Известно, что арифметические действия, выполняемые компьютером в ограниченном числе разрядов, не всегда позволяют получить точный результат. Более того, мы ограничены размером (величиной) чисел, с которыми можем работать. А если нам необходимо выполнить арифметические действия над очень большими числами, например,
30! = 265252859812191058636308480000000?
В таких случаях мы сами должны позаботиться о представлении чисел в машине и о точном выполнении арифметических операций над ними.
Числа, для представления которых в стандартных компьютерных типах данных не хватает количества двоичных разрядов, называются "длинными". Реализация арифметических операций над такими "длинными" числами получила название "длинной арифметики".
Организация работы с "длинными" числами во многом зависит от того, как мы представим в компьютере эти числа. "Длинное" число можно записать, например, с помощью массива десятичных цифр, количество элементов в таком массиве равно количеству значащих цифр в "длинном" числе. Но если мы будем реализовывать арифметические операции над этим числом, то размер массива должен быть достаточным, чтобы разместить в нем и результат, например, умножения.
Существуют и другие представления "длинных" чисел. Рассмотрим одно из них. Представим наше число
30! = 265252859812191058636308480000000
в виде:
30! = 2 * (104)8 + 6525 * (104)7 + 2859 * (104) + 8121 * (104)5 + 9105 * (104)4 + 8636 * (104)3 + 3084 * (104)2 + 8000 * (104)1 + 0000 * (104)0.
Это представление наталкивает на мысль о массиве, представленном в табл. 1.
Таблица 1
| Номер элемента в массиве А | ||||||||||
| Значение |
Мы можем считать, что наше "длинное" число представлено в 10000-10 системе счисления (десятитысячно-десятичная система счисления, приведите аналогию с восьмерично-десятичной системой счисления), а "цифрами" числа являются четырехзначные числа.
Возникают вопросы. Что за 9 в А [0], почему число хранится "задом наперед"? Ответы очевидны, но подождем с преждевременными объяснениями. Ответы на вопросы будут ясны из текста.
Примечание. Мы работаем с положительными числами!
Первая задача. Ввести "длинное" число из файла. Решение задачи начнем с описания данных.
Const MaxDig = 1000; {Максимальное количество цифр — четырехзначных!} Osn = 10000; {Основание нашей системы счисления, в элементах массива храним четырехзначные числа} Type Tlong = Array[0..MaxDig] Of Integer; {Максимальное количество десятичных цифр в нашем числе}Алгоритм ввода "длинного" числа из файла рассмотрим на конкретном примере.
Пусть в файле записано число 23851674 и основанием (Osn) является 1000 (храним по три цифры в элементе массива А). Изменение значений элементов массива А в процессе ввода (посимвольного в переменную Ch) отражено в табл. 2.
Таблица 2
| А[0] | А[1] | А[2] | А[3] | Ch | Примечание |
| - | Конечное состояние | ||||
| Начальное состояние | |||||
| 1-й шаг | |||||
| 2-й шаг | |||||
| 3-й шаг | |||||
| 4-й шаг: старшая цифра элемента А [1] перешла в пока "пустой" элемент А[2] | |||||
| 5-й шаг | |||||
| 6-й шаг | |||||
| 7-й шаг | |||||
Проанализируем таблицу (и получим ответы на поставленные выше вопросы).
1. В А[0] храним количество задействованных (ненулевых) элементов массива А — это уже очевидно.
2. При обработке каждой очередной цифры входного числа старшая цифра элемента массива с номером i становится младшей цифрой числа в элементе i + 1, а вводимая цифра будет младшей цифрой числа из А[1]. В результате работы нашего алгоритма мы получили число, записанное "задом наперед".
