Основные теоремы о пределах функций

Теорема 2.4.1. Функция у = f (х) не может иметь более одного предела при х ® а.

Доказательство. Предположим противное, пусть функция у = f (х) при х ® а имеет два предела b ₁ и b ₂: f (х) = b ₁, f (х) = b ₂, причём b ₁ ¹ b ₂.

Согласно теореме 2.2.1 из этих равенств следует, что у = b ₁ + о₁(х), у = b ₂ + о₂(х). Поэтому b ₁ – b ₂ = о₂(х) – о₁(х). Последнее равенство невозможно, так как в левой части стоит постоянная, отличная от нуля, а в правой – бесконечно малая функция. Пришли к противоречию. Теорема

доказана.

Теорема 2.4.2. Если каждая из функций у (х) и z (х) имеет предел

при х ® а, то сумма, разность и произведение этих функций также имеют пределы, причём

(у (х) ± z (х)) = у (х) ± z (х), (3)

(у (х) × z (х)) = у (х) × z (х). (4)

Если, кроме того, z (х) ¹ 0, то и частное имеет предел, причём

= . (5)

Доказательство. Пусть у (х) = b, z (х) = с, тогда на основании теоремы 2.2.1 у (х) = b + о₁(х), z (х) = с + о₂(х). Тогда получаем у (х) ± z (х) = (b ± с) + (о₁(х) ± о₂(х)), где b ± с – постоянная, а о₁(х) ± о₂(х) – бесконечно малая при х ® а.

Согласно теореме 2.2.1 из последнего равенства следует, что

(у (х) ± z (х)) = b ± с = у (х) ± z (х).

Поскольку

у (х)× z (х) = (b + о₁(х))(с + о₂(х)) = bc + (b ×о₂(х) + c ×о₁(х) + о₁(х)×о₂(х)),

где bc – постоянная, о₃(х) = b ×о₂(х) + c ×о₁(х) + о₁(х)×о₂(х) – бесконечно малая при х ® а, то на основании теоремы 2.2.1 получаем

(у (х) × z (х)) = bc = у (х) × z (х).

Предположив, что z (х) = с ¹ 0, составим разность

– = – = .

Обозначив v (x) = , о₃(х) = c ×о₁(х) – b ×о₂(х), получим

– = v (x)× о₃(х), (v (x)× о₃(х)) = 0,

так как v (x) – ограниченная функция, а о₃(х) – бесконечно малая функ-

ция при х ® а. Следовательно,

= = .

Теорема доказана.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

(с × у (х)) = с × у (х).

Следствие 2. Если у (х) = b и m – натуральное число, то

(у (х)^m) = ( у (х))^m,

в частности,

(х ^m) = ( х)^m = a ^m.

Теорема 2.4.3. Пусть три функции u = u (x), y = y (x), v = v (x) определены в некотором промежутке, содержащим точку а. Если для любого х из этого промежутка выполняются неравенства u (x) £ y (x) £ v (x) и функции u = u (x), v = v (x) имеют одинаковые пределы при х ® а, то функция y = y (x) имеет тот же предел при х ® а.

Теорема 2.4.4. Пусть функция у = f (х) определена в некотором промежутке, содержащим точку а. Если при х ® а функция у = f (х) имеет положительный (отрицательный) предел, то найдётся d-окрестность точки а такая, что для всех х из этой окрестности функция положительна (отрицательна).

Теорема 2.4.5. Если функции u (x) и v (x) определены в некоторой d-окрестности точки а, для всех х из этой окрестности, х ¹ а, выполняется неравенство u (x) < v (x) и функции имеют пределы при х ® а, то u (x) £ v (x).

Доказательство. Пусть u (x) = b, v (x) = c. Требуется доказать, что b £ c. Предположим противное, то есть b > c.

В силу условия и теоремы 2.4.2 функция v (x) – u (x) имеет предел (v (x) – u (x)) = c – b, c – b < 0, ибо b > c.

На основании теоремы 2.4.4 найдётся d-окрестность точки а, для всех точек которой (х ¹ а) v (x) – u (x) < 0, или v (x) < u (x), что противоречит условию. Следовательно, b £ c, то есть u (x) £ v (x). Теорема доказана.