Задачи как средство обучения

Роль и место задач в обучении математике

Практически все обучение математике проходит в процессе решения учащимися различных математических задач.

Образовательные функции задач в обучении математике:

Виды образовательных функций	Виды задач
1. Обучающая функция – состоит в организации учебной деятельности учащихся, необходимой для формирования отдельных компонент содержания образования	Упражнения
2. Практическая функция – состоит в формировании личного опыта учащихся в осуществлении деятельности по решению различных проблем (прикладных, практических, познавательных и др.) на основе актуального уровня содержания образования.	Практические, прикладные, исследовательские, творческие задачи.
3. Воспитывающая функция – состоит в оказании корректирующих воздействий фабулы задачи и процесса ее решения на личностную сферу учащихся (эмоционально - волевую, морально-этическую, поведенческую, коммуникативную)	Воспитывающие задачи
4. Развивающая функция задач состоит в оказании влияния деятельности по решению задач на совершенствование интеллектуальных возможностей учащихся	Развивающие задачи
5. Контролирующая функция состоит в диагностических возможностях результатов решения задач (успешности решения, характера совершенных учащимися ошибок, рациональности решения, полноте и грамотности обоснования решения и др.)	Диагностические задачи

Указанные на схеме виды задач достаточно условны, так как в зависимости от места ее в учебном процессе, знаний учащихся, способа решения и методики организации работы функции задачи могут меняться.

Пример 1. Задача «Установить, слева или справа от нуля на числовой прямой и на каком расстоянии находится результат сложения чисел: а) 5+ (-7); б) - 2,13+7,2; в) » может выполнять:

· диагностическую функцию – служить средством проверки знаний и умений учащихся, связанных с использованием ________________________________________________________

__________________________________ (если задача предложена учащимся для самостоятельного решения после изучения соответствующей темы);

· обучающую функцию – служить средством вскрытия перед учащимися расширения границ собственных возможностей после ознакомления с правилом сложения чисел с разными знаками, т.к. ее решение демонстрирует учащимся __________________________________ ___________________ (если задача предложена учащимся после ознакомления с соответствующим правилом и методика работы учителя ориентирует учащихся раскрытие и использование геометрического смысла результата действия, полученного аналитически).

Выделение образовательных функций задач является отправной точкой для отбора задачного материала, выносимого на урок; определения особенностей методики работы с задачей.

По месту математических задач в методической системе, то можно выделить два вида задач: _________________________________________________________________

Ведущая функция задач первого вида – обучающая; ведущая функция задач второго вида – практическая.

Задачи как средство обучения

Задачи, привлекаемые к учебному процессу в качестве средств обучения, часто называют упражнениями. Так как в традиционном представлении процесс их решения представлялся как ___________________________________________________________

_______.

В учебном процессе образовательное значение умеют упражнения не сами по себе, а их взаимосвязанные комплексы – системы упражнений.

Def_1. Системой упражнения называется совокупность взаимосвязанных упражнений, предназначенная для достижения определенной образовательной цели посредством включения учащихся в посильную учебную деятельность адекватную процессу усвоения намеченного компонента содержания образования.

Основными требованиями, предъявляемыми к системе упражнений являются:

· целенаправленность каждого упражнения системы;

· полнота, то есть достаточность совокупности упражнений для достижения намеченной цели;

· посильность, то есть соответствие упражнений познавательным возможностям учащихся;

· преемственность в уровнях сложности компонентов системы.

Объединяя упражнения в систему, их можно рассматривать уже не только как средства обучения, но и как особую форму метода обучения (установлено в конце XIX века С.И. Шохором – Троцким ______________________________________________). Появление этого метода привело к расширению содержания термина «упражнение».

Def_2. Упражнением сегодня в ТиМОМ называется всякая математическая задача, если ее прямым продуктом является не изменения в задачной ситуации, а изменения в личности ученика (приобретение, совершенствование знаний, умений и навыков).

В число упражнений включаются и те математические задачи, которые используются в качестве средств __________ изучения нового, подведения учащихся к _______ нового, включающие учащихся в деятельность ___________ нового, раскрытия _______

___________ теоретического знания, формирование опыта ___________ деятельности, эмоционально-ценностных отношений и др.

Основными признаками упражнения, в новом их понимании, являются:

· быть носителем действий, адекватных содержанию математического образования;

· являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков;

· быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся;

· являться одной из форм реализации методов обучения;

· служить средством связи теории с практикой.

Задание 1. Пользуясь определением понятия “упражнение” и перечисленными признаками, определите, какую из данных задач можно считать упражнением:

1). Сформулировать определение понятия “расстояние между двумя фигурами”, так, чтобы определения известных понятий: “расстояние между двумя точками”, “расстояние от данной точки до прямой”, “расстояние между параллельными прямыми” и др. оказались бы его частными случаями.

2). В прямоугольном параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁ на ребре А₁В₁ взята точка Р - середина этого ребра, а на ребре АД точка Q, такая, что АQ:AД = 2:3. Считая, что АВ=АА₁ = а, АД=3а. Найти расстояние от вершины Д₁ до прямой РQ.

Система упражнений служит формой проявления практически всех общедидактических методов обучения, в которых __________________________________________

__________________ (за исключением метода «наводящих вопросов» и метода опроса).

Конструирование систем упражнений осуществляется с учетом: 1) общих этапов формирования нового элемента содержания образования в процессе психической переработки соответствующих элементов содержания обучения; 2) избранных специальных методов обучения, как определяющих логику развертывания содержания во взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся; 3) представлений об знаниевых основах и результатах формирования нового элемента содержания образования; 4) видов учебной деятельности, в которые должны быть включены учащиеся для реализации этих этапов в логике определенной специальным методам с целью достижения желаемого результата.

Пример 2. Для конструирования системы упражнений, направленной на формирование математического понятия необходимо вспомнить, что этот процесс представлен в ТиМОМ состоящим из трех этапов: __________________________________________. Результатом этого процесса должны являться:

1) сформированность чувственного образа математического понятия (предпонятия), включающего осознание мотивов его введения, знаний об объектах относящихся к понятию и не относящихся к нему, особенностях связи с предшествующими понятиями;

2) сформированность системы взаимосвязанных суждений о понятии, раскрывающих свойства, признаки понятия и связи его другими понятиями;

3) сформированность опыта использования системы суждений о понятии в различных видах деятельности.

Процесс формирования математических понятий в условиях обучения может разворачиваться в логике от ___________ к __________ или, наоборот, от _________ к его _____________. Для этого должны быть использованы конкретно-индуктивный или абстрактно-дедуктивный метод обучения (соответственно).

Из этих соображений формируются теоретические представления о составе конструируемых систем упражнений:

Этапы	Структура системы упражнений
Конкретно-индуктивной (от ___________ к __________)	Абстрактно-дедуктивной (от ___________ к ____________)
	Упражнения, воспроизводящие исторические ситуации возникновения понятий. Упражнения практического характера, показывающие недостаточность понятийного аппарата. Упражнение на поиск логической зависимости между известными понятиями и новым.	Упражнения, демонстрирующие недостаточность ранее изученных понятий. Упражнения на повторение базовых понятий для восприятия определения нового понятия.
	Упражнения на формулировку определения понятия и ее корректировку с помощью примеров и контрпримеров. Упражнения на разработку терминологии и символики соответствующей понятию. Система упражнения на выведение следствий из определения и последующих суждений о понятии.	Упражнение на распознавание объектов по определению. Упражнения на иллюстрацию определения понятия примерами. Упражнения на усвоение терминологии и символики. Упражнения на переформулировку определения понятия. Система упражнения на усвоение суждений, выводимых из определения понятия.
	Упражнения на воспроизведение определения о понятия. Упражнения на подготовку определения понятия к применению. Упражнения на применения понятия в различных ситуациях. Упражнения на переосмысление понятия с точки зрения других понятий. Упражнение на формулировку других определений понятия и доказательство их эквивалентности. Упражнения на составление родословной понятия. Упражнения на систематизацию суждений о понятии.

Эти теоретические представления затем реализуются в процессе подбора или составления задач, направленных на формирования конкретного понятия (см. семинар).

Задание 2. В школьном курсе математики реализуются различные способы ведения понятий: через определение; через описание; путем многократного переопределения. Кроме того, изучаются понятия различных уровней абстракции: понятия модельной природы, понятия являющиеся абстракцией от математических понятий модельной природы; и понятия, различающиеся по природе: понятия объекты, методы, двойственной природы. Перечислите, какие изменения необходимо внести в систему упражнений при применении ее к указанным видам понятий.

В связи с тем, что в упражнении образовательное значение имеет не результат, а процесс решения задачи, то методика работы с ним не может ограничиваться управлением деятельностью учащихся по получению результата.

Методика работы с любым упражнением должна состоять из трех этапов:

1. ____________ необходимости выполнения данного упражнения, через ознакомление учащихся с его образовательной функцией.

2. _____________________ деятельностью учащихся по выполнению упражнения.

3. ________________________________________ процесса работы с упражнением.

Пример 3. Методика работы с упражнением из примера 1 при выполнении им обучающей функции.

1. Полученное нами правило сложение чисел с противоположными знаками позволяет определять место положения результата сложения на числовой прямой без ______________

_______________. Для того, чтобы в этом убедиться решим задачу № ….

2. Пользуясь новым правилом, найдите сумму данных чисел. Что говорит о расположении на числовой прямой результата его __________ (__________)?

3. Выполняя это задание, мы узнали, что новое правило позволяет не только находить без числовой прямой сумму числа с противоположными знаками, но и определять______________ __________________ на этой прямой без __________________.

2.Задачи как предмет изучения математики

Формирование умений решать математические задачи является одной из важнейших целей обучения математике. Достижение этой цели может осуществляться в различной степени. Уровень обязательного минимума обучения решению задач составляют умения решать «стандартные» задачи, т.е. те для которых _______________________

_________________. Повышенный уровень обучения решению задач характеризуется умением решать «нестандартные задачи», т.е. те для которых ____________ (или не известны) ________________.

Правила решения стандартных задач могут быть предъявлены учащимся в различной форме: в виде словесного описания пошагового осуществления действий (алгоритма), в виде формулы, тождества, теоремы или определения.

Задание 3. Сформулируйте правила решения следующих стандартных математических задач, в том виде, в котором они предъявляются учащимся в ШКМ:

1). Представить в виде алгебраической дроби: .

2). Миша начал догонять Борю, когда расстояние между ними было 100м. Миша со скоростью 80 м/мин, а Боря – со скоростью 60 м/мин. Через сколько времени Миша догонит Борю?

3). Разложить многочлен на множители.

4). Установить, могут ли точки А (-3; 2), В (15; 6) и С (7; 3) являться вершинами треугольника?

Особенности процесса решения математических задач:

Этапы работы с задачей	Особенности их реализации при работе с
стандартной задачей	нестандартной задачей
1. Анализ условия задачи	Выделение существенных данных для распознавания вида задачи и специфических данных.	Выделение данных для создания образа задачной ситуации, облегчающего установление связей ее со стандартными задачами.
2. Поиск способа решения	Установление по виду задачи алгоритма ее решения на основе метода классификации.	Установление отношения между данной задачей и стандартными задачами (отношения эквивалентности, изоморфизма или порядка) посредство соответствующих методов поиска (метода инверсии, аналогии или формулировки вспомогательных задач).
3. Реализация найденного способа решения	Реализация найденного алгоритма, применительно к специфическим данным задачи.	Использование установленного отношения для сведения данной задачи к стандартным одним из следующих методов: методом равносильных задач, переформулировки, подзадачи. Затем для ее решения применяются известные алгоритмы.
4. Исследование результата решения задачи	Проверка правильности применения алгоритма к данным задачи.	Проверка полноты аргументации сведения данной задачи к стандартным, правильности применения алгоритмов, соответствия результатов требованию задачи и ее данным.

Наиболее трудным (образовательно-значимым) этапом работы со стандартной задачей является этап __________________________ способа решения, а нестандартной задачи – этап ________________ способа ее решения.

Обучение решению нестандартных задач может начитаться лишь тогда, когда у учащихся сформированы умения решать стандартные задачи.

Методические подходы к обучению решению задач.

Название	Суть методики	Результаты
Методика выделения “типовых задач”.	1. Все задачи подлежащие изучению классифицируются. 2. Для каждого вида задач разрабатывается типовой метод решения. 3. Формируются умения применять типовой способ решения с помощью системы упражнений по работе с алгоритмами.	Позволяет достичь ____ ___________, представленных в форме _______ ___________ задач.

 

Методика выделения “ключевых задач”	1. Во множестве задач, подлежащих изучению, выделятся “задачный базис” – система ключевых задач. 2. Умение решать ключевые задачи формируется на основе системы упражнений (1). 3. Формируется умение применять способы решения ключевых задач к задачам комбинированного типа на основе использования метода сведения к подзадачам.	Позволяет достичь ____ __________ уровня обучения представленного в виде системы нестандартных задач, являющихся комбинациями стандартных.
Методика формирования обобщенных приемов деятельности.	1. Осуществляется методологический анализ деятельности по решению задач подлежащих усвоению. 2. Приемы деятельности ранжируются по степени общности. 3. Умение применять специфические приемы деятельности формируется с помощью (1). 4. Учащиеся включаются в деятельность по решению задач, требующих применения наряду со специальными все более общих приемов.	Позволяет формировать _____________________ _____________________ _____________________по решению задач.

Основу любой из рассмотренных выше методик обучения решению задач составляет методика обучения алгоритмам осуществления математических действий.

Технологическая цепочка (методическая схема работы с алгоритмом состоит из следующих основных этапов, каждый из которых реализуется через задачи – упражнения).

Названия этапов	Содержание этапов
1. Подготовительный этап	Актуализация базовых знаний для введения алгоритма и имеющихся умений осуществлять действия входящие в состав алгоритма. Мотивация необходимости введения нового алгоритма.
2. Основной этап	Ознакомление с теоретической основной и структурой алгоритма (введение алгоритма). Формирование умений осуществлять новые шаги алгоритма. Формирование умений осуществлять новые шаги алгоритма в комплексе с ранее сформированными умениями, входящими в структуру алгоритма (пошаговая отработка алгоритма). Формирование умений применять алгоритма к решению различных задач (целостная отработка алгоритма).
Закрепление	Формирование умений применять алгоритм в сочетании с другими, ранее усвоенными алгоритмами

 

Литература: