Вещественное число отображается точкой М(х)с координатой “x” на числовой прямой (ЧП): óM(x).

Методические пособияпо курсу (библиотека ЛЭТИ).

Бондарев А.С., Червинская Н.М.. Линейная алгебра в примерах и задачах: Учебное пособие. - СПбГЭТУ «ЛЭТИ»,2002.

Белопольский А.Л., Бодунов Н.А., Червинская Н.М. Типовые расчеты по курсу „Алгебра и геометрия “: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2008.

3. Колбина С.А., Пилюгин С.Ю.. Линейная алгебра: Учебное пособие.- СПбГЭТУ«ЛЭТИ»,2009.

4. Настольный справочник инженера:
Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. «Наука»

======================================

Самостоятельная работа - «Типовые расчёты» по каждому разделу курса. [Выдача –(2недели)-Отчёт]→Исправления→ ЗАЧЁТ

Отчёт по ТР (предпочтительно в тонкой школьной тетрадке) включает:

1) Титульный лист («ТР по теме …; вариант № …; студент …. гр. …»)
2) Вариант + текст «Задание».
3) Метод (алгоритм) ↑решения задачи: используемые при выполнении работы
определения, свойства, формулы.
4) Выполнение работы(в соответствии с «Заданием»).
5) РЕЗУЛЬТАТЫ ( в соответствии с «Заданием»): численные результаты
представляются в форме: х =√3 или х≈1.732(3 верные значащие цифры мантиссы).
6) « Исправление » незачтенной части Отчёта: Исправление, дата→ выполнение всей
части работы → соответствующий РЕЗУЛЬТАТ → ЗАЧЁТ!

ТР: [Выдача –(2недели) - Отчёт]→ → ЗАЧЁТ (до 30.12)

Предисловие - Элементы «математической символики».

Пусть А(х), В(х) – утверждения о «х».

1) Символ “ ⇒ ” «импликация»: A(х) ⇒ B(х) – « из А(х) следует В(х) ≡ если верно А (х), то верно В (х) »

2) Символ “ ó ” «эквивалентность, равносильность»: A(х) ó B(х) – « А(х) и В(х) эквивалентны»:

3) Символ “ ” «И, ОДНОВРЕМЕННО»: А (х) В (х) - « А(х) И В(х) одновременно» А В ó ;

4) Символ “ ” «дизъюнкция, ИЛИ»: А В - « А ИЛИ В, имеет место хотя бы одно» … А(х) В(х) ó

5) Символ “ ” «для любого»: « - для всякого (каким бы ни было) «х» верно А(х)»

6) Символ “ ” «существует, найдётся»:« - существует(найдется) такое «х»,для которого верно А(х)»
«∄» «не существует»

7) Символ “ ” «существует единственное»:« существует единственное «х» такое, что верно А(х)»

Глава I“ МНОЖЕСТВА”.

Символика и операции.

Понятие множества (синонимы- совокупность, система, набор …) является исходным (аксиома-
тическим) понятием.

Запись A={a:F(a)} – множество « A» элементов « a», удовлетворяющих «условию принадлежности F(a) ». Числовые множества могут быть заданы перечислением элементов, формулой, уравнением, неравенством, их системами. Множество может быть пустым (не содержит ни одного элемента), конечным и бесконечным.

Пустое множество обозначают символом .
Пусть A={a:F(a)}. Символы обозначают принадлежность/непринадлежность элемента множеству: F(b) ⇒ b∊A- «a принадлежит(является элементом ) A»; - «b не принадлежит(не является элементом ) множества A». Элементами множества в курсе могут быть числа, векторы, матрицы, функции, множества.

Например,
1) Множество A={1,2,{3,4}} содержит 3 элемента: .
2) B={b_n=b₁∙qⁿ^-1; q≠0 ∧ n=1,2,…} – бесконечное множество членов геометрической прогрессии со знаменателем q.
3) X={x: x²+x-2=0)} = {1,-2} – множество решений уравнения.
X={x: x²+1=0} =
4) С={(a,b): a,b {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ∧ a≠0} – множество упорядоченных пар цифр – множество 90 двузначных чисел: N_C= 9(способов выбрать а )∙10(b)=90.

