правления и одинакового периода: х₁ = А ₁sinw₁ t и x ₂= = A ₂sinw₂(t + t), где А ₁ = А ₂ = 3 см, w₁ = w₂ = pс^--1, t = 0,5 с. Определить амплитуду А и начальную фазу j_о результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0.

 

11. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М = 200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной легкой пружине с жесткостью k = 500 Н/м. В шар попадает пуля массой m = 10 г, летящая со скоростью v = 300 м/с, и застревает в нем. Пренебрегая перемещением шара во время удара и сопротивлением воз­духа, определить амплитуду А и период T колебаний шара.

 

12. Шарик массой m = 60 г колеблется с периодом T=2 с. В начальный момент времени смещение шарика x_о = 4,0 см и он обладает энергией E = 0,02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

 

13. Уравнение плоской волны имеет вид y = 0,34×cos(0,20 t – 0,40 x), где y – смещение частиц среды, и все числовые значения заданы в системе СИ. Записать числовые значения частоты и периода колебаний, волнового числа, фазовой скорости и длины волны, а также максимальное значение смещения.

( = 0,50 м/с; l = 16 м)

 

14. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью = 15 м/с. Период колебания точек шнура Т = 1,2 с. Определить разность фаз Dj колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x ₁ = 20 м, x ₂ = 30 м. (200°)

 

15. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению м. Определить: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение; 6) через сколько времени после начала отсчета точка будет проходить положение равновесия.

(Т = 2 с; м/c; )

 

16. Период затухающих колебаний Т = 4,0 с; логарифмический декремент затухания начальная фаза При t = T /8 смещение точки х = 4,5 см. Написать уравнение этого колебания. Построить график этого колебания в пределах двух периодов.

( см)

 

17. Поперечная волна, распространяясь вдоль упругого шнура, описывается уравнением м. Определите: длину волны, фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии = 9 м от источника колебаний в момент времени ( )