Параметрически заданные функции

Подмножество

Определение: Множество Х является подмножеством Y, если любой элемент множества Х принадлежит множеству Y. Это еще называется нестрогим включением. Некоторые свойства подмножества:

1. ХÍХ - рефлективность

2. X Í Y & YÍZ ® X Í Z - транзитивность

3. Æ Í X т.е. пустое множество является подмножеством любого множества.Универсальное множество Определение: Универсальное множество — это такое множество, которое состоит из всех элементов, а так же подмножеств множества объектов исследуемой области, т.е.

1. Если М Î I, то М Í I

2. Если М Î I, то Ώ(М) Í I, где под Ώ(М) — понимаются все возможные подмножества М, или Булеан М.

Универсальное множество обычно обозначается I.

Универсальное множество может выбираться самостоятельно, в зависимости от рассматриваемого множества, и решаемых задач.

Способы задания множеств:

1. путем перечисления его элементов. Обычно перечислением задают конечные множества.

2. путем описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Если мы задаем множество каким-либо свойством, потом может оказаться, что этим свойством обладает всего лишь один объект или вообще такого объекта нет. Данный факт может быть совсем не очевиден.

Тема 2.3 Операции над множествами.

Теперь определим операции над множествами.

Пересечение множеств.

Определение: Пересечением множеств Х и У называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат и множеству Х и множеству У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} пересечением {2,4}

Определение: Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.е. их пересечение равно пустому множеству.

Например: непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих.

Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих одновременно всем множествам.

Свойства пересечения:

1. X∩Y = Y∩X - коммутативности

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - ассоциативности

3. X∩Æ = Æ

4. X∩ I = Х

Объединение множеств

Определение: Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} объединением {1,2,3,4,6}

Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Свойства объединения:

1. XUY= YUY- коммутативности

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - ассоциативности

3. XUÆ = X

4. XU I = I

Из свойств операций пересечения и объединения видно, что пустое множество аналогично нулю в алгебре чисел.

Разность множеств

Определение: Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения определена только для двух множеств. Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} разность {1,3}

Как мы уже видели, роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Определим множество, которое будет играть роль единицы в алгебре множеств

Дополнение множества

Дополнением множества Х называется разность I и Х.

Свойства дополнения:

1. Множество Х и его дополнение не имеют общих элементов

2.Любой элемент I принадлежит или множеству Х или его дополнению.

2 ВОПРОС Множества чисел

Натуральные числа − числа, используемые при счете (перечислении) предметов:
N={1,2,3,…}

Натуральные числа с включенным нулем − числа, используемые для обозначения количества предметов:
N0={0,1,2,3,…}

Целые числа − включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным(т.е. с отрицательным знаком) и ноль.
Целые положительные числа:
Z+=N={1,2,3,…}
Целые отрицательные числа:
Z−={…,−3,−2,−1}
Z=Z−∪{0}∪Z+={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}

Рациональные числа − числа, представляемые в виде обыкновенной дроби a/b, где a и b − целые числа и b≠0.
Q={x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0}
При переводе в десятичную дробь рациональное число представляется конечной или бесконечной периодической дробью.

Иррациональные числа − числа, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Действительные (вещественные) числа − объединение рациональных и иррациональных чисел: R

Комплексные числа
C={x+iy∣x∈Rиy∈R},
где i − мнимая единица.

Модуль действительного числа и свойства

Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Свойства модуля

1. Модули противоположных чисел равны
2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа
4. Модуль числа есть число неотрицательное
5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля	,
6. Если , то
7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей

Числовые промежутки

Окрестность точки Пусть х_о—любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (х_о-ε,х_о+ε), где ε >0, называется ε-окрестностью точки х_о. Число х_о называется центром.

3 ВОПРОС понятие функции Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом.

Переменную у называют зависимой переменной.

Способы задания функции

Табличный способ. заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х),
где f (х) - некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.

Естественная область определения функции

Область определения функции f – это множество X всех значений аргумента x, на котором задается функция.

Для обозначения области определения функции f используется краткая запись вида D(f).

явное неявное параметрическое задание функции

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Параметрически заданные функции

Связь между аргументом и функцией может быть записана через дополнительную переменную, называемую параметром, то есть в виде системы, в которой прописывается зависимость аргумента от параметра и зависимость функции от того же параметра:

, где – это параметр, .

В этом случае функция называется функцией, заданной параметрически.

График функции

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНЫ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.

Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т!=0 (называемое периодом функции у=f (х)), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Следует понимать, что если Т - период функции, то число k*T, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.

Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π.

Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.

