Отже, у 2010 році обсяг платних послуг охорони здоров'я з імовірністю 0,95 буде знаходитися в інтервалі від 397,16 тис.грн. до 415,04 тис.грн.

Контрольна робота з моделювання та прогнозування

Варіант 7

 

Завдання 1

 

Групи респондентів здійснили ранжування дестабілізуючих факторів економіки:

 

Показник	Ранги, надані
промисловцями	аграріями	гуманітаріями
Податки
Тіньова економіка
Законодавство
Державний борг
Вимоги світового банку

Оцінити ступінь узгодженості думок респондентів, висновок зробіть з імовірністю 0,95

 

Розв’язок:

 

Висуваємо гіпотезу, що думки респондентів є узгодженими. Для перевірки цієї гіпотези та для оцінки ступеня узгодженості думок респондентів застосовуємо критерій Персона χ². Розраховуємо його емпіричне (фактичне) значення за формулою:

 

(Rmaх – Rmіn) ²

χ² = Σ –––––––––––––

Rmіn

 

де Rmaх – максимальний ранг по кожному показнику

Rmіn – мінімальний ранг по кожному показнику

 

 

(2 – 1)² (3 – 1)² (4 – 2)² (5 – 3)² (5 – 4)²

χ² = –––––– + ––––––– + –––––– + –––––– + ––––– = 1 + 4 +

1 1 2 3 4

 

+ 2 + 1,33 + 0,25 = 8,58

 

За таблицею критичних значень критерію Персона при імовірності 0,95 і числі ступенів волі k = n – 1 = 5 – 1 = 4 (де n = 5 –кількість показників, за якими визначалися ранги) знаходимо:

 

χ²_0,95 (5) = 9,49

Оскільки фактичне значення критерію Пірсона менше, ніж його табличне критичне значення:

 

8,58 < 9,49

 

то гіпотеза про узгодженість думок респондентів підтверджується, отже думки респондентів з імовірністю 0,95 є узгодженими.

 

Завдання 2

 

За даними матриці відстаней, використовуючи ієрархічну кластерну процедуру (алгоритм одиночного зв’язку), здійсніть класифікацію агрогосподарств за рівнем забезпеченості технікою. Побудуйте дендрограму.

 

Господарство
		1,6	2,17	1,42	1,96
	1,6		0,85	0,55	1,75
	2,17	0,85		1,03	3,13
	1,42	0,55	1,03		2,46
	1,96	1,75	3,13	2,46

 

Розв’язок:

Шукаємо мінімальну відстань між господарствами. З матриці відстаней знаходимо, що мінімальною відстанню є відстань між господарствами 2 та 4 (0,55 одиниць). Позначаємо ці господарства відповідно літерами і та k. Інші господарства позначаємо літерою s. Об’єднуємо господарства 2 та 4 в один кластер q і розраховуємо відстані від цього кластеру до інших господарств за формулою алгоритма одиночного зв’язку:

 

Сqs = 0,5 Cіs + 0,5 Cks – 0,5 (Cіs – Cks)

де Сqs – відстань між кластером q та господарством s;

Cіs – відстань між господарствами і та s;

Cks – відстань між господарствами k та s;

Сq1 = 0,5 C21 + 0,5 C41 – 0,5 (C21 – C41) = 0,5 · 1,6 + 0,5 · 1,42 – 0,5 (1,6 – 1,42) =

= 0,8 + 0,71 + 0,09 = 1,6

Сq3 = 0,5 C23 + 0,5 C43 – 0,5 (C23 – C43) = 0,5 · 0,85 + 0,5 · 1,03 – 0,5 (0,85 – 1,03) =

= 0,425 + 0,515 + 0,09 = 1,03

Сq5 = 0,5 C25 + 0,5 C45 – 0,5 (C25 – C45) = 0,5 · 1,75 + 0,5 · 2,46 – 0,5 (1,75 – 2,46) = = 0,875 + 1,23 + 0,355 = 2,46

Будуємо нову матрицю відстаней.

 

Господарство (кластер)		q
		1,6	2,17	1,96
q	1,6		1,03	2,46
	2,17	1,03		3,13
	1,96	2,46	3,13

 

Мінімальною відстанню є відстань між кластером q та господар-ством 3 (1,03 одиниць). Об’єднуємо їх у кластер q¹. Знов застосовуємо алгоритм одиночного зв’язку. Маємо:

Сq¹1= 0,5 C1q + 0,5 C13 – 0,5 (C1q – C13) = 0,5 · 1,6 + 0,5 · 2,17 – 0,5 (1,6 –

– 2,17) = 0,8 + 1,085 + 0,285 = 2,17

С q¹5 = 0,5 Cq5 + 0,5 C35 – 0,5 (C q5 – C 35) = 0,5 · 2,46 + 0,5 · 3,13 – 0,5 (2,46 –

– 3,13) = 1,23 + 1,655 + 0,425) = 3,13

Будуємо нову матрицю відстаней.

