Будем считать, что опыт состоит из бесконечного множества испытаний, перенумерованных числами 1, 2, 3,... В каждом испытании измеряется значение случайной величины X. Таким образом, с опытом связана последовательность случайных величин X 1, X 2,...: значение случайной величины Xk в результате опыта равно значению, которое принимает случайная величина X в k -м испытании данного опыта.
Случайная величина
Mn (X) = (X 1 + X 2 +...+ Xn) / n
называется выборочным средним, а случайная величина
Dn (X) = ((X 1 - Mn (X))2 + (X 2 - Mn (X))2 +...+ (Xn - Mn (X))2) / (n – 1)
называется несмещённой оценкой дисперсии случайной величины X (оценка числовой характеристики случайной величины считается несмещённой в том случае, когда её математическое ожидание совпадает с точным значением соответствующей числовой характеристики случайной величины X). В учебниках по математической статистике приводятся формулы для вычисления несмещённых оценок различных числовых характеристик случайной величины.
Пусть a – точное значение числовой характеристики случайной величины X, An - её несмещённая оценка, ε – положительное число, 0 < α < 1. Число 2 ε называется длиной доверительного интервала несмещённой оценки An числовой характеристики случайной величины соответствующего доверительной вероятности α, если вероятность того, что - ε ≤ An – a < ε равна α. Когда серединой доверительного интервала считают оценку An, число α равно вероятности того, что интервал ] An – ε, An + ε ] накрывает число a, если же серединой доверительного интервала считать точное значение a, то α равно вероятности того, что несмещённая оценка An попадает в интервал [ a – ε, a + ε [.
Будем предполагать, что случайные величины X 1, X 2,..., Xn взаимно независимы и имеют ту же функцию распределения, что и случайная величина X. В силу центральной предельной теоремы выборочное среднее (X 1 + X 2 +...+ Xn) / n можно заменить случайной величиной N, распределённой по нормальному закону с параметрами (m, σ n -1/2), где m – математическое ожидание случайной величины X, σ – её квадратичное отклонение. Неравенства - ε ≤ N – m < ε и
(- ε) / (σ n -1/2) ≤ (N – m) / (σ n -1/2) < ε / (σ n -1/2)
эквивалентны, следовательно,
p (- ε ≤ N – m < ε) = p (- ε / (σ n -1/2) ≤ (N – m) / (σ n -1/2) < ε / (σ n -1/2)) = p ((N – m) / (σ n -1/2) < ε / (σ n -1/2)) - p ((N – m) / (σ n -1/2) < - ε / (σ n -1/2)).
Случайная величина (N – m) / (σ n -1/2) распределена по нормальному закону с параметрами (0, 1), поэтому
уменьшаемое и вычитаемое в правой части равенства выражаются в виде определённых интегралов функции
exp (- t 2 / 2) / (2 π)½,
пределами интегрирования в первом интеграле служат точки - ∞ и ε / (σ n -1/2), а во втором - точки - ∞ и - ε / (σ n -1/2). Отсюда вытекает, что
p (- ε ≤ N – m < ε) = (2 π)-½ 
[ - s, s ] exp (- t 2 / 2) dt
где s = ε / (σ n -1/2) = ε n 1/2 / σ.
Функция
erf (z) = 2 π-½ [ 0, z ] exp (- t 2) dt
называется функцией ошибок (error function). Таким образом,
p (- ε ≤ (X 1 + X 2 +...+ Xn) / n – m < ε) = erf (ε (n / 2)1/2 / σ).
Задание. Докажите, что
p (- ε ≤ (X 1 + X 2 +...+ Xn) / n – m < ε) = erf (ε (n / 2)1/2 / σ).