Ограниченность функций

Функция y=f (x), определенная на множестве X, называется ограниченной сверху, если множество её значений ограниченно сверху. Иначе говоря, функция f ограничена сверху, если существует такая постоянная М, что для каждого выполняется неравенство .

Функция y=f (x), определенная на множестве Х, называется ограниченной снизу, если множество её значений ограниченно снизу, то есть если существует такая постоянная М, что для каждоговыполняется неравенство . Например, таковыми являются показательные функции, функции y=x²ⁿ, y=Öx.

Функция f (x), определенная на множестве Х, называется ограниченной, если множество её значений ограниченно как сверху, так и снизу. Примерами функций, ограниченных на всей числовой прямой, являются функции y=sin x, y=cos x, y=arccos x, y=arcsin x, y=arctg x, y=arcctg x.

а) если для всех х из некоторого множества Х справедливы неравенства f(x)>M и g(x)<M, где М – некоторое число, то на множестве Х уравнение f(x)=g(x) и неравенство f(x)<g(x) решений не имеют;

б) если для всех х из некоторого множества Х справедливы неравенства f(x)³ M и g(x)£M, где М – некоторое число, то на множестве Х уравнение f(x)=g(x) равносильно системе

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x ₁ < x ₂ – корни этого уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x ₁) = f (x ₂) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.
Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f ⁿ также возрастает.
Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Основные элементарные функции

Функция	График	Свойства
			-четное Четная. Возрастает при . Убывает при .	-нечетное Нечетная. Возрастает при
			-четное Ни четная ни нечетная. Возрастает при	-нечетное Нечетная. Возрастает при
		, Ни четная ни нечетная. Возрастает при , если убывает , если .
		, Ни четная ни нечетная. Возрастает , если . Убывает , если
		Четная. Возрастает . Убывает . Периодическая .
		Нечетная. Возрастает . Убывает . . Периодическая .
		. . Нечетная. Возрастает . Периодическая .
		Нечетная. Убывает . Периодическая .
		Нечетная. Возрастает .
		Ни четная ни нечетная. Убывает ..
		Нечетная. Возрастает
		Ни четная, ни нечетная. Убывает .

Определение. Функции, составленные из основных элементарных функций, называются элементарными, если удовлетворяют двум условиям: задаются одним аналитическим выражением в области определения; представляют результат конечного числа алгебраических операций и операций взятия функции от функции.

Вопрос.

Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах² + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax²+ bx +с =0

Функция вида (a, b, c, d – некоторые постоянные) называется дробно-линейной. а, b, с, d - постоянные, причем (иначе мы имели бы линейную функцию) и (иначе произошло бы сокращение и мы получили бы постоянную функцию).

y=lxl f(x)<=0 для любого x.
график симметричен относительно оси ординат

Вопрос.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение .

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z (y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у (х), то функция f (x) = z (y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

Элементарные функции

· Трансцендентные

· Алгебраические

o Иррациональные

o Рациональные

§ Целые рациональные

§ Дробные рациональные

Итак, по приведенной классификации элементарные функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраические функции.

Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.

Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.

Например, функция является алгебраической.

Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.

Рациональные функции.

Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).

Пример целой рациональной функции: .

Пример дробно-рациональной функции: .

ПРИМЕЧАНИЕ:

Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, - целая рациональная функция, а не иррациональная.

Иррациональные функции.

Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Примером может являться функция .

Трансцендентные функции.

Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

К примеру, - трансцендентная функция.

Вопрос.

Функция натурального аргумента где (чем не функция).
По определению, функция непрерывна в a, если:

Ни одна точка, не будет являтся точкой сгущения ee области определения. Следовательно, ни в одной точке данная функция не будет иметь предела. Следовательно, она будет разрывна в каждой точке.

Функции, область определения которых является множеством натуральных чисел или его частью, называются числовыми последовательностями.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,

Определение

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого ,

Или,

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого ,

12.

Последовательность называется сходящейся, если существует такое число такое, что последовательность является бесконечно малой последовательностью. Обратное-расходящиеся.

Свойство 1. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела:

Свойство 2. Если существуют конечные пределы последовательностей и , то

Свойство 3. Если существуют конечные пределы последовательностей и , то

13. Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть – неубывающая последовательность и – точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числа можно указать такой элемент , что и . Эти два неравенства равносильны неравенству или . Так как – неубывающая последовательность, то при выполняется или . Это означает, что при выполняется или . Таким образом, . Аналогично доказывается случай, когда – невозрастающая последовательность.

Число е является основанием натурального логарифма:

Данное число есть предел выражения при условии, что стремится к бесконечности:

- второй замечательный предел.

14. Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:

Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство: