Основные этапы проектирования систем управления

 

Рис. 1.13. Этапы проектирования систем управления

Пример автоматической системы

Рис. 1.14. Автоматический регулятор уровня воды в паровом котле

Один из первых в истории техники автоматических регуляторов был изобретён И.И. Ползуновым в 1765 году.

Данный регулятор является системой прямого управления с отрицательной обратной связью. Он действует таким образом, что нежелательное отклонение уровня воды всегда ликвидируется независимо от причин, вызвавших это отклонение.

h - регулируемая величина (уровень воды в котле)

Н – задающее воздействие (желаемый уровень воды в котле)

Клапан А – регулирующий орган

Поплавок – измерительное устройство

Возмущающие воздействия – неравномерность отвода пара, изменение интенсивности топки, температура питающей воды.

 

Основные характеристики типовых звеньев и систем

Автоматического управления

Типовые звенья САР

В разделе I.2. уже отмечалось, что звено и все САР в целом после линеаризации в общем случае описывается линейным дифференциальным уравнением достаточно высокого порядка. Из методических соображений представляется целесообразным такие сложные звенья и системы в целом представлять совокупностью так называемых типовых звеньев. Под типовым звеном будем понимать устойчивое (этот термин будет разъяснен позднее) звено, которое описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами не выше второго порядка

Структурная схема звена или системы в целом представлена на рис.2.1, причем, как обычно, x(t) – входной сигнал звена (системы), z(t) – выходной сигнал, – передаточная функция.

Рис. 2.1. Структурная схема звена.

 

Обычно к типовым звеньям относят:

- усилительное ;

- апериодическое ;

- интегрирующее ;

- дифференцирующее ;

- колебательное ;

- форсирующее ;

- запаздывающее ^{- pt}.

 

Усилительное звено.

Самым простейшим звеном является безынерционное звено, которое не только в статическом, но и динамическом режиме описывается алгебраическим уравнением.

z(t)=k·x(t) (2.1)

Предполагается, что передача сигнала от входа к выходу производится мгновенно без какой либо инерции. Поэтому такое звено называют безынерционным. Примерами таких звеньев являются механический редуктор, безинерционный операционный усилитель, делитель напряжения, рычажная передача и т.п.

После применения к алгебраическому уравнению (1) преобразования Лапласа

,

получим передаточную функцию звена

. (2.2)

Рассмотрим сначала временные характеристики безынерционного звена. Как уже говорилось в п.2., переходная функция звена h(t) есть его реакция на единичный скачек 1 (t),поэтому согласно п.2.

.

В выражениях для переходных характеристик h(t) имеется сомножитель

Этот сомножитель вводится для того, чтобы подчеркнуть, что h(t), является следствием приложения ко входу звена в момент времени t = 0 единичного скачка 1 (t), может существовать (не быть равной нулю) только при t ≥0. Для моментов времени t < 0, когда 1 (t) = 0, т.е. скачок еще не приложен, реакция на него h(t <0) равна нулю. Если на одном рис. 2.2 поместить рядом входной единичный сигнал x(t) = 1 (t) звена, и выходной z(t) = h(t) = k 1 (t), то легко понять, что параметр k, входящий в выражение для передаточной функции и в уравнение (2.1) есть коэффициент усиления безынерционного звена.

 

Рис. 2.2. Единичный скачок и переходная функция

безынерционного звена.

 

Импульсная переходная или весовая функция звена w(t) есть его реакция на единичный импульс δ(t). Поскольку , то

.

Таким образом, если на вход безынерционного звена подать импульс δ(t) бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды с площадью, равной единице, то на выходе получится такой же импульс, но с площадью, равной k, т.е. .

Чтобы получить частотные характеристики звена, надо в его передаточной функции провести замену . Тогда получится частотная передаточная функция безынерционного звена

 

, (2.3)

где k = Re (W (j ω)),

0j = Jm (W (j ω)).

