ФАКУЛЬТЕТ: ЭКОНОМИКИ И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
КАФЕДРА: СОЦИАЛЬНЫЕ, ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫЕ И ПРАВОВЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ
ДИСЦИПЛИНА: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Самостоятельная работа над учебным материалом является основной формой обучения студентов заочного отделения. Перед выполнением контрольной работы рекомендуется изучить лекции и рекомендуемую учебную литературу.
В данных методических указаниях предложено 20 вариантов контрольной работы. Номер варианта каждого студента соответствует его номеру в учебном журнале. Если в группе по списку более 20 человек, то 21 делает 1вариант, 22 – 2 вариант, и т.д.
Работа должна быть написана от руки четким аккуратным почерком или набрана с использованием средств оргтехники, чертежи должны быть аккуратно выполнены по линейке. Компьютерный вариант текста должен быть представлен 14 разряженным шрифтом Times New Roman c полуторным интервалом между строк. Работа выполняется на белых или в клетку стандартных листах бумаги формата А-4. Лист работы должен иметь поля не менее: верхнее 2см, нижнее 2см, левое 2,5см, правое 1,5см. листы должны быть пронумерованы в правом верхнем углу. Первая страница (титульный лист) не нумеруется, но считается как первая страница работы, на последней странице перечисляется список используемой литературы.
Контрольная работа должна быть сдана согласно графику.
При выполнении контрольной работы надо указать № задания и целиком написать условие с данными соответствующими конкретному варианту. Ответы на вопрос задания должны быть ясно выделены.
Например: Иванов В.С. седьмой по списку в журнале, значит, выполняет вариант №7, т.е. все данные в заданиях берет под номером семь.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Задание № 1. Найти предел функции:
1.а) 
; б) 
2.а) 
; б) 
3.а) 
; б) 
4.а) 
; б) 
5.а) 
; б) 
6.а) 
; б) 
7.а) 
; б) 
8.а) 
; б) 
9.а) 
; б) 
10.а) 
; б) 
11.а) 
; б) 
12.а) 
б) 
13.а) 
; б) 
14.а) 
; б) 
15.а) 
б) 
16. а) 
; б) 
17.а) 
; б) 
. 18. а) 
б) 
19а) 
б) 
20.а) 
б) 
.
Задание № 2. Найти производные функций, определив ее вид:
1. 
; 
; 2. 
; 
;
3. 
; 
4. 
; 
;
5. 
; 
6. 
; 
;
7. 
; 
8. 
; 
;
9. 
; 
10. 
; 
;
11. 
; 
; 12. 
; 
13. 
; 
; 14. 
; 
;
15. 
; 
; 16. 
; 
17. 
; 
; 18. 
; 
19. 
; 
20. 
; 
Задание № 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
; 5. 
;
6. 
; 7. 
; 8. 
; 9. 
; 10. 
; 11. 
; 12. 
; 13. 
; 14. 
; 15. 
; 16. 
; 17. 
; 18. 
; 19. 
; 20. 
.
Задание № 4. Найти частные производные первого и второго порядка функции, исследовать ее на экстремум.
(z¢x; z¢y; z²xx; z²yy; z²xy)
1. z = x2 – xy – y; 11. z = x2 – y2;
2. z = xy(1 – x – y); 12. z = 3x +6у – х2 – хy + y2;
3. z = x2 + y2 + ху – 4x – 5у; 13. z = x2 – 2y2 -2x;
4. z = 2x2 – xy – y2; 14. z = x + 2xy – y;
5. z = x2 + y2 – 15xy; 15. z = x2 – y2 – 2y;
6. z = x3 – y3 – 3хy; 16. z = 2xy – 4x – 2y;
7. z = x2 + y2 +xy – 4x – 5y; 17. z = xy×(1 – х – у);
8. z = x3 – y3 – 3xy; 18. z = 3x + 6y – x2 –xy + y2;
9. z = 2x3 – xy2 + 5x2 + y2; 19. z = 2x2 + 3y2 +4x;
10. z = x2 + 3y2 – 2x + 2; 20. z = 2x3 – ху2 + 5х2 + у2.