Примечание (методическое): Можно ограничиться этим объяснением и разработку процедуры вынести на самостоятельное задание. Можно продолжить объяснение. Например, выписать фрагмент текста процедуры перенос старшей цифры из A[i] в младшую цифру А[i+1], т.е. сдвиг уже введенной части числа на одну позицию вправо:
Пусть мы вводим число 23851674 и первые 6 цифр уже разместили "задом наперед" в массиве А. В символьную переменную считали очередную цифру "длинного" числа — это "7". По нашему алгоритму эта цифра "7" должна быть размещена младшей цифрой в А[1]. Выписанный фрагмент программы "освобождает" место для этой цифры. В таблице отражены результаты работы этого фрагмента.
| i | А[1] | А[2] | А[3] | ch |
После этого остается только добавить текущую (считанную в ch) цифру "длинного" числа к А[1] и изменить значение А[0].
В конечном итоге процедура должна иметь следующий вид:
Procedure ReadLong(Var A: Tlong); Var ch: char; i: Integer; Begin FillChar(A, SizeOf(A), 0); Read(ch); While Not(ch In ['0'..'9']) Do Read(ch); {пропуск не цифр во входном файле} While ch In ['0'..'9'] Do Begin For i:= A[0] DownTo 1 Do Begin {"протаскивание" старшей цифры в числе из A[i] в младшую цифру числа из A[i+l]} A[i+l]:= A[i+l] + (LongInt(A[i]) * 10) Div Osn; A[i]:= (LongInt(A[i]) * 10) Mod Osn End; A[1]:= A[l] + Ord(ch) - Ord('0'); {добавляем младшую цифру к числу из А[1]} If A[A[0]+1] > 0 Then Inc(A[0]); {изменяем длину, число задействованных элементов массива А} Read(ch) End End;Вторая задача. Вывод "длинного" числа в файл или на экран.
Казалось бы, нет проблем — выводи число за числом. Однако в силу выбранного нами представления "длинного" числа мы должны всегда помнить, что в каждом элементе массива хранится не последовательность цифр "длинного" числа, а значение числа, записанного этими цифрами. Пусть в элементах массива хранятся четырехзначные числа. Тогда "длинное" число 128400583274 будет в массиве А представлено следующим образом:
| A[0] | A[1] | A[2] | A[3] |
При выводе "длинного" числа из массива нам необходимо вывести 0058, иначе будет потеря цифр. Итак, незначащие нули также необходимо выводить. Процедура вывода имеет вид:
Procedure WriteLong(Const A: Tlong); Var ls, s: String; i: Integer; Begin Str(Osn Div 10, Is); Write(A[A[0]]; {выводим старшие цифры числа} For i:= A[0] - l DownTo 1 Do Begin Str(A[i], s); While Length(s) < Length(Is) Do s:= '0' + s; {дополняем незначащими нулями} Write(s) End; WriteLn End;Третья задача. Предварительная работа по описанию способа хранения, вводу и выводу "длинных" чисел выполнена.
У нас есть все необходимые "кирпичики", например, для написания программы сложения двух "длинных" положительных чисел. Исходные числа и результат храним в файлах. Назовем процедуру сложения SumLongTwo.
Тогда программа ввода двух "длинных" чисел и вывода результата их сложения будет иметь следующий вид:
Var A, B, C: Tlong; Begin Assign(Input, 'Input.txt'); Reset(Input); ReadLong(A); ReadLong(B); Close(Input); SumLongTwo(A, B, C); Assign(Output, 'Output.txt'); Rewrite(Output); WriteLong(C); Close(Output) End.Алгоритм процедуры сложения можно объяснить на простом примере. Пусть А = 870613029451, В = 3475912100517461.
| i | A[i] | B[i] | C[1] | C[2] | C[3] | C[4] |
Алгоритм имитирует привычное сложение столбиком, начиная с младших разрядов. И именно для простоты реализации арифметических операций над "длинными" числами используется машинное представление "задом наперед".
Результат: С = 3476782713546912.
Ниже приведен текст процедуры сложения двух "длинных" чисел.