 

Господарство (кластер)		q1
		2,17	1,96
q1	2,17		3,13
	1,96	3,13

Мінімальною відстанню є відстань між господарствами 1 та 5 (1,96 одиниць). Об’єднуємо їх у кластер q¹¹. Знов застосовуємо алгоритм одиночного зв’язку. Маємо:

 

Сq¹¹ q¹ = 0,5 C q¹1 + 0,5 C3 q¹5– 0,5 (C q¹1 – C q¹5) = 0,5 · 2,17 + 0,5 · 3,13 – 0,5 (2,17 –

– 3,13) = 1,085 + 1,565 + 0,48 = 3,13

Одержали остаточну матрицю відстаней.

Господарство (кластер)	q11
q11		3,13
q1	3,13

Класифікацію агрогосподарств за рівнем забезпеченості технікою зобразимо у вигляді дендрограми:

Відстань

q ^{111 3,13}

		q 11 1,96
	q 1 1,03
	q 0,55

0 1 2 3 4 5

Господарства

 

Отже, найкраще забезпечені технікою агрогосподарства №№ 2 та 4, найгірше – агрогосподарства №№ 1 та 5

Завдання 3.

 

Динаміка обсягу платних послуг охорони здоров'я в регіоні характеризується даними:

 

Роки	Обсяг послуг, тис.грн.

 

1. Визначити характер динаміки і зробити висновок про функціональний вигляд трендового рівняння;

2. Визначте параметри цього рівняння та поясніти їх економічну суть;

3. Обчислити прогноз трендової моделі на 2010 рік;

4. Визначити похибку прогнозу та з імовірністю 95% межі довірчого інтервалу;

5. Зробіть висновки.

Розв’язок:

1. Для визначення характеру динаміки обсягу платних послуг охорони здоров'я будуємо графік фактичних рівнів обсягу платних послуг за 2003-2009 рр. Маємо:

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Характер розташування точок на графіку дає підстави припустити, що динаміка обсягу платних послуг охорони здоров'я є лінійною. Отже, тенденцію ряду динаміки можна описати лінійним трендовим рівнянням, яке має вигляд:

 

Yt = а + bt

де Yt – теоретичні рівні обсягу платних послуг охорони здоров'я у році t.

а,b – параметри лінійної трендової моделі.

 

2. Параметри а і b знаходимо методом найменших квадратів:

na + bΣt = Σ y

aΣt + bΣt² = Σ ty

 

(n = 7 – кількість років)

 

Для спрощення розрахунків переносимо початок відліку у середину ряду, тобто на 2006 рік, присвоюючи цьому року значення
t = 0. Тоді роки будуть мати такі номери:

 

2003 рік. t = – 3

2004 рік. t = – 2

2005 рік. t = – 1

2006 рік. t = 0

2007 рік. t = 1

2008 рік. t = 2

2009 рік. t = 3

 

Отже, Σt = 0, і система набуває такого вигляду:

 

na = Σ y

 

bΣt² = Σ ty

 

Σy Σ ty

Звідси а = ––––, b = –––––

n Σ t²

 

 

Розрахунки параметрів а і b будемо здійснювати у наступній таблиці:

 

Таблиця 1

Розрахунок параметрів лінійного тренду

 

Роки	Но-мер року t	Фактичний обсяг платних послуг охорони здоров'я, тис.грн. уt	t2	tу	Теоретичний обсяг платних послуг охорони здоров'я, тис.грн. Yt = 337,1 + 17,25 t	Відхилення
уt - Yt	(уt – Yt)2
2003	– 3	289	9	-867	337,1 + 17,25 (-3) = 285	4	16
2004	– 2	303	4	-606	337,1 + 17,25 (-2) = 303	0	0
2005	– 1	318	1	-318	337,1 + 17,25 (-1) = 320	-2	4
2006	0	336	0		337,1 + 17,25 · 0 = 337	-1	1
2007	1	349	1		337,1 + 17,25 · 1 = 354	-5	25
2008	2	370	4		337,1 + 17,25 · 2 = 372	-2	4
2009	3	395	9		337,1 + 17,25 · 3 = 389	6	36
Сума

 

2360 483

а = ––––– = 337,1 b = –––– = 17,25

7 28

 

Отже рівняння лінійного тренду, яке описує тенденцію динаміки обсягу платних послуг охорони здоров'я, має вигляд:

 

Yt = 337,1 + 17,25 • b

 

 

Параметри а та b мають наступний економічний зміст.