Задание № 5. Вычислить неопределенный интеграл:
1. a) òln(х2 + 4)dx; 
2. òx×cos(x)dx; 
3. òx×e-xdx; 
4. òx·3xdx; 
5. òarccos(x)dx; 
; 6. òx·arctg(x)dx; 
7. òarctg(Öx)dx; 
8. òx3×exdx 
9. òx2×ln(1+x)dx; 
10. òex×sin(x)dx; 
11. òx3×sin(x)dx; 
12. òx2×e-xdx; 
13. òln(x2+1)dx; 
14. òln2xdx; 
15. òx×sin(2x)dx; 
16. òe2x×x2dx; 
17. 
; 
18. òeÖxdx; 
;
19. ò(2x2+x)×ln(x)dx; 
20. òx×ln(x)dx; 
.
Задание № 6. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:
1. у = х2+1; у×х = 2; у = 0, х = 0, х = 2; 6. у = ex, x = 0, x = ln3, у = 0;
2. y = Öx и y = x3; 7. y = cosx, y = 0, 
, 
;
3. y = tgx, x =0, 
, у = 0 8. y = sinx, 
, 
;
4. y = lnx, y = 0, х = e3; 9. y = 4x2, y = 4/x, y = 0, x = 4;
5. y = 
, x =2, x = 5, y = 0; 10. y = 4x – x2, y = x
11. у = е2х, у=0, x = 0, x = 1; 16. y2 = x, y = x2;
12. y = tgx, x = 0, y = 1; 17. y = sinx, x = 0, y = Ö3/2;
13. y = 9х2 – 6х +1, y =0, х = 0; 18. y = √2x, 0 ≤ y ≤ 4;
14. y = 3x, y2 = 9x; 19. y = 4 – x2, y = 3x;
15. y = 2 – x2, y = 4 – 3x, x = 0; 20. y = (x+2)2, x = 0, y =9.
Задание № 7. Исследовать ряд на сходимость
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
; 5. 
;
6. 
; 7. 
; 8. 
; 9. 
; 10. 
;
11. 
; 12. 
; 13. 
14. 
15. 
;
16. 
; 17. 
; 18. 
; 19. 
; 20. 
.
Задание № 8. Решить дифференциальное уравнение и найти его частное решение при начальных условиях:
1. y// + 5y/ + 4y = 0 у(0) = 0, у/(0) = 1; 2. y// + 2y/ = 0 у(0) = -2, у/(0) = 1;
3. y// + 6y/ + 10y = 0 у(0) = 0, у/(0) =-2; 4. y// – 2y/ – 3y = 0 у(0) = 2, у/(0) = 0;
5. y// + 4y/ + 4y = 0 у(0) = -1, у/(0) =1; 6. y// – y/ – 2y = 0 у(0) = 2, у/(0) = 1;
7. y// – 2y/ = 0 у(0) = 1, у/(0) = 2; 8. y// + y/ = 0 у(0) = -1, у/(0) = 1;
9. y// + 2y/ + 2y = 0 у(0) = 1, у/(0) = -1; 10. y// – 3y/ – 4y = 0 у(0) = 1, у/(0) = 0;
11. y// + 6y/ + 9y = 0 у(0) = -2, у/(0) = -1; 12. y// + 2y/ + 2y = 0 у(0) =-1, у/(0) =2;
13. y// – 4y/ + 3y = 0 у(0) = 2, у/(0) = 1; 14. y// – 2y/ + 5y = 0 у(0) =-1, у/(0) = 1;
15. y// – 5y/ + 6y = 0 у(0) = 1, у/(0) =-2; 16. y// – 4y/ + 13y = 0 у(0) = 1, у/(0)= 3;
17. y// + 2y/ + 2y = 0 у(0) =-1, у/(0) = 2; 18. y// – 6y/ + 9y = 0 у(0) =1, у/(0) = 4;
19. y// – y/ – 2y = 0 у(0) = 2, у/(0) = -5; 20. y// – 3y/ + 2y = 0 у(0) = 1, у/(0) =4;
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1. Определение функции. Определение сложной и обратной функций (примеры). Основные свойства функции.
2. Классификация функций. Их определения и примеры.
3. Определение предела функции в точке. Предел функции на бесконечности. Горизонтальная асимптота графика функции (примеры).
4. Бесконечно малые функции и их свойства. Арифметические свойства конечных пределов.
5. Бесконечно большие функции. Вертикальная асимптота графика функции (примеры).
6. Правило Лопиталя. Применение правила при неопределенности (0·¥).
7. Правило Лопиталя. Применение правила при неопределенности (¥ – ¥).
8. Правило Лопиталя. Применение правила при неопределенности (1¥).
9. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых. Эквивалентные замены.
10. Непрерывные функции. Геометрический смысл непрерывных функций. Непрерывность основных элементарных функций. Действия над непрерывными функциями.
11. Точки разрыва и их классификация.
12. Определение производной. Критерий дифференцируемости функции. Геометрический смысл производной.
13. Основные правила дифференцирования. Таблица производных.
14. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Связь дифференциала и приращения функции.
15. Теоремы о дифференцируемых функциях. (Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
16. Формулы Тейлора и Маклорена. Таблица разложений основных функций по формуле Маклорена.
17. Определение возрастающей и убывающей функций. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.
18. Определение экстремумов функций. Необходимое и достаточное условия экстремума функции в терминах первой производной.
19. Направления выпуклости кривой. Необходимое и достаточное условия выпуклости кривой.
20. Определение точки перегиба кривой. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
21. Схема полного исследования функции. Последовательность построения графика.
22. Уравнение касательной и нормали, проведенных к графику функции в точке х0.
23. Числовые ряды: определение, необходимый и достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
24. Знакопеременные ряды: абсолютная и относительная сходимость. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
25. Степенные ряды: определение, теорема Абеля, радиус сходимости.
26. Основные типы дифференциальных уравнений,
27. Определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка, общего и частного решения.
28. Линейные дифференциальные уравнения первого и высших порядков с постоянными коэффициентами. Основные методы решения.
29. Определение первообразной функции и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенных интегралов. Таблица интегралов.
30. Метод интегрирования по частям. Типы интегралов, решаемых этим способом.
31. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры.
32. Интегрирование дробно-рациональных функций (дроби 1 и 2 видов).
33. Интегрирование тригонометрических функций (виды замен).
34. Интегрирование некоторых иррациональных функций (виды замен).
35. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.
36. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Метод интегрирования по частям и метод замены переменной в определенном интеграле.
37. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей, объемов, длин дуг кривых и др. Примеры.
38. Определение функции двух переменных. Предел и непрерывность.
39. Частые производные функций 2-х переменных и их геометрический смысл.
40. Дифференциал функции двух переменных. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
41. Производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
42. Условный экстремум функции двух переменных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баврин И.И. Высшая математика. Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманист. Изд. центр Владос, 2003. – 400 с.: ил.
2. Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для студ. естественно-научных специальностей педагогических вузов /И.И. Баврин – 4-е изд., испр. и доп. – М.: ИЦ «Академия», 2004. – 616 с.
3. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: ИЦ «Академия», 2004. – 616 с.
4. Баврин И.И. Курс высшей математики: Учебник. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. Изд. центр ВЛАДОС, 2004. Рек.
Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. Учебник. – М.: Владос, 2002. Рек.
6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов. – 10-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. Рек.
7. Ведина О.И. и др. Математика. Математический анализ для экономистов. Учебник. – М.: Филинъ, 2000. Рек.
8. Высшая математика для экономистов. Учебник. / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити, 2000.
9. Гусак А.А. Высшая математика. Учебник в 2-х т. – Мн.: Тетра Системс, 2001. Рек.
10. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учеб. пос. в 2-х ч. – М.: Оникс, 2002
11. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учеб. пос. в 2-х ч. – М.: Высш. шк., 1999
12. Задачник - практикум по высшей математике. Учеб. пос. / Под ред. В.А. Волкова. – СПб.: Изд-во С-Пб. ун-та, 1997
13. Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учебник для вузов. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2004. Рек.
14. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Учебник. – М.: Велби, 2002. Рек.
15. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Учебник. – М.: Велби, 2002. Рек.
16. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: Учеб. – 2-е изд., пер. и доп. М.:ТК Велби, изд-во Проспект, 2005. – 600 с.
17. Кастрица О.А. Высшая математика: примеры, задачи, упражнения: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. Рек.
18. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2004. Рек.
19. Кустов Ю.А., Юмагулов М.Г. Математика. Основы математического анализа. Учеб. пос. – М.: Айрис – Пресс, 1998
20. Натансон И.Л. Краткий курс высшей математики. СПб.: Лань, 2003. Рек.
21. Омельченко В.П.. Курбатова Э.В. Практические занятия по высшей математике. – Ростов н/Д: Феникс, 2003. Рек.
22. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии. Учебник в 2-х т. – М.: Владос, 1999. Рек.
