Статистическое моделирование технологических систем. корреляционные и полигауссовы методы

Наиболее сложными в пределах современной теории ТП математическими моделями параметров ТС и процессов являются случайные векторные пространственно-временные поля, представляющие как входные и выходные характеристики, так и параметры состояния рассматриваемых объектов. Приведем более подробное описание этих ММ, начиная с простых.

Детерминированные модели используются в тех технологических задачах, в которых по тем или иным причинам можно пренебречь реально существующими флуктуациями реальных значений параметров и результатов их измерений. Пусть переменные состояния образуют вектор флуктуации пространственно-временных аргументов

где каждая скалярная составляющая , вектора описывает зависимость определенной характеристики ТП от пространственных координат и времени t. Иначе говоря, каждая из составляющих вектора параметров есть, в свою очередь, функция четырехмерного векторного аргумента

Распространенным частным случаем является описание электрофизических свойств тонких пленок, например сопротивления квадрата, толщины как стационарных, т. е. не зависящих от времени функций двух координат поверхности , и др.

Применяемая в настоящее время измерительная и контрольная аппаратура в большинстве случаев определяет параметры состояния в фиксированных точках пространства, поэтому и в теоретических моделях приводит к непосредственной дискретизации изучаемых функций непрерывного пространственно-временного аргумента. При этом каждую функцию представляют совокупностью значений-отсчетов при фиксированных значениях пространственных и временных координат . Теоретически можно представить бесконечное множество точек отсчета , , практически число точек отсчета всегда конечно:

Представление детерминированной функции , определенной совокупностью числовых значений , позволяет отождествить эту функцию с точкой в многомерном линейном векторном пространстве размерности , если представить каждое проекцией этой точки на соответствующую ось декартовой системы координат. Такое представление взаимно однозначно и при достаточно большом, теоретически бесконечном, и при некоторых известных условиях, которым удовлетворяют функции , соответствующие физически осуществимым явлениям. Покажем это для простоты на примере детерминированной функции времени , , рассматриваемой на конечном интервале времени . Если функция z(t) интегрируема с квадратом модуля на интервале [0, Т], т. е. описывает процесс с конечной энергией Э, то она представима на этом интервале в виде обобщенного ряда Фурье по ортонормированной на интервале [0, Т] системе функций :

(3.2)

где ; ,

а также по теореме Парсеваля

Напомним, что ортонормированной на интервале [0, Т] называется система функции , если для любых i и k выполняется условие

Допустим временно, что рассматриваемая функция имеет
преобразование Фурье, отличное от нуля лишь на интервале частот . Тогда, выбрав в качестве базисной систему функций Котельникова

где , в соответствии с известной теоремой Котельникова получим

где , . Снимем предположение о конечности F и, переходя к пределу и , получим доказательство возможности представления функции z(t) со сколь угодно протяженным частотным спектром с помощью достаточно большого числа ее отсчетов. У процессов с ограниченной конечной скоростью их изменения ограничена и эффективная ширина частотного спектра, поэтому для реальных процессов всегда найдется конечное число отсчетов, с помощью которых с любой заранее заданной ошибкой справедливо соотношение

Аналогичные соотношения можно получить и для функций пространственно-временного аргумента.

Таким образом, всякая функция , описывающая физически реализуемое явление, однозначно соответствует элементу линейного векторного пространства бесконечной размерности и приближенно представима элементом линейного векторного пространства конечной размерности.

Однако во многих технологических задачах могут оказаться существенными флуктуации нескольких отдельных параметров, тогда как флуктуациями остальных можно, как и ранее, пренебречь. В таких случаях используются квазидетерминированные модели реальных явлений, содержащие конечное число случайных величин , , при задании описывающей их совместной плотностью вероятности . Например, давление в вакуумной камере является квази-детерминированной функцией пространственно-временного аргумента, оно постоянно во всех точках объема и является случайной величиной, а во времени оно изменяется по детерминированному закону со случайным параметром. Особенностью квазидетерминированных функций является тот факт, что для вычисления значений этой функции для любого значения аргумента необходимо прежде определить конкретные реализации величин случайных параметров.

Математическая модель типа абсолютно случайных функций.

При строгом рассмотрении из-за неизбежных естественных флуктуации свойств материалов и окружающей среды, из-за технических флуктуации параметров технологического оборудования и режимов его работы переменные состояния всех ТП являются случайными функциями пространственно-временных координат. Во многих случаях этими случайностями пренебречь не удается, так как все они влияют на выходные параметры изделий.

Случайной функцией называют множество различных функций одного и того же аргумента с заданным на этом множестве распределением вероятности. Это означает, что в каждом конкретном опыте имеет место некоторая заранее точно не предсказуемая функциональная зависимость из указанного множества, которая называется реализацией данной случайной функции. Случайная функция пространственных координат обычно называется случайным полем, случайная функция времени - случайным процессом. Наиболее распространены случайные функции с бесконечным множеством реализаций. Отсюда следует ошибочность попыток представить такую случайную функцию с помощью конечного набора ее реализаций. Так, осциллограмма