Основные понятия математической статистики

 

Будем считать, что опыт состоит из бесконечного множества испытаний, перенумерованных числами 1, 2, 3,... В каждом испытании измеряется значение случайной величины X. Таким образом, с опытом связана последовательность случайных величин X ₁, X ₂,...: значение случайной величины X_k в результате опыта равно значению, которое принимает случайная величина X в k -м испытании данного опыта.

 

Случайная величина

 

M_n (X) = (X ₁ + X ₂ +...+ X_n) / n

 

называется выборочным средним, а случайная величина

 

D_n (X) = ((X ₁ - M_n (X))² + (X ₂ - M_n (X))² +...+ (X_n - M_n (X))²) / (n – 1)

 

 

называется несмещённой оценкой дисперсии случайной величины X (оценка числовой характеристики случайной величины считается несмещённой в том случае, когда её математическое ожидание совпадает с точным значением соответствующей числовой характеристики случайной величины X). В учебниках по математической статистике приводятся формулы для вычисления несмещённых оценок различных числовых характеристик случайной величины.

 

Пусть a – точное значение числовой характеристики случайной величины X, A_n - её несмещённая оценка, ε – положительное число, 0 < α < 1. Число 2 ε называется длиной доверительного интервала несмещённой оценки A_n числовой характеристики случайной величины соответствующего доверительной вероятности α, если вероятность того, что - ε ≤ A_n – a < ε равна α. Когда серединой доверительного интервала считают оценку A_n, число α равно вероятности того, что интервал ] A_n – ε, A_n + ε ] накрывает число a, если же серединой доверительного интервала считать точное значение a, то α равно вероятности того, что несмещённая оценка A_n попадает в интервал [ a – ε, a + ε [.

 

Будем предполагать, что случайные величины X ₁, X ₂,..., X_n взаимно независимы и имеют ту же функцию распределения, что и случайная величина X. В силу центральной предельной теоремы выборочное среднее (X ₁ + X ₂ +...+ X_n) / n можно заменить случайной величиной N, распределённой по нормальному закону с параметрами (m, σ n ^-1/2), где m – математическое ожидание случайной величины X, σ – её квадратичное отклонение. Неравенства - ε ≤ N – m < ε и

 

(- ε) / (σ n ^-1/2) ≤ (N – m) / (σ n ^-1/2) < ε / (σ n ^-1/2)

 

 

эквивалентны, следовательно,

 

 

p (- ε ≤ N – m < ε) = p (- ε / (σ n ^-1/2) ≤ (N – m) / (σ n ^-1/2) < ε / (σ n ^-1/2)) = p ((N – m) / (σ n ^-1/2) < ε / (σ n ^-1/2)) - p ((N – m) / (σ n ^-1/2) < - ε / (σ n ^-1/2)).

 

 

Случайная величина (N – m) / (σ n ^-1/2) распределена по нормальному закону с параметрами (0, 1), поэтому

уменьшаемое и вычитаемое в правой части равенства выражаются в виде определённых интегралов функции

 

exp (- t ² / 2) / (2 π)^½,

 

пределами интегрирования в первом интеграле служат точки - ∞ и ε / (σ n ^-1/2), а во втором - точки - ∞ и - ε / (σ n ^-1/2). Отсюда вытекает, что

 

 

p (- ε ≤ N – m < ε) = (2 π)^-½ _{[ - s, s ]} exp (- t ² / 2) dt

 

где s = ε / (σ n ^-1/2) = ε n ^1/2 / σ.

 

Функция

 

erf (z) = 2 π-½ _{[ 0, z ]} exp (- t ²) dt

 

называется функцией ошибок (error function). Таким образом,

 

p (- ε ≤ (X ₁ + X ₂ +...+ X_n) / n – m < ε) = erf (ε (n / 2)^1/2 / σ).

 

Задание. Докажите, что

 

p (- ε ≤ (X ₁ + X ₂ +...+ X_n) / n – m < ε) = erf (ε (n / 2)^1/2 / σ).