Параметр а показує середній теоретичний рівень ряду за період, що досліджується. Отже, параметр а = 337,1 означає, що середньорічний теоретичний обсяг платних послуг охорони здоров'я за 2003-2009 рр. становить 337,1 тис. грн.

Параметр b показує середню теоретичну швидкість зміни рівнів ряду. Отже, параметр b = 17,25 означає, що в середньому щорічно обсяг платних послуг охорони здоров'я за 2003-2009 рр. зростав на 17,25 тис. грн.

 

3. Обчислюємо прогноз обсяг платних послуг охорони здоров'я на 2010 рік (t = 4):

 

Y4 = 337,1 + 17,25 · 4 = 406,1 тис.грн.

 

4. З імовірністю 0,95 визначаємо граничну похибку прогнозу.

 

Δ = βSрSt

 

де β – коефіцієнт довіри (при імовірності р = 0,95 β = 1,96

Sр – стандартна похибка прогнозу

St – похибка адекватності трендової моделі

Σ (уt – Y t)²86

Sр = --------------------- = ------ = 12,29 = 3,51

n 7

 

 

n+1 3 (n + 2λ - 1)² 7+1 3 (7 + 2 · 1 – 1)² 8 3 · 64

St = ------ + ------------------ = ------ + --------------------- = ----- + --------- =

n n (n² + 1) 7 7 (7² + 1) 7 7 · 50

 

 

400+192 592

= ------------ = --------- = 1,69 = 1,3

350 350

 

(λ = 1 – рік упередження прогнозу, n = 7 – кількість років)

 

Отже, Δ = 1,96 · 3,51 · 1,3 = 8,94

 

Визначаємо межі довірчого інтервалу.

 

Ŷ4 = Y4 ± Δ = 406,1 ± 8,94

 

406,1 – 8,94 ≤ Ŷ4 ≤ 406,1 + 8,94

 

397,16 ≤ Ŷ4 ≤ 415,04

 

Висновок.

Отже, у 2010 році обсяг платних послуг охорони здоров'я з імовірністю 0,95 буде знаходитися в інтервалі від 397,16 тис.грн. до 415,04 тис.грн.

 

 

Завдання 4.

 

Динаміка реалізації хлібобулочних виробів регіону характеризується такими даними:

 

Місяць	Обсяг реалізації (тис.грн.)	Місяць	Обсяг реалізації (тис.грн.)
	15,6		14,0
	15,5		13,8
	14,7		12,9
	14,4		12,7
	14,2		12,1

 

1. Виконати експоненційне згладжування ряду динаміки з параметром α = 0,3. Вихідним вважати перший.

2. Визначте прогнозний рівень обсягу реалізації хлібобулочних виробів на 12 місяць та з імовірністю 95% граничні межі прогнозу.

Розв’язок:

 

1. Визначаємо згладжені обсяги реалізації хлібобулочних виробів за формулою:

Y_t = ay_t + (1-a)Y_t-1

де Y_t – згладжені обсяги реалізації хлібобулочних виробів у місяці t

a = 0,3 – параметр згладження

y_t – фактичні обсяги реалізації хлібобулочних виробів у місяці t

Y_t-1 – згладжені обсяги реалізації хлібобулочних виробів у місяці t-1

 

За умовою задачі, вихідним рівнем ряду слід вважати перший.

Отже, Y₁ = y₁ = 15,6

Y₂ = ay₂ + (1-a)Y₁ = 0,3 · 15,5 + 0,7 · 15,6 = 15,57

Y₃ = ay₃ + (1-a)Y₂ = 0,3 · 14,7 + 0,7 · 15,57 = 15,31

Y₄ = ay₄ + (1-a)Y₃ = 0,3 · 14,4 + 0,7 · 15,31 = 15,04

Y₅ = ay₅ + (1-a)Y₄ = 0,3 · 14,2 + 0,7 · 15,04 = 14,79

Y₆ = ay₆ + (1-a)Y₅ = 0,3 · 14,0 + 0,7 · 14,79 = 14,55

Y₇ = ay₇ + (1-a)Y₆ = 0,3 · 13,8 + 0,7 · 14,55 = 14,33

Y₈ = ay₈ + (1-a)Y₇ = 0,3 · 12,9 + 0,7 · 14,33 = 13,90

Y₉ = ay₉ + (1-a)Y₈ = 0,3 · 12,7 + 0,7 · 13,90 = 13,54

Y₁₀ = ay₁₀ + (1-a)Y₉ = 0,3 · 12,1 + 0,7 · 13,54 = 13,11

 

2. Для визначення обсягу реалізації хлібобулочних виробів на 12 місяць здійснюємо повторне експоненційне згладжування ряду за формулою:

 

Y¹_t = a Y_t + (1-a)Y¹ _t-1

 

де Y¹_t – повторно згладжені обсяги реалізації хлібобулочних виробів у місяці t

Y¹ _t-1 – повторно згладжені обсяги реалізації хлібобулочних виробів у місяці t-1

a = 0,3 – параметр згладження

Y_t – первинні згладжені обсяги реалізації хлібобулочних виробів у місяці t

 

За умовою задачі, вихідним рівнем ряду слід вважати перший.