 

Амплитуднo- частотная А(ω) (АЧХ) и фазо- частотная φ(ω) (ФЧХ) характеристики звена легко определяются из выражений:

φ

Эти зависимости приведены на рисунке 2.3.

а) б)

 

Рис. 2.3. АЧХ и ФЧХ безынерционного звена.

Из рис. 2.3 для пункта а) видно, что безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ∞. Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, рассматриваемых ниже, например, инерционное или колебательное, если можно пренебречь влиянием динамических (переходных) процессов в этом звене.

Амплитудно-фазовая характеристика безынерционного звена отличается тем, что для всех ее точек, соответствующих частотам от 0 до ∞, фазовый угол φ(ω) = const = 0 и АЧХ А(ω) = const = k, т.е. АФХ звена представляет собой точку на оси абсцисс плоскости Гаусса, отстающую от начала координат на расстояние k (рис. 2.4).

Рис. 2.4. АФХ безынерционного звена.

 

Для построения ЛАЧХ безынерционного звена воспользуемся зависимостью . Это уравнение прямой, проходящей на расстоянии от оси абсцисс параллельно ей, т.е. независимо от частоты (рис.2.5).

 

Рис. 2.5. ЛАЧХ безынерционного звена для k =1000

Инерционное звено.

 

Звено называется инерционным, если связь между входным х(t) и выходным z(t) сигналами звена определяется дифференциальным уравнением:

. (2.4)

Смысл коэффициентов T и k будет пояснен позже. Такое звено называют также апериодическим, статистическим, одноемкостным, релаксационным.

Надо заметить, что этот тип звена наиболее часто встречается в практике автоматического управления. В качестве примеров инерционного звена можно назвать термопару, магнитный усилитель, двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, генератор и т.д.

Если к (2.4) применить преобразование Лапласа, при нулевых начальных условиях, то получится

.

Найдем отсюда передаточную функцию звена

. (2.5)

Переходная характеристика звена определиться из выражения

(2.6)

На рисунке 2.6 представлены для сравнения сигналы х (t) = 1(t) и z (t) = h (t) инерционного звена.

Рис. 2.6. Единичный скачок и переходная

функция инерционного звена.

 

Из рисунка видно, что, сравнивая установившиеся значение выходного сигнала звена k и величину входного 1(t), можно сделать вывод, что параметр k в (2) есть коэффициент усиления звена. Из этого же рис. 20. видно, что кривая 2 характеризует более замедленную, более инертную реакцию звена на единичный скачок. Для кривой 2 параметр Т ₁ (смысл которого ясен из рисунка) больше параметра Т₂ для кривой 1.Значит, этот параметр может служить мерой инерционности звена. Обычно, этот коэффициент Т называют постоянной времени звена.

Импульсная переходная (весовая) функция звена w (t), представленная на рис. 2.7, определяется следующим образом

 

. (2.7)

 

 

Получим частотную передаточную функцию звена W (j ω), заменив в (2.5) р на j ω

.

Отсюда легко определяются АЧХ A(ω) и ФЧХ φ(ω)

 

φ

Качественный вид графиков, соответствующих выше найденным зависимостям A(ω) и φ(ω), представлен на рис. 2.8.

 

Рис.2.8. АЧХ и ФЧХ инерционного звена.

 

По найденным графикам A(ω) и φ(ω) на рис. 2.9 построена амплитудно-фазовая характеристика инерционного звена

Рис. 2.9. АФХ инерционного звена.

 

Из выражения для АЧХ звена выводится точное соотношение для ЛАЧХ:

. (2.8)

В выражении для L (ω) вычислять слагаемое для различных частот от 0 до ∞ представляет определенные неудобства. Вот если бы удалось диапазон частот 0 ≤ ω < ∞ так разбить на два (в данном конкретном случае) поддиапазона, чтобы в каждом из них кривая линия была бы заменена прямой линией (асимптотой) с собственным наклоном, вычисления существенно бы упростилось.

В качестве первого участка возьмем диапазон частот, для которого или ω T <1. Тогда в выражении для асимптоты первого порядка вторым слагаемым подкоренного выражения ² T ² можно пренебречь по сравнению с первым

Итак, первая асимптота представляет собой прямую линию, не зависящую от частоты, и проходящую по оси частот. Наклон такой асимптоты равен 0.

На втором участке рассмотрим диапазон частот, для которого или ω T >1. Тогда асимптота второго участка может быть получена, если в выражении пренебречь первым слагаемым подкоренного выражения по сравнению со вторым

. (2.9)

Поскольку при построении ЛАЧХ по оси абсцисс частоты откладываются в логарифмическом масштабе, то вторая асимптота представляет собой уравнение прямой, зависящей от частоты ω (т.е. проходящей с некоторым наклоном к оси частот). Ниже будет показано, как определять наклон таких асимптот.

Когда же сопрягаются, т.е. становятся равными эти две асимптоты L ₁(ω) и L ₂(ω)? Очевидно, тогда, когда первое слагаемое подкоренного выражения точной кривой становится равным второму

1= ω² T ².

Отсюда частота, при которой сопрягаются обе асимптоты, или сопрягающая частота

.

Асимптоты L ₁(ω) и L ₂(ω) представляют собой совокупность прямых, приблизительно заменяющих точную кривую (рис.23). На этом рисунке помимо асимптот L ₁(ω) и L ₂(ω) пунктиром показана и упомянутая точная кривая.

 

Рис. 2.10. Точная ЛАЧХ и ее асимптоты.

 

Вернемся к выражению (2.8) для точной ЛАЧХ звена и построим асимптоты, приблизительно ее заменяющие.

Начинать построение ЛАЧХ рекомендуется с определения сопрягающих частот. Сопрягающих частот у ЛАЧХ будет столько, сколько звено (или САР) имеет постоянных времени. В случае инерционного звена из рис. 2.10 видно, что имеется лишь одна постоянная времени Т и, значит, одна сопрягающая частота

Эта сопрягающая частота делит ось частот на два участка ω < ω_c и ω > ω_c. Для более сложных звеньев или САР число постоянных времени может достигать произвольного значения m, тогда число участков будет m+1.

В случае инерционного звена рассмотрим:

I участок

или ω T <1.

Выражение для асимптоты I участка L ₁(ω) получим из соотношения (4) для точной ЛАЧХ, если учтем условие (5), т.е. в подкоренном выражении члена пренебрежем вторым слагаемым по сравнению с первым. Тогда получится:

Это уравнение горизонтальной прямой (ее значение не зависит от частоты ω), проходящей при k =100 на расстоянии 20lg100=40 дб от оси абсцисс до частоты ω_c:

 

II участок

или ω T >1.

Выражение для асимптоты II участка получается аналогично предыдущему случаю, только учитывать надо условие (6) и в члене следует пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым

.

Как уже говорилось выше, с учетом логарифмического масштаба по оси частот данное выражение представляет собой прямую линию, имеющий некоторый наклон к оси абсцисс. Чтобы провести эту асимптоту на графике, необходимо знать ее наклон и точку, через которую проходит данная прямая. Что касается упомянутой точки, то найти ее легко, если понять, что конец предыдущей асимптоты является началом следующей. В самом деле, если взять конец первой асимптоты, т.е. ее значение при

,

и начало второй асимптоты, т.е. опять же ее значение при

,

то подтверждается вышеприведенное утверждение

.

Для определения наклона асимптоты к оси абсцисс найдем для частоты ω^*, относящейся ко II участку

.

Затем увеличим частоту ω^* в 10 раз (т.е. на декаду) и получим значение L ₂(10 ω^*)

.

