Вычисление определителей второго порядка.

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц есть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства сложения матриц:

1. 1.коммутативность: A+B = B+A;

2. 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

3. 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

4. 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

 

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , — , то размерность их произведения есть .

Свойства умножения матриц:

a. 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

b. 2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;

c. 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

d. 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

e. 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

 

Линейные комбинации

В векторном пространстве линейной комбинацией векторов называется вектор

где — коэффициенты разложения:

1. если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,
2. если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение матриц и терминах линейных комбинаций:

1. столбцы матрицы — это линейные комбинации столбцов матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы ;
2. строки матрицы — это линейные комбинации строк матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы .

 

Вычисление определителей второго порядка.

Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

 

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.

 

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

 

+ + - - -

Основные свойства определителей:

1. Опр-ль не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами.

2. Опр-ль изменит знак на противоположный, если переставить местами любые 2 строки(2 столбца) определителя.

3. Общий множитель элементов какой-либо строки(столбца) можно вынести за знак определителя.

4. Опр-ль равен нулю, если содержит нулевую строку(столбец), две одинаковые или противоположные строки(столбца).

5. Опр-ль не изменится, если к какой-либо строке(столбцу)прибавить другую строку(столбец) умноженное на любое число.

6. Опр-ль треугольного вида равен произведению диагональных элементов.

 

 

7.Метод Крамера для решения СЛАУ и условия их применимости

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

- определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

8 Метод Гаусса решения СЛАУ и условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛАУ по методу Гаусса.

метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Достоинства метода:

a) менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;

b) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

c) позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.

9 Преобразования СЛАУ, выполняемые методом Гаусса (можно на примере). Нахождение общего решения СЛАУ. Частные решения СЛАУ.

 

1) из элементов строки 2 вычитаем элементы строки 1, умноженные на 2;
2) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1;
3) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2;
Как видно, система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:
, откуда находим .
Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:

, откуда находим .
Подставим, ранее найденное, значение переменной

, или .
Итак, общее решение исходной системы уравнений есть

где и - свободные переменные.
Вы можете получить частное решение данной системы, выбрав для свободных переменных произвольные значения.

10 Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Δ=detА не равен нулю:Δ=detА≠0. В противном случае (Δ=0) матрица А называется вырожденной.

квадратная матрица называется вырожденной, если строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая две одинаковые строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица.

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие A*A^-1=A^-1*A=E где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.