Классы
Модуль 4. Элементы теории вероятностей
Во всех крупных населенных пунктах имеются станции скорой медицинской помощи. Невозможно заранее предсказать моменты, когда потребуется оказать помощь внезапно заболевшим людям. Как много в течение суток будет вызовов к таким больным? Как долго придется врачу задержаться у больного? Сколько врачей и машин необходимо иметь во время дежурства, чтобы, с одной стороны, больные не слишком долго ожидали помощи, а с другой — не было бы слишком непродуктивного использования врачебного персонала? В этой ситуации случайными являются моменты вызовов, длительность пребывания врача у больного, длительность проезда машины от пункта скорой помощи до дома больного…
Как видим, организация неотложной помощи зависит от многих случайных событий. Чтобы помощь была действительно неотложной, надо уметь учитывать все эти случайности.
Все мы в жизни постоянно сталкиваемся с разными ситуациями, в которых нельзя точно предсказать, произойдет или нет какое-то событие (выигрыш в лотерею, падение бутерброда маслом вниз и т.д.).
Однако при многократном повторении случайных событий можно выявить определенные закономерности, которые изучает раздел математики – теория вероятностей.
Рассмотрим некоторые понятия теории вероятностей.
Учителю. Изучение некоторых вопросов теории вероятностей лучше всего построить в виде серии экспериментов.
Для проведения экспериментов приготовьте:
· 5 одинаковых шариков, например от настольного тенниса. На первых двух красным маркером напишите номера - 1 и 2 (это будут «красные шары»), на остальных – синим маркером напишите номера 3, 4 и 5 («синие шары»). Приготовьте ящик для шаров (или мешочек).
· Несколько одинаковых монет.
· Два кубика с цифрами на гранях (от 1 до 6). Кубики лучше взять не маленькие, а покрупней – с ребром 4-5 см.
Опыт (испытание) - это выполнение строго определенных действий при одних и тех же условиях.
В наших экспериментах мы будем проводить следующие опыты:
- вытаскивание шара из ящика;
- подбрасывание кубика;
- подбрасывание монетки.
Конкретный результат опыта называется элементарным исходом.
При вытаскивании шара из ящика, возможны пять элементарных исходов: «вытащили 1-й шар», «вытащили 2-й шар»,…, «вытащили 5-й шар». При подбрасывании монеты может быть два элементарных исхода: выпадение «орла» и выпадение «решки». При подбрасывании кубика возможны шесть элементарных исходов: «на верхней грани - цифра 1» и т.д.
Возможный результат опыта называют событием.
Примеры событий при проведении наших опытов с шарами: «вытащили синий шар», «вытащили красный шар», «вытащили шар с четным номером», «вытащили шар с номером, большим двух» и т.д.
Положите в ящик один синий и один красный шар. Попросите ученика вытащить один шар, перед этим задав вопрос остальным «Какой шар будет вытащен?».
Если долго по дорожке,
Если долго по тропинке
Топать, ехать и бежать,
То, пожалуй, то, конечно,
То наверно-верно-верно,
То возможно-можно-можно,
Можно в Африку прийти!
Случайным называется событие, если оно может произойти, а может и не произойти в данном опыте. Если в ящике находятся красные и синие шары, то событие «из ящика извлечен красный шар» — случайное (ведь мы можем и не извлечь красный шар в данном испытании).
Выпадение цифры 3 при подбрасывании кубика или «орла» при подбрасывании монеты также случайные события, как и возможность в Африку прийти.
Положите в ящик два синих шара. Попросите ученика вытащить один шар, перед этим задав вопрос остальным «Какой шар будет вытащен?». В отличие от предыдущего опыта и ответы учеников, и результат опыта очевидны.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в данном опыте. Например, если в ящике находятся только синие шары, то событие «из ящика извлечен синий шар» является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).
Положите в ящик два синих шара. Попросите ученика вытащить красный шар.
Невозможным называется событие, которое не может произойти в этом опыте.
Задание 1. Укажите, какие из событий, перечисленных ниже, являются достоверными, какие – невозможными, какие – случайными.
1. при бросании кубика выпало нечетное число (случайное);
2. подброшенная монета упала вверх «решкой» (случайное);
3. солнце никогда не зайдет за горизонт (невозможное);
4. сумма чисел, выпавших при бросании двух кубиков, не меньше, чем 2 (достоверное);
5. выигрыш в лотерею автомобиля (случайное);
6. в новогоднюю ночь вы подрастете на 10 см (невозможное).
Задание 2. Придумайте шесть событий: два – случайных, два – достоверных и два – невозможных.
Равновозможными считают события, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие выпадение «орла» и событие выпадение «решки» равновозможные. Если в коробке находятся все пять шаров, то события «вытащили 1-й шар», «вытащили 2-й шар»,…, «вытащили 5-й шар» также равновозможные.
Проведите следующие эксперименты.
Учителю. Эксперименты можете проводить Вы сами, тогда ученики будут в качестве наблюдателей, и Вы просите их делать выводы из увиденного. Но если позволяет время, то лучше привлекать к проведению экспериментов учеников, например, по очереди вытаскивать шары или бросать кубики, записывать результаты своего опыта.
Эксперимент 1. В коробку положите все 5 шаров.
Перемешайте шары и вытаскивайте по одному. Запишите, какого он цвета (это может делать один из учащихся на доске), и положите шарик обратно. Проведите не менее 30 опытов (вытаскивание одного шара).
Можно ли было предсказать, сколько раз будет вынут красный шар? Какова доля его появления во всех опытах? Естественно, каждый раз результат зависит от случая - может попасться красный шар, а может и синий. Но при большом числе опытов примерную долю красных шаров можно предсказать!
Каждый раз Вы вынимали из урны либо первый шар (с номером 1), либо второй (с номером 2), …, либо пятый (с номером 5) - всего пять возможных исходов каждого опыта. Шары тщательно перемешаны, на ощупь различить их нельзя, у всех одинаковые шансы быть вынутыми. Все пять исходов равновозможные.
Теперь понятно, что каждый шар может появиться в 
части всех опытов, и, чем больше раз вынимаем шары, тем ближе к доля любого из пяти исходов. Конечно, теоретически можно допустить, что все тридцать раз вынимаем, например, первый шар. Но это - совершенно исключительный случай, а мы говорим сейчас о средних результатах.
Что же можно сказать о красном цвете? Он может в каждом опыте появиться одним из двух способов, в двух случаях из пяти (ведь у нас два красных шара). Эти исходы называются благоприятствующими появлению красного шара. Итак, всех возможных различных исходов 5 (так как всего пять шаров), благоприятствующих из них 2, следовательно, в среднем в 
всех опытов будет вынут красный шар. И чем больше опытов, тем ближе эта доля к . Это и есть вероятность появления красного шара.
Эксперимент 2. Возьмите 1 монетку. Подбросьте монетку 1 раз. Возможны 2 события: выпадение «орла», выпадение «решки». Они равновозможные. На доске запишите результат опыта. Повторите опыт. Пусть ученики считают сколько раз выпала «решка», сколько – «орел». Записывайте на доске результат, например, через каждые пять подбрасываний монеты.
Учителю. Постарайтесь сделать такое количество опытов, чтобы число выпадений «орлов» и «решек» сблизилось.
Вероятность выпадения «орла»: 
, вероятность выпадения «решки»: .
Эти примеры иллюстрируют формулу классической теории вероятностей.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события A обозначают через P (A) (здесь P - первая буква французского слова probabilite - вероятность):
P(A) = 
,
где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;
n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта.
Вероятность события Р(А) всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1:
0 ≤ Р(А) ≤ 1.
Вероятность Р(А) = 0, если исходов, благоприятствующих событию A нет. Например, если в коробку положить только синие шары, то вероятность вытащить красный шар равна нулю.
