Експерементальна установка

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1 Вихідні положення хвильової оптики

1. Змінні за часом електричні і магнітні поля, що взаємно породжують одне одного і поширюються у просторі, уявляють собою електромагнітні хвилі. На рис.1 схематично показана електромагнітна хвиля, що поширюється вздовж осі абсцис; і - відповідно вектори напруженості електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі. Електромагнітні хвилі відносяться до поперечних хвиль, оскільки в них напрямки коливань векторів і нормальні відносно вектора швидкості хвилі – .

Рис.1

2. Світлові хвилі – це електромагнітні хвилі з довжинами хвиль, що лежать у межах 400…760 нм. Кольорова характеристика світлової хвилі визначається довжиною хвилі (400 нм – фіолетовий колір, 760 нм – червоний колір). Якщо світлові хвилі мають однакову довжину хвилі, світло називається монохроматичним; якщо ж у світловому пучку знаходяться всі довжини хвиль у межах від 400 до 760 нм (всі «кольори»), світло є білим.

3. Взаємодія світлової електромагнітної хвилі з речовиною в переважній більшості випадків визначається дією електричного поля хвилі, що характеризується вектором напружності електричного поля . Надалі будемо називати електричним (або світловим) вектором і при розгляданні світлових явищ будемо абстрагуватися від дії магнітного поля світлової хвилі.

Важливою характеристикою світлової хвилі є її інтенсивність[1], пропорційна | |².

4. Поширення світла в просторі будемо описувати за допомогою понять «фронт світлової хвилі» і «світловий промінь».

Фронтом світлової хвилі називається геометричне місце точок простору, до яких у даний момент часу досягла світлова хвиля. Фронт світлової хвилі поділяє простір на дві частини – одна з них охоплена хвильовим процесом, а до другої частини хвильові збідження ще не дійшли.

Середовище, у якому показник заломлення однаковий для будь-яких його точок, називається оптично однорідним. В противному випадку середовище називається оптично неоднорідним.

Світловим променем називається лінія, дотична в кожній точці якої зівпадає з напрямком переносу енергії. Зокрема для оптично однорідного середовища промені прямолінійні. Для однорідного середовища промені завжди перпендикулярні до фронту хвилі.

5. У вакуумі світлові хвилі поширюються зі швидкістю c = 3· 10⁸ м/с, а в речовині зі швидкістю v = c/n, де n > 1 - показник заломлення, значення якого визначається конкретними властивостями речовини. При поширенні світлової хвилі в речовині її частота залишається незмінною, а довжина хвилі зменшується. Дійсно:

(1)

Тут - довжина світлової хвилі у вакуумі, – її частота).

6. Світлові хвилі випромінюються окремими атомами джерела світла незалежно одна від одної, тому початкові фази їх коливань не пов'язані між собою і з рівною ймовірністю довільно змінюються у часі. Такі хвилі називаються некогерентними і при накладанні в одній точці простору їх інтенсивності просто підсумовуються.

Когерентними називаються такі хвилі, що мають однакову частоту і незалежну від часу різницю фаз .

1.2. Дифракція світла

1.2.1. Поняття про дифракцію

Дифракцією світла називається явище огинання світловими хвилями перешкод (як правило, з розмірами, порівняними з довжиною світлової хвилі) і наступною інтерференцією світлових хвиль.

В явищі дифракції світло попадає в область геометричної тіні і тим самим порушується закон прямолінійності поширення світла.

Математично точне рішення задачі дифракції викликає виняткові труднощі. Тому застосовуються наближені методи рішення, в основі яких лежить принцип Гюйгенса–Френеля:

Кожна точка фронту хвилі є джерелом вторинних сферичних хвиль, а поверхня, що огинає поверхні вторинних сферичних хвиль, визначає положення фронту хвилі в наступний момент часу. Всі вторинні хвилі когерентні між собою, тому вони інтерферують.

1.2.2 Дифракція плоских хвиль на вузькій щілині

Рис. 3

Нехай на вузьку щілину в непрозорому екрані падає пучок паралельних монохроматичних світлових променів з довжиною хвилі (рис.3, а). З точки зору геометричної оптики на екрані повинно утворитися чітке зображення щілини. У дійсності ж, внаслідок інтерференції вторинних хвиль, на екрані крім центральної світлої смуги (нульового максимуму) утвориться ряд більш слабких світлих смуг – вторинних інтерференційних максимумів (рис. 3б).

Розглянемо інтерференцію вторинних світлових хвиль і утворення інтерференційних максимумів і мінімумів. Світлові промені, випромінені вторинними джерелами світлових хвиль поширюються під різними кутами. Промені, що поширюються під кутом a до початкового напрямку (рис. 3а) когерентні, і, збираючись далі за допомогою лінзи в одній точці, інтерферують. Як видно з рис.3а, шляхи, пройдені променями, що виходять із різних точок щілини, різні, тобто між ними виникає різниця ходу D, що визначає результат інтерференції.

Розрахунок інтерференційної картини, створеною нескінченною множиною променів, складний, і тому скористаємося спрощеним методом – розіб'ємо фронт вторинних хвиль на окремі ділянки (зони) так, щоб різниця ходу між сусідними променями дорівнювала половині довжини хвилі. У цьому випадку, очевидно, кожному променю однієї зони буде відповідати один із променів сусідньої зони, що відстає від нього на l/2, тобто знаходиться у протифазі, що забезпечує їх взаємне гасіння при накладанні. Тому для підрахунку результату інтерференції вторинних хвиль, що поширюються під кутом α, необхідно визначити, яке число зон розміщується на фронті вторинної хвилі. Різниця ходу між променями, що дифрагували від країв щілини, дорівнює:

,

(1)

де - ширина щілини, а число зон на фронті хвилі визначається формулою:

(2)

Результуюча амплітуда електричного вектора в точці спостереження визначиться виразом:

Е0р = Е01 – Е02 + Е03 -...± Е0k

(3)

В нашому випадку всі зони рівноправні, тому | E₀₁| = |E₀₂|…= |E_0k|º |E₀|, отже, результат інтерференції визначається парністю або непарністю числа k, яке визначає число зон, що розміщуються на фронті вторинної хвилі. У тому випадку, коли k = 2m (m = 1, 2, 3...) - парне число, спостерігається інтерференційний мінімум, а якщо k = (2m - 1) - непарне, максимум.

На рис. 2, б: k = 3 і E_р = E₀ – E₀ + E₀ = E₀.

Інакше кажучи, максимум при дифракції на одній щілині буде спостерігатися для таких значень кутів дифракції a, для яких різниця ходу між променями, що дифрагували від країв щілини дорівнює непарному числу напівхвиль.

a sina = (2m - 1)l₀/2

В міру зростання кута  спадає інтенсивність вторинних хвиль і, відповідно, інтенсивність дифракційних максимумів також швидко спадає в міру зростання їх номера.

При освітленні щілини білим світлом дифракційні максимуми для променів із різними довжинами хвиль будуть спостерігатися при різних значеннях кутів  і, отже, спостережувана картина буде кольоровою. Таким чином, вузька щілина в принципі може бути використана як спектральний прилад для розкладання білого світла на складові - спектр. Проте світлосила вузької щілини вкрай мала, і звичайно для цих цілей використовують систему, що складається з великого числа щілин - дифракційну решітку.

1.2.3. Дифракція плоских хвиль на дифракційній решітці

Рис.3.

У найпростішому виді дифракційна решітка являє собою ряд прозорих щілин однакової ширини , відокремленних однаковими непрозорими смугами шириною (рис. 3).

На решітку нормально падає пучок паралельних монохроматичних променів. Промені, що дифрагували, далі збираються лінзою L і інтерферують. Таким чином, ми маємо накладання двох процесів - дифракції від кожної окремої щілини і інтерференції променів від усіх щілин. Напрямки мінімумів, знайдених для однієї з щілин, збігаються з напрямками мінімумів, утворених кожною щілиною окремо. Отже, додаються мінімуми, що виникають при інтерференції променів, дифрагованих на різних щілинах.

З іншого боку, якщо вибраний напрямок такий, що різниця ходу двох відповідних[2] дифрагованих променів двох сусідніх щілин (рис.3) дорівнює цілому числу довжин хвиль, то і для всіх інших можливих пар різниця ходу також буде дорівнювати цілому числу довжин хвиль і їх накладання приведе до утворення дифракційного максимуму (більш інтенсивному порівняно з максимумом для однієї щілини). Як видно з рис.3

(4)

У зв'язку з цим умова максимуму для дифракційної решітки буде D= = kl. Позначивши (період дифракційної решітки), одержимо умову максимуму:

(5)

 

Оскільки амплітудні значення електричних векторів, що виходять від усіх щілин у максимумі підсумовуються, то . Оскільки інтенсивність світла пропорційна , то:

(6)

Рис.4

Світлосила решітки пропорційна квадрату числа щілин і значно вища світлосили окремої щілини.