Легко понять, что если взять приращение ЛАЧХ

L ₂ (10 ω^*) – L ₂ (ω^*)

и отнести его к интервалу изменения частоты, то тем самым определиться наклон асимптоты к оси частот

Итак, наклон второй асимптоты L ₂(ω) составляет , т.е. при росте частоты на 1 декаду L ₂(ω) уменьшается на 20 дб.

Вообще же, чтобы не определять каждый раз подобным способом наклоны произвольной асимптоты полезно запомнить следующее правило, наклон асимптоты к оси частот определяется коэффициентом со знаком, стоящим при члене lg ω в выражении для асимптоты. Например, если

то соответствующий наклон равен , а при

этот наклон будет .

На рис. 24 изображена ЛАЧХ инерционного звена своими асимптотами

.

Часто ЛАЧХ звена или системы характеризуют путем обозначения наклонов ее асимптот. В данном случае эта характеристика будет выглядеть так

.

Рис.2.11. ЛАЧХ инерционного звена.

 

На этом же рисунке пунктиром изображена точная ЛАЧХ L (ω). Видно, что максимальная ошибка, возникающая от замены точной ЛАЧХ на асимптотическую, наблюдается на сопрягающей частоте и приблизительно равна 3,03 дб.

Чтобы оценить влияние параметров звена k и T на его ЛАЧХ, надо понять, что изменение k приводить к изменению . Иными словами, при изменении k первая асимптота перемещается по вертикали параллельно самой себе. Но так как конец первой асимптоты является началом второй, т.е. первая и вторая асимптоты жестко связаны, то точно такое же перемещение по вертикали будет претерпевать и вся асимптотическая ЛАЧХ.

Понятно так же, что при изменении Т меняется сопрягающая частота . Значит, при изменении T ЛАЧХ инерционного звена будет перемещаться по горизонтали параллельно самой себе.

 

 

Интегрирующее звено.

 

Процесс в интегрирующем звене описывается уравнением вида

. (2.10)

Продифференцировав это интегральное уравнение по времени, можно его представить в виде дифференциального уравнения

. (2.11)

Такое звено называют еще астатическим или нейтральным.

Если перейти в последнем уравнении в Лапласовую область, то можно получить передаточную функцию звена

,

отсюда

. (2.12)

Примерами интегрирующих звеньев могут служить: электрическая емкость (рис.25 а); индуктивность (б); вращающийся вал (в), если за входной его сигнал считать угловую скорость вращения , а за выходной сигнал – угол поворота вала φ; гидравлический резервуар (г); операционный усилитель в режиме интегрирования (д).

 

 

Рис.2.12. Примеры интегрирующих звеньев.

 

Действительно, напряжение на емкости

,

магнитный поток в индуктивности

,

угол поворота вала

φ φ₀,

уровень воды в гидравлическом резервуаре

,

напряжение на выходе операционного усилителя

описываются интегральными уравнениями, аналогичными уравнению интегрирующего звена (26).

В этих уравнениях приняты следующие обозначения: i – ток в емкости С, u – напряжение на катушке с числом витков w, Q – приток воды в резервуар, G – слив воды из резервуара, S – поверхность резервуара.

Найдем переходную характеристику звена

.

Импульсная переходная (весовая) функция определяется следующим образом

.

На рис. 26 представлены обе эти характеристики.

Рис. 2.13. Временные характеристики

интегрирующего звена.

 

По имеющейся передаточной функции звена найдем частотную передаточную функцию:

,

а затем и АЧХ и ФЧХ

эти зависимости изображены на рис. 2.14.

 

 

Рис. 2.14. АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена.

 

АФХ интегрирующего звена (рис. 2.15) построена на основании зависимостей A(ω) и φ(ω). Подчеркнем, что для всех частот 0 ≤ ω < ∞, фазовый угол звена равен , т.е. АФХ звена пройдет по отрицательной полуоси ординат.