Известно, что для чисел определены отношения равенства «=» и сравнения – строгие «</>» и нестрогие «≤ / ≥» неравенства: 2<3 и 2≤3 (2 не больше 3 или 3 не меньше 2) и
операции сложения «+», вычитания «-» и умножения «х».

Пусть заданы множества A={a}, B={b}, С={c}. Определим для множеств:

1) отношения:
- равенство «=»: A=B ó - множества состоят из одинаковых элементов.
- включения «⊆»: А⊆B ó « А содержится в В (А является подмножествомВ)
Следствие. Очевидно, что . Можно доказать, что конечное множество с n элементами имеет 2ⁿподмножеств.

Например, множество A={1,2,{3,4} } имеет 2³ =8 подмножеств:
⌀, A, {1}, {2},{{3,4)}, {1,2}, {1,{3,4}}, {2,{3,4}} ⊆ A

2) операции:
- объединение(“сумма”) множеств «⋃»: С=A ⋃ B ó - состоит только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.
- пересечение(“произведение”)множеств «⋂»: С=A ⋂ B ó - состоит только из тех элементов, которые принадлежат обоим множествам.
- разность множеств «\»: С=A \ B ó - состоит только из тех элементов A, которые не принадлежат В.

МНОЖЕСТВO A={a: F(a)} óF(α) ==> α∊A; НЕ F((α)) ==> α∉A

A={a}, B={b}, C={c}

Включение “⊆”: A⊆B ó∀a∊A: a∊B∧; ∀b∊B: b∊A

Объединение множеств “U”: C=A⋃Bó∀c∊C: c∊A ∨ c∊B

Пересечение множеств “⋂”: C=A⋂Bó∀c∊C: c∊A ∧ c∊B

Разность множеств “\”: C=A\ Bó∀c∊C: c∊A ∧ c∊B

Иллюстрация «кругами Эйлера»: каждая точка круга – элемент множества.

BÌA || C=AÇB || C=AÈB || C=A/B

|| || ||

3) Множество A={a} называется замкнутым относительно операции (*), если результат операции для любых элементов множества принадлежит множеству

Известно, что числовые множества:
N={1,2.3,…,n,n+1,…} – множество натуральных чисел замкнуто отн. “+” и “x”, HO не “-”.

Z={0,±1, ±2,…., ±n, ±n+1,…} - множество целых чисел замкнуто отн. “+”,“x” и ”-“, HO не “

Q = - множество рациональных чисел замкнуто отн. “+”, ”-“, “x”, “ ”
х- бесконечная периодическая десятичная дробь:. (3 в.з.ц)

Иррациональные числа – числа, определяемые бесконечной непериодической десятичной дробью.

R = Q U {Ирр.} - множество вещественных чисел

Замечание. Во множестве вещественных (действительных) чисел R:

[1] определены:
- модуль числа “|a| ”: ;

- “арифметический корень натуральной степени ”.

ЭКЗ-1 Записать определение |x+3| и найти решения уравнения |x+3|= 2x-5

ЭКЗ-2 Записать определение (х+3)^1\2 и найти решения уравнения (х+3)^1\2 = 2x-5

[2] В зависимости от дискриминанта D=b²-4∙a∙c квадратноеуравнение ax²+bx+c=0 имеет либо одно, либо два решения, либо решений не имеет.

[3] не определены: деление на ноль и корень натуральной степени из отрицательного числа

Вещественное число отображается точкой М(х)с координатой “x” на числовой прямой (ЧП): óM(x).

[5] В R определены подмножества – “ интервалы”:
[a,b] = {x: a≤x≤b} – закрытый; (a,b) = {x: a<x<b} – открытый; [a,b), (a,b] – полуоткрытые

xóM(x)

[a;

(a;

Числовая прямая и интервалы в R