Це дозволяє широко використовувати дифракційні решітки для розкладання білого світла на складові - спектр. На рис.4 схематично показані спектри, отримані при використанні дифракційної решітки.

Нульовий максимум не кольоровий, білий, а далі в обидві сторони йдуть, спектри 1-го, 2-го і більш високих порядків. У кожному із спектрів дифракційні максимуми для фіолетових променів спостерігаються при менших значеннях кутів, ніж для червоних (оскільки l_ф < l_ч, то і див. формулу (5)).

 

ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ЧАСТИНА

Мета роботи

Визначення довжин хвиль лінійчатого спектра ртуті, що є еталонним для видимої частини спектра і використовується надалі для градуювання призматичних спектральних приладів.

2.2 Прилади і устаткування

Дифракційна решітка з періодом , ртутна лампа, щілина, лінійка.

Експерементальна установка

 

На рис.5 показана схема установки. Джерелом світла є ртутна лампа S. (Увага! Ртутна лампа випромінює ультрафіолетові промені, шкідливі для очей, і тому дивитися на лампу безпосередньо, без скляного фільтра, що затримує ультрафіолетові промені, не варто). Світло від лампи попадає на щілину Т і далі паралельний пучок світлових променів падає на дифракційну решітку R. Дифраговані промені, що відповідають деякому максимуму, потрапляють в око спостерігача, відхилившись на кут a від початкового напрямку, і воно фіксує їхнє уявне зображення в деякій точці M на лінійці Л. Найбільш яскраві максимуми спектра випромінювання ртуті спостерігаються як лінії: фіолетова, синя, зелена, жовта. Для них довжини хвиль можна розрахувати, скориставшись формулою (5):

.

(7)

З рис. 5 неважко бачити, що , тоді:

.

(8)

2.4 Порядок проведення вимірів

1. Встановіть задану керівником занять відстань від щілини до дифракційної решітки y.

2. Після пуску ртутної лампи виміряйте за допомогою лінійки значення x зліва і справа для кожної із чотирьох ліній спектра першого порядку. Виміри повторіть тричі. Результати вимірів занесіть у таблицю 1.

3. У спектрі другого порядку (k = 2) виміряйте координату зліва і справа тільки одної лінії (її зазначить керівник). Результати занесіть у таблицю 1.

Таблиця1

Колір лінії	Порядок спектра		х зліва, мм	х справа, мм	х ср, мм		нм
фіолетовий	k = 1	xі
синій	k = 1	x i
зелений	k = 1	x i
жовтий	k = 1	x i
…	k = 2	x i

2.5 Обробка результатів вимірів

1. Обчисліть x_ср за формулою:

,

а далі обчисліть для кожної лінії: .

2. За формулою (8) обчисліть довжини хвиль для кожної лінії спектра ртуті.

3. Знайдіть середню квадратичну похибку визначення довжини хвилі

,

де:

.

Приклад розрахунку

Таблиця 2

y = 250 мм; l = 1900 нм.
Колір лінії	Порядок спектра		x зліва, мм	x справа, мм	x ср, мм		 , нм
жовтий	k = 1	xі							81,8	0,3110	590,9
	0,2	0,8	1,2	0,8	2,2	1,8
	0,04	0,64	1,44	0,64	4,84	3,24

.

= 1900 × 0,311 = 590,9 нм.

нм.

l = (590,9 ± 2 × 4,4) нм.

Контрольні запитання

1. В чому полягає явище дифракції?

2. Сформулюйте принцип Гюйгенса - Френеля.

3. Виведіть умови виникнення інтерференційних максимумів і мінімумів при дифракції на вузькій щілині.

4. Виведіть формулу дифракційної решітки.

5. Період дифракційної решітки  l = 5 мкм. На решітку падає нормально світло з довжиною хвилі λ = 0,56 мкм. Максимум якого найбільшого порядку дає ця решітка?

6. На дифракційну решітку падає паралельний пучок білого світла. Спектри другого і третього порядку частково накладаються один на одного. На яку довжину хвилі в спектрі другого порядку накладається фіолетова границя ( = 400 мкм) спектра 3-го порядку?

Література

1. Михайленко В.І., Білоус В.М., Поповський Ю.М. Загальна фізика, 1994 - С. 328-334.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2., 1978. - Гл. 18. - С. 372-406.

[1] Інтенсивністю світла називають кількість енергії випромінювання, що проходить за одиницю часу через одиничну площадку в напрямку нормалі до неї.

[2] Відповідні промені – це такі промені, які виходять з симетричних точок сусідніх щілин.