Выражение для точной ЛАЧХ звена

дает уравнение прямой линии с наклоном -20 , т.е. эту точную ЛАЧХ не надо заменять асимптотой.

Поскольку ЛАЧХ наклонена, то она пересекает ось абсцисс (т.е. становится равной нулю) при некоторой частоте среза ω_c

,

отсюда

ω_cр = k

и ЛАЧХ интегрирующего звена выглядит следующим образом (рис. 2.16):

Рис. 2.16. ЛАЧХ интегрирующего звена.

 

 

Дифференцирующее звено.

 

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья.

Идеальное дифференцирующее звено характеризуется уравнением

, (2.13)

или в операторной форме

.

 

Примерами такого звена могут служить электрическая емкость (рис. 29 а), индуктивность (б), тахогенератор (в).

 

Рис.2.17. Примеры идеальных дифференцирующих

звеньев.

 

В самом деле, уравнения для тока в емкости

,

напряжения на индуктивности

 

,

и напряжения на зажимах тахогенератора постоянного тока

,

совпадают по форме с уравнением идеального дифференцирующего звена.

Из уравнения (8) получается передаточная функция идеального дифференцирующего звена

и, соответственно, частотная передаточная функция

.

Для нахождения переходной характеристики идеального дифференцирующего звена воспользуемся соотношением

 

,

а весовая функция звена может быть получена следующим образом

.

При известной частотной передаточной функции W (j ω) АЧХ и ФЧХ звена легко находятся

.

На рис. 30 построены эти зависимости. На этом же рисунке, по значениям A(ω) и φ(ω) получена АФХ звена W (j ω ), которая проходит по положительной полуоси ординат. Это обусловлено тем обстоятельством, что для любой частоты 0 ≤ < ∞ фазовый угол φ() одинаков и равен .

 

Рис.2.18. АЧХ, ФЧХ и АФХ идеального

дифференцирующего звена.

 

Выражение для точной ЛАЧХ

представляет собой прямую с наклоном +20 и ее не надо заменять асимптотой. Из этого факта, что L () при некоторой частоте = _ср пересекает ось абсцисс, т.е. становится равной нулю, найдем

или

;

.

ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена приведена на рис. 2.19.

Рис. 2.19. ЛАЧХ идеального дифференцирующего

звена.

 

Однако практически осуществить идеальное дифференцирующее звено, строго удовлетворяющее уравнению (8), не представляется возможным. Поэтому применяются звенья, выполняющие дифференцирующее действие более или менее приближенно. Такие звенья называются реальными дифференцирующими звеньями. Процессы в таких звеньях описываются дифференциальным уравнением вида

,

или в Лапласовой форме

. (2.14)

Примерами таких звеньев могут служить, например, четырехполюсники (рис. 2.20).

 

Рис. 2.20. Примеры реальных дифференцирующих звеньев.

 

Из уравнения (2.14) найдется передаточная функция звена

. (2.15)

Переходную характеристику звена h (t) можно, как уже указывалось, определить по формуле:

. (2.16)

Весовую функцию звена найдем, исходя из выражения

.

Поскольку h (t) – сложная функция, содержащая два сомножителя, зависящих от t , то

.

Так как первое слагаемое этого выражения равно нулю при t ≠ 0, ибо δ (t) = 0 при t ≠ 0, то сомножитель имеет смысл рассматривать только при t = 0, а в этом случае , и окончательно выражение для w(t) имеет вид

.

Таким образом, получается, что весовая функция реального дифференцирующего звена w(t) состоит из двух составляющих. Первая составляющая δ – функция с площадью расположена на оси ординат, а вторая – экспонента, рассматриваемая для t ≥0. Переходная h (t) и весовая w (t) функции приведены на рис. 33 а) и б), соответственно.

а) в)

Рис. 2.21. Временные характеристики реального дифференциального звена.

 

Частотная передаточная функция W (j ) найдется из (2.3)

.