Вероятность Р(А) = 1, если все элементарные исходы, являются благоприятствующими событию A. Например, если в коробку положить только синие шары, то вероятность вытащить синий шар равна единице.
Таким образом, вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного события равна 0.
Эксперимент 3. Положите в коробку два красных и один синий шар. Вытащите один шар из коробки. Какова вероятность того, что будет вытащен красный шар? Какова вероятность того, что будет вытащен синий шар?
В коробке три шара, значит, равновозможны три исхода. Исходов, благоприятствующих событию «вытащен красный шар» - два из них, благоприятствующих событию «вытащен синий шар» - один. Значит, вероятность того, что будет вытащен красный шар равна 
; синий - 
.
Запишите результат. Повторите опыт. Проделайте его столько раз, чтобы ученики заметили, что красный шар вытаскивают чаще примерно в два раза.
Обратите внимание, что сумма вероятностей двух событий в этом опыте равна единице:
+ = 1
Если у какого-то события имеется несколько равновозможных исходов, то сумма их вероятностей равна 1, как только что в рассмотренном эксперименте.
Другой пример. При подбрасывании монеты, возможны только два события – выпадение «орла» или выпадение «решки». Вероятность наступления каждого из них – 
. Сумма вероятностей этих событий: + = 1.
Если вероятность события А равна Р(А), то вероятность того, что событие А не произойдет равна 1- Р(А).
Вероятность появления красного шара в эксперименте 3 равна . Значит, вероятность того, что красный шар не будет вытащен: 1 - = .
Вопрос. Какова вероятность того, что при подбрасывании монеты выпадет не «орел»?
Ответ: 1 - =
Эксперимент 4. Возьмите один кубик. Проведите опыт: подбросьте его. Результатом опыта (элементарным исходом) будем считать число, выпавшее на верхней грани кубика. Нас интересует вероятность события «не выпало число 5».
Запишите на доске два события:
1) выпало число 5
2) не выпало число 5
Проведите несколько опытов (20-25) и посмотрите полученные результаты.
Вероятность выпадения любого из шести чисел одинакова и равна 
, так как элементарные исходы в этом опыте равновозможные. Вероятность не наступления элементарного исхода (например, не выпало число 5) равна 1- Р(А) = 1- = 
.
Учителю. Обратите внимание учеников, что вероятность наступления какого-то события, полученная теоретически, и, полученная в результате практического эксперимента, отличаются. Для приближения практического результата к теоретическому нужно проводить большое количество опытов.
Два события называются совместными в каком-то опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом же опыте. События «вытащили синий шар» и «вытащили шар с номером, большим 3» из коробки с пятью нашими шарами совместны (они наступают одновременно, если вытащили шар с номером 4 или 5).
События «выпадение орла» и «выпадение решки» не могут наступить одновременно при проведении данного опыта. Такие события называются несовместными.
Эксперимент 5. В коробку положите 2 красных и один синий шар.
Вытащите последовательно один за другим 2 шара (1 остается в ящике).
Возможны три исхода, вытащены шары:
1) красный, красный
2) красный, синий
3) синий, красный.
На первый взгляд может показаться, что данные случаи не равновозможные.
Проведите достаточное количество опытов, чтобы стало очевидно, что случаи равновозможные (запишите на доске три возможных исхода и после каждого опыта отмечайте полученный исход опыта, ставя какой-либо знак).
На самом деле все три случая равновозможные. Обоснуем это, рассмотрев всевозможные варианты. Обозначив синий шар через С, а красные – через К1 и К2.
Всего возможны шесть элементарных исходов опыта: К1 и К2, К2 и К1, К1 и С, К2 и С, С и К1, С и К2. Они равновозможные.
То есть, каждый из трех случаев получается двумя вариантами и, следовательно, каждый возможен с вероятностью 
или .
Рассмотрим несколько заданий.
