Сложение матриц
Складывать можно только матрицы одинакового размера.
Сложение матриц 
есть операция нахождения матрицы 
, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц 
и 
, то есть каждый элемент матрицы равен
Свойства сложения матриц:
1. 1.коммутативность: A+B = B+A;
2. 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);
3. 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;
4. 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: 
, реже со знаком умножения 
) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность 
, — 
, то размерность их произведения 
есть 
.
Свойства умножения матриц:
a. 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);
b. 2.некоммутативность (в общем случае): AB 
BA;
c. 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;
d. 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
e. 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
Линейные комбинации
В векторном пространстве линейной комбинацией векторов 
называется вектор
где 
— коэффициенты разложения:
- если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,
- если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.
Это позволяет описать произведение 
матриц и терминах линейных комбинаций:
- столбцы матрицы — это линейные комбинации столбцов матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы ;
- строки матрицы — это линейные комбинации строк матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы .
Вычисление определителей второго порядка.
Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:
Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.
Вычисление определителей третьего порядка.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:
+ 
+ 
- 
- 
- 
Основные свойства определителей:
1. Опр-ль не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами.
2. Опр-ль изменит знак на противоположный, если переставить местами любые 2 строки(2 столбца) определителя.
3. Общий множитель элементов какой-либо строки(столбца) можно вынести за знак определителя.
4. Опр-ль равен нулю, если содержит нулевую строку(столбец), две одинаковые или противоположные строки(столбца).
5. Опр-ль не изменится, если к какой-либо строке(столбцу)прибавить другую строку(столбец) умноженное на любое число.
6. Опр-ль треугольного вида равен произведению диагональных элементов.
7.Метод Крамера для решения СЛАУ и условия их применимости
ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель 
системы 
линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля 
то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
- определители, образованные с заменой 
-го столбца, столбцом из свободных членов.
Если 
, а хотя бы один из 
отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же 
, то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.
8 Метод Гаусса решения СЛАУ и условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛАУ по методу Гаусса.
метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Достоинства метода:
a) менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;
b) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;
c) позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.
Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.
9 Преобразования СЛАУ, выполняемые методом Гаусса (можно на примере). Нахождение общего решения СЛАУ. Частные решения СЛАУ.
1) из элементов строки 2 вычитаем элементы строки 1, умноженные на 2;
2) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1;
3) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2;
Как видно, система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:
, откуда находим 
.
Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:
, откуда находим 
.
Подставим, ранее найденное, значение переменной 
, или 
.
Итак, общее решение исходной системы уравнений есть
где 
и 
- свободные переменные.
Вы можете получить частное решение данной системы, выбрав для свободных переменных произвольные значения.
10 Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.
Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:
A·A-1 = A-1·A = E
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Δ=detА не равен нулю:Δ=detА≠0. В противном случае (Δ=0) матрица А называется вырожденной.
квадратная матрица называется вырожденной, если строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая две одинаковые строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица.
Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие A*A-1=A-1*A=E где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А.