Отсюда

φ φ₁(ω) – φ₂(ω)

Имея в виду, что при очень большой частоте, т.е. при → ∞, в подкоренном выражении для A() можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым, получается:

,

построим АЧХ и ФЧХ реального дифференциального звена, а по ним и АФХ (рис. 2.22)

а) б) в)

Рис. 2.22. АЧХ (а), ФЧХ (б) и АФХ (в) реального дифференцирующего звена.

 

Выражение для точной ЛАЧХ звена имеет вид

.

Как видно из (10) звена имеет одну постоянную времени Т и, значит, одну сопрягающую частоту [c^-1]. Эта частота _с разобьет ось частот на два участка (рис.34)

I участок

или T <1.

Выражение для первой асимптоты, исходя из этого условия, найдем из выражения точной ЛАЧХ L (), если в подкоренном выражении пренебрежем вторым слагаемым по сравнению с первым

.

Это уравнение прямой, проходящей с наклоном +20 . Точку, через которую проходит первая асимптота, найдем следующим образом. Для любой частоты ^* вычислим по этой формуле L ₁( ^*) и через эту точку проведем первую асимптоту с наклоном +20 . Удобнее всего брать ^*=1 (тогда 20 = 0), независимо от того, на I-м или II-м участках расположена эта частота. Затем через точку L ₁( =1) проводят на I участке первую асимптоту с наклоном +20 до пересечения с вертикальной линией, проходящей через .

II участок

или T >1.

Тогда выражение для второй асимптоты получится из L(), если в подкоренном выражении пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым

Это линия, не зависящая от частоты, т.е. проходящая параллельно оси абсцисс через конечную точку первой асимптоты.

Рис. 35. ЛАЧХ реального дифференцирующего звена.

 

 

Колебательное звено.

 

Звено называют колебательным, если связь между входной x (t) и выходной z (t) переменными определяется дифференциальным уравнением вида

 

,

причем корни характеристического уравнения, отвечающего этому дифференциальному уравнению

,

должны быть комплексно сопряженными, т.е. должно выполнятся условие . Если это неравенство имеет противоположный знак, то корни будут вещественными и вместо колебательного звена получится последовательное соединение двух инерционных звеньев.

Часто дифференциальное уравнение колебательного звена записывают в ином виде, введя степень затухания (степень успокоения) ξ (при ξ >1 получается два инерционных звена)

.

В операторной форме это уравнение может быть записано в виде

,

и значит, передаточная функция звена будет такова

(11)

В качестве примера колебательно звена можно привести пассивный RLC – контур (рис.36).

 

Рис.36. Пример колебательного звена.

 

Интересен бывает частный случай колебательного звена, когда степень затухания ξ = 0, такое звено называют консервативным. Его передаточная функция получается при ξ = 0 из (11)

(12)

Переходная характеристика колебательного звена определяется выражением

Представление выражения в виде понадобилось потому, что в справочниках по операционному исчислению дается следующие стандартные выражения для обратного преобразования Лапласа

(13)

Получить введенные неизвестные коэффициенты α и β через заданные ξ и Т ₀ можно из выражения

,

приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p

.

Отсюда

(14)

Разложим выражение в фигурных скобках для h (t) на простейшие дроби

где А₁, А₂, А₃ – неопределенные пока коэффициенты, подлежащие определению.

Приведем к общему знаменателю правую часть этого выражения, и поскольку знаменатели слева и справа окажутся одинаковыми, приравняем числители и приведем подобные.

.

Затем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной р, получим

. (15)

Из третьего равенства (15) и (14) следует, что

Тогда из остальных равенств (15) найдем

А₂ = – А₁= – k

А₃ = – 2αА₁= – 2α k.

Отсюда, с учетом найденных значений для А₁, А₂, А₃, получим, имея в виду (13), и (14)

(16)

 

Эта переходная характеристика звена изображена на рис. 37.

Рис. 37. Переходная характеристика колебательного звена.