Задание 3. Подбрасываем 2 монеты вместе. Какова вероятность выпадения:
А) двух «орлов»;
Б) двух «решек»;
В) одного «орла» и одной «решки».
Решение. Всего возможны 4 события: на обеих монетах выпадают «орлы»; на обеих монетах выпадают «решки»; на первой – «орел», на второй – «решка»; на первой – «решка», на второй – «орел». Все четыре события равновозможные.
Вероятность выпадения двух «орлов» – 
, двух «решек» - ,
одного «орла» и одной «решки» равна 
= .
Ответ: А) ; Б) ; В) .
Учителю. После теоретического обсуждения можно провести эксперимент по подбрасыванию монет 20-25 раз, зафиксировать результат в таблице и обсудить практический результат.
Еще раз обратите внимание, что результаты эксперимента могут отличаться от рассчитанных теоретически (возможно даже, что практически всегда будет выпадать два «орла»). Но с увеличением количества попыток практические результаты приближаются к теоретически рассчитанным.
Учителю. Предложите ученикам дома провести подобный эксперимент, и результаты принести на следующее занятие. Увеличение количества попыток обязательно покажет приближение расчетного результата к теоретическому.
Задание 4. В урну положили одинаковые карточки с записанными на них натуральными числами от 1 до 30. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?
Решение. Обозначим через A событие «число на взятой карточке кратно 5». В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию A благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30).
Следовательно, Р(А) = 
= .
Ответ: .
Обозначим буквой В событие: «число на взятой карточке кратно 7», а С – «число на взятой карточке нечетное». Тогда события А и В – несовместные (не могут наступить одновременно при проведении одного испытания), а события А и С - совместные (могут наступить одновременно при одном испытании).
Эксперимент 6. Возьмите 2 кубика. Проведите опыт - подбросьте их вместе.
Сколько равновозможных элементарных исходов этого опыта? (36)
Повторяйте опыт, пока не выпадет на обоих кубиках одинаковое число. Какова вероятность этого события? (
= )
Какова вероятность события «на обоих кубиках выпало число 5»? (
)
Задание 5. Проведен опыт: бросали 2 кубика одновременно. Какие из событий совместные, а какие несовместные:
А) на первом кубике выпало число 3; на втором кубике выпало число 4;
Б) на первом кубике выпало число 5; на втором кубике выпало число меньше 3;
В) на первом кубике выпало четное число; на втором кубике выпало число 7;
Г) на первом кубике выпало четное число; на первом кубике выпало число 6;
Д) на втором кубике выпало число 5; на втором кубике выпало число меньше 3;
Е) на первом кубике выпало четное число; на первом кубике выпало число кратное 3.
Ответ: Совместные события в случаях А, Б, Г, Е. Несовместные В (второе событие вообще невозможно) и Д.
Учителю. Предложите ученикам придумать свои варианты совместных и несовместных событий при подбрасывании двух кубиков одновременно.
Задание 6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?
Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90.
Одинаковые цифры имеют 9 чисел (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99).
В данном случае m = 9, n = 90:
Р(А) = 
= 0,1; где A - событие «число с одинаковыми цифрами».
Ответ: 0,1.
Задание 7. В урне лежат 5 красных, 12 белых и 9 синих шаров. Вытаскиваем один шар. Найти вероятность того, что:
А) вынут белый шар; Б) вынут красный шар; В) вынут синий шар; Г) вынут не белый шар.
Решение. В задаче имеется 5 + 12 + 9 = 26 равновозможных исходов.
Исходов, благоприятствующих событию «вынут белый шар» - 12. Поэтому вероятность этого события равна 
или 
. Аналогично получаются вероятности событий Б) и В).
А) 
; Б) 
; В) 
.
Учителю. Обратите внимание учащихся, что сумма вероятностей событий А), Б), В) равна 1.
Г) На этом случае остановимся подробнее. Если вынут не белый шар, значит, это красный или синий шар. Вероятность этого события равна сумме вероятностей событий Б) и В), то есть + = 
.
Можно определить вероятность этого события (не белый шар) по-другому. Вероятность того, что вынут белый шар, равна , тогда вероятность того, что «вынут не белый шар» равна
1 - = 
.
Ответ: А) ; Б) ; В) ; Г) .
Задание 8. Подбрасывают два игральных кубика, подсчитывают суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.
Решение. Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы (k;m), представленные в таблице. Элементарный исход означает, что на первом кубике выпало k очков, а на втором m очков. k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Например (3, 4) - на первом кубике 3 очка, на втором - 4 очка.
| (1, 1) | (2,1) | (3, 1) | (4, 1) | (5, 1) | (6, 1) |
| (1, 2) | (2,2) | (3, 2) | (4, 2) | (5, 2) | (6, 2) |
| (1, 3) | (2,3) | (3, 3) | (4, 3) | (5, 3) | (6, 3) |
| (1, 4) | (2,4) | (3, 4) | (4, 4) | (5, 4) | (6, 4) |
| (1, 5) | (2,5) | (3, 5) | (4, 5) | (5, 5) | (6, 5) |
| (1, 6) | (2,6) | (3, 6) | (4, 6) | (5, 6) | (6, 6) |
В этом опыте всего 36 элементарных исходов. По таблице легко посчитать вероятность таких, например, событий, как «выпадение 10 очков». Благоприятных исходов такого события 3: (4, 6), (6, 4), (5, 5). Значит вероятность наступления этого события 
или 
.
Иногда в задачах возникают ситуации, когда несколько опытов проводятся независимо друг от друга. Можно показать, что вероятность события «исход первого опыта есть A, а второго - B» равна произведению вероятностей событий «исход первого опыта есть A» и «исход второго опыта есть B».
Задание 9. Подбрасывают последовательно два кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет цифра 5, а на втором – четная цифра.
Решение. Вероятность того, что на первом кубике выпадет «5» равна , а того, что на втором кубике выпадет четная цифра 
или . Вероятность того, чтобы эти события произошли одновременно 
.
Ответ: .
Задание 10. Бросают кубик. Найдите вероятность следующих событий:
1) А - выпадет 6 очков; 2) Б - не выпадет 6 очков; 3) В - выпадет четное число очков;
4) Г - выпадет число очков не больше 5.
Какие из этих событий совместные, какие несовместные?
Ответ: 1) ; б) = 1 - ; в) ; г) (если выпадет 1, 2, 3, 4 или 5 очков).
Совместными являются события А и В, Б и В, Б и Г, В и Г.
Несовместными являются события А и Б, А и Г.
Задание 11. Кубик кидают подряд 3 раза. Какова вероятность того, что каждый раз будет выпадать 6 очков?
Решение. Последовательные подбрасывания кубика – опыты, не зависимые друг от друга. Вероятность выпадения 6 очков при одном подбрасывании кубика равна , значит выпадение 6 очков при трех бросаниях подряд равно: 
= 
.
Ответ: .
Задание 12. Муха-Цокотуха ждет на день рождения в гости 5 божьих коровок, 7 бабочек и 4 стрекозы. Гости приходят по одному.
А) Какова вероятность того, что первой придет бабочка?
Б) Какова вероятность того, что первой придет бабочка, а второй стрекоза.
Решение. А) Всего ожидается 16 гостей. Если гости приходят по одному, то появление любого из них – равновозможные события. Из них благоприятствующих событию «первой придет бабочка» - 7, значит вероятность этого события 
.
Б) Вероятность события «первой придет бабочка»: . Посчитаем вероятность события «второй придет стрекоза», она совпадает с вероятностью «первой придет стрекоза», если гостей 15 (6 бабочек). Вероятность появления стрекозы: 
. Эти события независимы друг от друга, значит, вероятность их одновременного наступления равна:
∙ = 
.
Ответ: .