Отже, Y¹₁ = Y₁ = 15,6

Y¹₂ = a Y₂ + (1-a) Y¹₁ = 0,3 · 15,57 + 0,7 · 15,6 = 15,59

Y¹₃ = a Y₃ + (1-a) Y¹₂ = 0,3 · 15,31 + 0,7 · 15,59 = 15,51

Y¹₄ = a Y₄ + (1-a) Y¹₃ = 0,3 · 15,04 + 0,7 · 15,51 = 15,37

Y¹₅ = a Y₅ + (1-a) Y¹₄ = 0,3 · 14,79 + 0,7 · 15,37 = 15,20

Y¹₆ = a Y₆ + (1-a) Y¹₅ = 0,3 · 14,55 + 0,7 · 15,20 = 15,01

Y¹₇ = a Y₇ + (1-a) Y¹₆ = 0,3 · 14,33 + 0,7 · 15,01 = 14,81

Y¹₈ = a Y₈ + (1-a) Y¹₇ = 0,3 · 13,90 + 0,7 · 14,81 = 14,54

Y¹₉ = a Y₉ + (1-a) Y¹₈ = 0,3 · 13,54 + 0,7 · 14,54 = 14,24

Y¹₁₀ = a Y₁₀ + (1-a) Y¹₉ = 0,3 · 13,11 + 0,7 · 14,24 = 13,90

 

Результати розрахунків зобразимо у вигляді таблиці.

Таблиця 2

 

Експоненційне згладжування ряду динаміки обсягів реалізації хлібобулочних виробів

Порядковий номер місяця	Обсяги реалізації хлібобулочних виробів, тис.грн.	Різниці yt –Yt	Квадрат різниць (yt –Yt)2
фактичні yt	згладжені
первинні Yt	повторні Y1t
	15,6	15,6	15,6
	15,5	15,57	15,59	-0,07	0,0049
	14,7	15,31	15,51	-0,61	0,3721
	14,4	15,04	15,37	-0,64	0,4096
	14,2	14,79	15,20	-0,59	0,3481
	14,0	14,55	15,01	-0,55	0,3025
	13,8	14,33	14,81	-0,53	0,2809
	12,9	13,90	14,54	-1,00	1,0000
	12,7	13,54	14,24	-0,84	0,7056
	12,1	13,11	13,90	-1,01	1,0201
Сума	х	х	х	х	4,4438

 

Визначаємо точковий прогноз обсягу реалізації хлібобулочних виробів

за 12 місяць за формулою:

(2- a) Y_t – Y¹_t

Y_{t +1} = ––––––––––––––

1 - a

(2 – 0,3) · 13,11 – 13,90 1,7 · 13,11 – 13,90 22,29 – 13,90

Y₁₁ = –––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––– = ––––––––––––– =

1 – 0,3 0,7 0,7

8,39

= –––––– = 11,99 тис.грн.

0,7

 

Визначаємо залишкову дисперсію (n = 10 – кількість місяців).

 

∑ (уt – Y t)² 4,4438

σ_е² = –––––––––– = ––––––– = 0,494

n – 1 9

 

Визначаємо стандартну помилку прогнозу.

a 0,3

μ_р = σ_е · 1 + –––––– = 0,494 · (1 + –––––––) = 0,494 · 1,1765 =

2 – a 2 – 0,3

 

= 0,5812 = 0,762

 

З імовірністю 0,95 визначаємо граничну помилку прогнозу.

 

Δ_р = t · μ_р , де t – коефіцієнт довіри (при імовірності 0,95 t = 1,96)

 

Δ_р = 1,96 · 0,762 = 1,49

 

 

Визначаємо граничні межі прогнозу.

 

_^

Y₁₂ = Y₁₂ ± Δ_р = 11,4 ± 0,62

 

_^

11,99 – 1,49 ≤ Y₁₁ ≤ 11,99 + 1,49

 

_^

10,50 ≤ Y₁₁ ≤ 13,48

 

Отже, обсягу реалізації хлібобулочних виробів за 12 місяць з імовірністю 0,95 знаходиться в межах від 10,5 до 13,48 тис.грн.