 

Прямо из рисунка можно определить параметр k (коэффициент усиления звена) и Т ^* – период колебаний процесса

.

На этом же рисунке нанесены пунктиром экспоненты затухания колебаний . В соответствии с этими экспонентами изменяется (здесь уменьшается) с течением времени амплитуда колебаний переходного процесса.

Для консервативного звена (ξ =0) экспоненты превращаются в горизонтальные линии и, следовательно, затухания колебаний не происходит (рис.38). это, впрочем, видно и из (16), если положить там ξ =0

 

Рис. 38. Переходная характеристика

консервативного звена.

Весовая функция колебательного звена находится из выражения

(17)

Рис. 39. Весовая функция колебательного звена.

 

Для случая ξ = 0, т.е консервативного звена, весовая функция найдется из выражения (17)

Эта характеристика изображена на рис. 40.

Рис. 40. Весовая функция консервативного звена.

 

Для исследования колебательного звена в частотной области найдем частотную передаточную функцию w (j ) заменой в (11) р→ j

 

.

Отсюда легко получается амплитудная частотная A() и фазовая частотная φ() характеристики звена.

(18)

(19)

 

Из (18) видно, что АЧХ A() существенно зависит от степени затухания ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) при с^-1 обращается в бесконечность (рис.41).

Рис. 41. АЧХ Колебательного звена.

 

В отношении зависимостей осей частоты ФЧХ φ() следует сказать следующее. Известно, что главное значение

y = arctg(x) для положительных x изменяется от 0 до . Остальные значения y получаются из главного путем прибавления к нему величины + k π, где k =1,2,...

 

Полученное в (19) значение φ дает главное значение арктангенса от 0 до – в диапазоне частот с^-1 (при с^-1 знаменатель φ() обращается в ноль, а само значение φ ). Для определения φ() для частот, больших с^-1, надо, следовательно к главному значению добавлять + k π (в нашем случае возьмем k = 1 и знак “минус”, т.к. речь идет о возрастании аргумента функции φ() в отрицательную сторону). Итак, математическое выражение, характеризующие ФЧХ φ(), будет разным для различных областей частот

φ (20)

Из (20) видно, что на поведении φ() сильно сказывается параметр ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) для диапазона частот с^-1 φ() = 0, а для диапазона с^-1 φ() = – π. На рис. 42 изображены φ() для разных значений ξ.

Рис. 42. ФЧХ колебательного звена.

 

АФХ W (j ) колебательного звена можно построить, используя уже полученные значения A() и φ(). Отметим три характерные точки рассматриваемой АФХ.

Из (18) легко получить, что А(0) = k, , А(∞) = 0. Аналогично из (20) получим φ(0) = 0, φ и φ(∞) = – π. Тогда качественно по этим трем точкам построим АФХ звена (рис.43)

Рис. 43. АФХ колебательного звена.

 

Хотя A() и φ()существенно зависят от степени затухания ξ, из (18) можно усмотреть, что для = 0 и = ∞ A(∞) не зависят от ξ, а (20) удостоверяет, что φ() не зависит от ξ при = 0, с^-1 и при = ∞. Для остальных значений частоты A() и φ() зависят от ξ, в частности, . Это означает, что с уменьшением ξ значение увеличивается, а сама АФХ с уменьшением ξ “разбухает”. Рассматривая предельный переход, можно сказать, что при ξ = 0 на частотах с^-1 происходит разрыв АФХ и низкочастотная ее часть (т.е. ) будет проходить по положительной част и оси абсцисс, начиная с точки k в право, а высокочастотная () – по отрицательной полуоси абсцисс из – ∞ до 0. Это же можно усмотреть и из рис. III. 30 для ξ = 0: для φ() = 0, а для φ() = – π.

Выражение для точной ЛАЧХ базируется на основе соотношения

(21)

Из выражения (21)для передаточной функции видно, что звено имеет одну постоянную времени Т ₀ и, значит, одну сопрягающую частоту с^-1 и два частотных участка.