Procedure SumLongTwo(A, B: Nlong; Var C: Tlong); Var i, k: Integer; Begin FillChar(C, SizeOf (C), 0); If A[0] > B[0] Then k:= A[0] Else k: =B[0]; For i:= l To k Do Begin С [i+1]:= (C[i] + A[i] + B[i]) Div Osn; C[i]:= (C[i] + A[i] + B[i]) Mod Osn {Есть ли в этих операторах ошибка?} End; If C[k+l] = 0 Then C[0]:= k Else C[0]:= k + l End;Четвертая задача. Реализация операций сравнения для "длинных" чисел (А = В, А < В, А > В, А <= В, А >= В).
Function Eq(A, B: TLong): Boolean; Var i: Integer; Begin Eq:= False; If A[0] <> B[0] Then Exit Else Begin i:= l; While (i <= A[0]) And (A[i] = B[i]) Do Inc(i); Eq:= i = A[0] + l End End;Реализация функции А > В также прозрачна.
Function More(A, B: Tlong): Boolean; Var i: Integer; Begin If A[0] < B[0] Then More:= False Else If A[0] > B[0] Then More:= True Else Begin i:= A[0]; While (i > 0) And (A[i] = B[i]) Do Dec(i); If i = 0 Then More:= False Else If A[i] > B[i] Then More:= True Else More:=False End End;Остальные функции реализуются через функции Eq и More.
Function Less(A, B: Tlong): Boolean; {A < B} Begin Less:= Not(More(A, B) Or Eq(A, B)) End; Function More_Eq(A, B: Tlong): Boolean; {A >= B} Begin More_Eq:= More(A, B) Or Eq(A, B) End; Function Less_Eq(A, B: Tlong): Boolean; {A <= B} Begin Less_Eq:= Not More(A, B) End;Для самостоятельного решения может быть предложена следующая, более сложная, задача. Требуется разработать функцию, которая выдает 0, если А больше В, 1, если А меньше В, и 2 при равенстве чисел. Но сравнение должно быть выполнено с учетом сдвига. О чем идет речь? Поясним на примере. Пусть А равно 56784, а В — 634. При сдвиге числа В на 2 позиции влево функция должна сказать, что В больше А, без сдвига, что А больше В. Другой пример. При А равном 56700, а В — 567 и сдвиге 2 функция должна "сказать", что числа равны. Решение может иметь следующий вид:
Пятая задача. Умножение длинного числа на короткое. Под коротким понимается целое число типа LongInt.
Процедура очень походит на процедуру сложения двух длинных чисел.
Procedure Mul(Const A: TLong; Const К: Longlnt; Var С: TLong); Var i: Integer; {результат - значение переменной С} Begin FillChar (С, SizeOf(С), 0); If K = 0 Then Inc(С[0]){умножение на ноль} Else Begin For i:= l To A[0] Do Begin C[i+l]:= (LongInt(A[i]) * K + C[i]) Div Osn; C[i]:= (LongInt(A[i])* K + C[i]) Mod Osn End; If C[A[0]+1] > 0 Then C[0]:= A[0] + 1 Else C[0]:= A[0] {определяем длину результата} End End;Шестая задача. Вычитание двух длинных чисел с учетом сдвига
Если понятие сдвига пока не понятно, то оставьте его в покое, на самом деле вычитание с учетом сдвига потребуется при реализации операции деления. В начале выясните логику работы процедуры при нулевом сдвиге.
Введем ограничение: число, из которого вычитают, больше числа, которое вычитается. Работать с "длинными" отрицательными числами мы не умеем.
Процедура была бы похожа на процедуры сложения и умножения, если бы не одно "но" — заимствование единицы из старшего разряда вместо переноса единицы в старший разряд. Например, в обычной системе счисления мы вычитаем 9 из 11 — идет заимствование 1 из разряда десятков, а если из 10000 вычитаем 9 — процесс заимствования несколько сложнее.
Procedure Sub (Var A: TLong; Const B: TLong; Const sp: Integer); Var i, j: Integer; {из А вычитаем В с учетом сдвига sp, результат вычитания в А} Begin For i:= l To B[0] Do Begin Dec(A[i+sp], B[i]); j: = i;{*} {реализация сложного заимствования} while (A[j+sp] < 0) and (j <= A[0]) Do Begin{*} Inc(A[j+sp], Osn); Dec(A[j+sp+l]); Inc(j); {*} end; {*} {Реализация простого заимствования. Если операторы, отмеченные *, заменить на нижеприведенные операторы в фигурных скобках, то, по понятным причинам, логика не будет работать при всех исходных данных. Можно сознательно сделать ошибку и предложить найти ее — принцип "обучение через ошибку"} {If A[i+sp]<0 Then Begin Inc(A[i+sp], Osn); Dec (A[i+sp+l]);End;} End; i:= A[0]; While (i > l) And (A[i] = 0) Do Dec(i); A[0]:= i {корректировка длины результата операции} End;Рекомендуется выполнить трассировку работы данной процедуры, например, для следующих исходных данных. Число А равно 100000001000000000000, число В — 2000073859998.
Седьмая задача. Деление двух длинных чисел, т.е. нахождение целой части частного и остатка.
Написать исходную (без уточнений) часть логики не составляет труда. Это:
Procedure Long_Div_Long(Const А, В: TLong; Var Res, Ost: TLong); Begin FillChar(Res, SizeOf(Res), 0); Res[0]:= 1; FillChar(Ost, SizeOf(Ost), 0); 0st[0]:= 1; Case More(A, B, 0) Of 0: MakeDel(A, B, Res, Ost); {А больше В, пока не знаем, как выполнять операцию - "выносим" в процедуру} 1: Ost:=A; {А меньше В} 2: Res[l]:= l; {А равно В} End; End;А дальше? Дальше начинаются проблемы. Делить столбиком нас научили в школе. Например,
1000143123567 |73859998 - 73859998 |---------- --------- |13541 (Целая часть частного) 261543143 - 221579994 ---------- 399631495 - 369299990 --------- 303315056 - 295439992 ---------- 78750647 - 73859998 -------- 4890649 (Остаток)Что мы делали? На каждом этапе в уме подбирали цифру (1, 3, 5 и т.д.), такую, что произведение этой цифры на делитель дает число меньшее, но наиболее близкое к числу... Какому? Это трудно сказать словами, но из примера ясно. Зачем нам это делать в уме, пусть делает компьютер. Однако упростим пример, оставим его для тестирования окончательной логики процедуры, тем более что и числа "длинные". Пусть число А будет меньше В * 10, тогда в результате (целой части деления) будет одна цифра. Например, А равно 564, а В — 63 и простая десятичная система счисления. Попробуем подобрать цифру результата, но не методом прямого перебора, а методом деления отрезка пополам. Пусть Down — верхняя граница интервала изменения подбираемой цифры, Up — нижняя граница интервала, Ost равен делимому.
| Down | Up | С = В * ((Down + Up) Div 2) | Ost = 564 |
| 315 = 63 * ((0 + 10) Div 2) | C < Ost | ||
| 441 = 63 * ((5 + 10) Div 2) | C < Ost | ||
| 504 = 63 * ((7 + 10) Div 2) | C < Ost | ||
| 567 = 63 * ((8 + 10) Div 2) | C > Ost | ||
| 504 = 63 * ((8 + 9) Div 2) | C < Ost |
Итак, результат — целая часть частного — равен (Up + Down) Div 2, остаток от деления — разность между значениями Ost и С. Нижнюю границу (Down) изменяем, если результат (С) меньше остатка, верхнюю (Up), — если больше.
Усложним пример. Пусть А равно 27856, а В — 354. Основанием системы счисления является не 10, а 10000.
| Down | Up | С | Ost = 27856 |
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C < Ost | |||
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C > Ost | |||
| C < Ost |
Целая часть частного равна 78, остаток от деления — 27856 минус 27612, т.е. 244.
Пора приводить процедуру. Используемые "кирпичики": функция сравнения чисел (More) с учетом сдвига и функция умножения длинного числа на короткое (Mul) описаны выше.
Function FindBin(Var Ost: Tlong; Const В: TLong; Const sp: Integer): Longint;Var Down, Up: Word; C: TLong;Begin Down:= 0;Up:= 0sn; {основание системы счисления} While Up - l > Down Do Begin {Есть возможность преподавателю сделать сознательную ошибку. Изменить условие цикла на Up>Down. Результат - зацикливание программы.} Mul(В, (Up + Down) Div 2, С); Case More(Ost, C, sp) Of 0: Down:= (Down + Up) Div 2; 1: Up:= (Up + Down) Div 2; 2: Begin Up:= (Up + Down) Div 2; Down:= Up End; End; End; Mul(B, (Up + Down) Div 2, C); If More (Ost, C, 0) = 0 Then Sub(Ost, C, sp) {находим остаток от деления} Else begin Sub (C, Ost, sp); Ost:= C end; FindBin:= (Up + Down) Div 2; {целая часть частного}End;Осталось разобраться со сдвигом, значением переменной sp в нашем изложении. Опять вернемся к обычной системе счисления и попытаемся разделить, например, 635 на 15. Что мы делаем? Вначале делим 63 на 15 и формируем, подбираем в уме первую цифру результата. Подбирать с помощью компьютера мы научились. Подобрали — это цифра 4, и это старшая цифра результата. Изменим остаток. Если вначале он был 635, то сейчас стал 35. Вычитать с учетом сдвига мы умеем. Опять подбираем цифру. Вторую цифру результата. Это цифра 2 и остаток 5. Итак, результат (целая часть) 42, остаток от деления 5. А что изменится, если основанием будет не 10, а 10000? Логика совпадает, только в уме считать несколько труднее, но ведь у нас же есть молоток под названием компьютер — пусть он вбивает гвозди.
Procedure MakeDel(Const А, В: TLong; Var Res, Ost: TLong);Var sp: Integer;Begin Ost:= A; {первоначальное значение остатка} sp:= А[0] - В[0]; If More(А, В, sp) = l Then Dec(sp); {B * Osn > A, в результате одна цифра} Res[0]:= sp + l; While sp >= 0 Do Begin {находим очередную цифру результата} Res[sp + 1]:= FindBin(Ost, B, sp); Dec(sp) EndEnd;Методические рекомендации. Представленный материал излагается на четырех занятиях по известной схеме: 10-15-минутное изложение идей, а затем работа учащихся под руководством преподавателя.
1-е занятие. Ввод, вывод и сложение длинных чисел (задачи 1, 2, 3).
2-е занятие. Функции сравнения (задача 4).
3-е занятие. Умножение и вычитание длинных чисел (задачи 5, 6).
4-е занятие. Деление длинных чисел (задача 7). Безусловно, эта схема не догма. В зависимости от уровня подготовки учащихся на самостоятельное выполнение может быть вынесена значительная часть материала. Замечу только, что в силу сложившейся традиции в ряде случаев допускаются при изложении сознательные ошибки. В результате работы каждый учащийся должен иметь собственный модуль для работы с "длинными" числами.
Темы для исследований
1. Решение задач: поиск наибольшего общего делителя двух "длинных" чисел; поиск наименьшего общего кратного двух "длинных" чисел; извлечение квадратного корня из "длинного" числа и т.д.
2. "Длинные" числа могут быть отрицательными. Как изменятся описанные выше операции для этого случая?
3. Для хранения "длинных" чисел используется не массив, а стек, реализованный с помощью списка. Модифицировать модуль работы с "длинными" числами.
Вычисление степени
При возведении целого числа в неотрицательную степень обычно используют определение степени, т.е. в цикле многократно умножают число на себя. Однако для длинных чисел этот алгоритм не является эффективным. Поэтому целесообразно использовать алгоритмы меньшей сложности, например, описаный ниже.
(Из книги А. Шеня "Программирование: теоремы и задачи".) Дано целое число а и целое неотрицательное число n. Вычислить а в степени n. Другими словами, необходимо составить программу, при исполнении которой значения переменных а и n не меняются, а значение некоторой другой переменной (например, b) становится равным а в степени n. (При этом разрешается использовать и другие переменные.) Требуется, чтобы число действий (выполняемых операторов присваивания) было порядка log2 n (то есть не превосходило бы C * log2 n для некоторой константы C; log2 n — это степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить n).
Решение.
k:= n; b:= 1; c:= a; {a в степени n = b * (c в степени k)} while k <> 0 do begin if k mod 2 = 0 then begin k:= k div 2; c:= c * c end else begin k:= k - 1; b:= b * c end end;Каждый второй раз (не реже) будет выполняться первый вариант оператора выбора (если k нечетно, то после вычитания единицы становится четным), так что за два цикла величина k уменьшается по крайней мере вдвое.
Правило извлечения квадратного корня из натурального числа
(Из книги Гусева В.А., Мордковича А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1990. — 416 с.)
Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа m, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться следующим правилом.
1. Разобьем число m на грани (справа налево, начиная с последней цифры), включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следует учесть, что если m состоит из четного числа цифр, то в первой (слева) грани будет две цифры; если же число m состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает количество цифр результата.
2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра — первая цифра результата.
3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число A. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую наибольшую цифру x, чтобы произведение числа 
(запись означает 10 * a + x) на x не превосходило числа А. Цифра x — вторая цифра результата.
4. Произведение числа на x вычтем из числа A, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число B. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую наибольшую цифру y, чтобы произведение числа 
на y не превосходило числа B. Цифра y — третья цифра результата.
Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань.
Пример. Вычислить 
Решение. Разобьем число на грани: 13'83'84 — их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как 32 < 13, тогда как 42 > 13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим A = 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим a = 6. Подберем теперь такую наибольшую цифру x, чтобы произведение двузначного числа на x было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как 67 * 7 = 469 — это меньше 483, тогда как 68 * 8 = 544 — это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7.
Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим b = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т.е. число 37, получим B = 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру y, чтобы произведение трехзначного числа на y не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как 742 * 2 = 1484. Цифра 2 — последняя цифра результата. В ответе получили 372.
Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность.
Реализовать набор подпрограмм для работы с длинными неотрицательными целыми числами (числами, выходящими за диапазон допустимых значений любого целого типа): 1) сложение; 2) вычитание; 3) умножение; 4) нахождение частного и остатка от деления одного числа на другое; 5) функции, реализующие операции отношения (равно, не равно, больше или равно, меньше или равно, больше, меньше).
Длинное число представить следующим типом:
Type Tsifra = 0..9; Chislo = Array[1..1000] Of Tsifra;Примечание. Набор подпрограмм можно реализовать в виде отдельного модуля.
Реализовать набор подпрограмм для работы с длинными произвольными целыми числами (числами, выходящими за диапазон допустимых значений любого целого типа): 1) сложение; 2) вычитание; 3) умножение; 4) нахождение частного и остатка от деления одного числа на другое; 5) функции, реализующие операции отношения (равно, не равно, больше или равно, меньше или равно, больше, меньше).
Длинное число представить следующим типом:
Type Tsifra = 0..9; Chislo = Record Znak: 0..1; {0 - "плюс", 1 - "минус"} Ch: Array [1..1000] Of Tsifra End;Примечание. Набор подпрограмм можно реализовать в виде отдельного модуля.