 

 

I участок

, T ₀<1.

Для получения первой асимптоты надо в выражение для точной ЛАЧХ подставить это условие T ₀<1, справедливое для первого участка.

Итак, первая асимптота есть прямая, проходящая параллельно оси абсцисс на расстоянии от нее.

 

II участок.

, T ₀>1.

Тогда выражение для второй асимптоты будет

Таким образом, вторая асимптота есть прямая линия с наклоном – 40 , проходящая через конечную точку первой асимптоты.

На рис. 44 представлена асимптотическая ЛАЧХ. Выше для инерционного звена указывалось, что максимальное отличие асимптотической ЛАЧХ от точной не превышает 3,03 дб. Для колебательного звена, из-за зависимости его характеристик от параметра ξ, эти отличия могут быть много больше, так что имеются специальные таблицы, которые предназначены внести поправки для различных ξ в асимптотические ЛАЧХ, чтобы приблизить их к точным. На рис.44 точные значения ЛАЧХ (в том числе и для ξ =0) нанесены пунктиром. Видно, что максимальные отличия точной ЛАЧХ от асимптотической находятся вблизи частоты с^-1, вдали же от этой частоты различия практически исчезают.

Рис. 44. ЛАЧХ колебательного звена.

 

Упругое звено.

Упругое звено описывается дифференциальным уравнением вида

.

Примерами упругого звена (см. рис.45) могут служить пассивные четырехполюсники вида

Рис. 45. Примеры упругого звена.

 

Если к вышеприведенному дифференциальному уравнению упругого звена применить преобразование Лапласа, то для нулевых начальных условий получим

,

и следовательно, передаточная функция звена будет

(22)

Характеристики упругого звена существенно зависят от параметра . При λ > 1, т.е. при Т ₀ > T звено называется упругим дифференцирующим, в противном случае, при λ < 1 – упругим интегрирующим.

Переходная характеристика упругого звена находится обычным путем.

.

Поскольку

,

то получим для h (t)

.

Для построения этой зависимости найдем значение h (t) при t = 0 и t → ∞:

Легко понять, что для упругого дифференцирующего звена (λ > 1) h (0) > h (∞), а для упругого интегрирующего звена (λ < 1) h (0) < h (∞). В соответствии с этим зависимости h (t) для λ > 1 и λ < 1 примет вид, изображенный на рис. 46 а, в.

а) λ >1 в) λ < 1

Рис. 46. Переходная характеристика упругого звена.

 

Весовая функция звена может быть определена из соотношения

.

В нашем случае

Первое слагаемое этого выражения равно нулю для всех t ≠ 0 (ибо δ (t) = 0 при t ≠ 0), а при t = 0

,

поэтому

Окончательно

Видно, что весовая функция (рис. 47) состоит из двух составляющих – первая - это δ – функция площадью kλ, проходящая по оси ординат, и вторая существует для всех t ≥ 0. Кроме того, из последнего выражении можно усмотреть, что весовая функция w (t) упругого звена зависит от параметра λ. Следовательно, графики w (t) дифференцирующего (λ >1) и интегрирующего (λ <1) упругих звеньев (рис. 47 а, б) будут иметь различный вид

а) λ >1 в) λ < 1

Рис. 47. Весовая функция упругого звена.

Частотная передаточная функция звена, исходя из (22), имеет вид

.

Следовательно, амплитудная частотная A() и фазовая частотная φ() характеристики могут быть представлены следующим образом

φ φ₁() – φ₂()

Отсюда видно, что A() и φ() зависят от постоянных времени Т ₀ и Т и, значит, от параметра . При λ >1, т.е. Т ₀> T или , зависимости A(), φ() и w () представлены на рис. III. 36, а при λ < 1, т.е Т ₀ < T или - на рис. 48. при построении A(