Решение нелинейных уравнений и систем.

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический Университет

 

Кафедра вычислительной

математики и программирования

 

 

ЗАДАНИЯ К К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

по курсу «Информатика и системология»

для студентов специальности Экол

 

 

Утверждено на заседании каф. ВМиП

Протокол №1 от 30.08.2011

 

 

ДОНЕЦК, 2011

Построение графиков.

ЗАДАНИЕ 1. Изобразите график заданной функции.

№	f(x)	№	f(x)	№	f(x)

ЗАДАНИЕ 2. Изобразите линии заданные неявно в декартовых координатах.

№	f(x)	№	f(x)	№	f(x)
	y 2 - 2 x 2 - 4		y 2 +24 x 2 - 4		2 y 2 - 9 x 2 –18
			4 y 2 - 5 x 2 – 20
			4 y 2 + 5 x 2 - 20		2 y2 +9 x 2 – 18

Решение нелинейных уравнений и систем.

ЗАДАНИЕ 1. Найти корни полинома.

№	уравнение	№	уравнение	№	уравнение

ЗАДАНИЕ 2. Найти решение нелинейного уравнения.

№	уравнение	№	уравнение	№	уравнение	№	уравнение

ЗАДАНИЕ 3. Найти решение системы нелинейных уравнений.

№	Система уравнений	№	Система уравнений	№	Система уравнений
		24-

РАБОТА В MATHCAD.

Простейшие вычисления. Некоторые задачи матанализа.

ЗАДАНИЕ 1. Вычислить значение Х и Y по заданным формулам.

№1	№2	№3	№4
a	b	c	a	b	c	a	b	c	a	b	c
3.456	0.642	7.12	8.64	1.25	66.4	3.845	4.632	0.562	0.2575	0.1756	0.2131
№5	№6	№7	№8
a	b	c	a	b	c	a	b	c	a	b	c
23.16	17.41	32.37	16.342	12.751		10.82	9.37	1.4	2.0435	1.1752	4.5681
№9	№10	№11	№12
a	b	c	a	b	c	a	b	c	a	b	c
3.456	1.245	0.327	0.143	0.242	3.258	0.3575	0.1756	0.2131	0.7568	0.8345	0.6384
№13	№14	№ 15	№ 16
a	b	c	a	b	c	a	b	c	a	b	c
5.3	6.2		12.5	19.5	12.8	11.3	14.8		8.52	1.67
№17	№18	№ 19	№20
a	b	c	a	b	c	a	b	c	a	b	c
2.48	3.05	1.73	2.878	1.169	0.299	2.76	3.25	17.67	0.652	0.131	0.144
№21	№22	№ 23	№ 24
a	b	c	a	b	c	a	b	c	a	b	c
5.03	3.28		2.5	3.7	7.3	2.786	3.108		4.2	3.8

Пример 1. Элементарные вычисления

Рис. 1.

ЗАДАНИЕ 2.. Вычислить производные и интегралы.

№	Производную a¢(x)	Неопределенный интеграл	Определенный интеграл	Производную b¢¢(x)
1,11
2,12
3,13
4,14
5,15
6,16
7,17
8,18
9,19
10,20				5x

Пример 2. Вычисление производной.

Рис. 2

Пример 3. Вычисление интеграла.

Рис. 3

Решение задач линейной алгебры.

ЗАДАНИЕ. Решить систему уравнений 1) методом обратной матрицы и по правилам Крамера, сделать проверку. Систему уравнений 2) решить с помощью функции lsolve и решающего блока. Варианты заданий см. в работе №8.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера[1]:

На рис. 4 приведен фрагмент рабочего документа, содержащий решение поставленной задачи.

 

 

Рис. 4.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений из примера 4 методом обратной матрицы[2]. Решение показано на рис. 5.

Рис. 5.

Пример 6. Решить систему с помощью функции lsolve и при помощи решающего блока:

x ₁+2 x ₂+5 x ₃=-9,

x ₁– x ₂+3 x ₃=2,

3x ₁–6 x ₂– x ₃=25.

Решение системы при помощи функции lsolve показано на рис. 6. Фрагмент рабочего документа на рис. 7 содержит пример применения решающего блока для решения системы.

Рис. 6 Рис. 7

Построение графиков на плоскости.

ЗАДАНИЕ. Построить графики функции f(x). Варианты заданий см. № 9.

Пример 7. Построить график функции y = x \(x ²–9). На рис. 8 изображен график заданной функции, которая терпит разрыв в точках 3 и –3.

Рис. 8

Пример 8. Построить график функции заданной неявно: 5 x ²+3 y ²–15=0.

Приведем уравнение к каноническому виду: x ²/3+ y ²/5=1. Разрешим уравнение относительно переменной у. Найдем область определения функции. Зададим ранжированную перемену и определим функции, описывающие верхнюю и нижнюю части эллипса. Построим график двух функций. Результат построения приведен на рис. 3.71.

Рис. 9

Решение нелинейных уравнений и систем.

ЗАДАНИЕ. Решить нелинейные уравнения и системы Варианты заданий см. в работе № 10.

Пример 9. Найти корни полинома 2 x ⁴–8 x ³+8 x² –1=0.

Воспользуемся функцией polyroots(v), которая возвращает вектор всех корней (как вещественных, так и комплексных) полинома n –й степени, коэффициенты которого хранятся в массиве v, длиной n +1.

В нашем случае массив v следует определить как вектор столбец из пяти элементов[3](рис. 10). Решим задачу, так как показано на рис. 11. Найдем графическое решение заданного уравнения. Для этого создадим функцию F (x), определив полином как сумму произведений коэффициентов на x в соответствующей степени, и построим ее график. Точки пересечения графика с осью абсцисс и будут корнями уравнения. На рис. 12 видно, что графическое решение совпадает с аналитическим.

Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12

Пример 15. Найти корни уравнения f (x)=0.

На рис. 13 видно, что график функции f (x) трижды пересекает ось абсцисс, то есть уравнение имеет три корня. Для решения этой задачи воспользуемся функцией root(F(x), x, a, b). Она возвращает с заданной точностью значение переменной x, при котором выражение F(x) равно нулю, a и b – пределы интервала изоляции корня. Понятно, что при такой форме записи функции нет необходимости задавать начальное значение x, так как оно определено в интервале [a,b][4].

Рис.13

Пример 16. Решить систему уравнений: { x ²+ y ²+3 x –2 y =4, x +2 y =5}.

Данная система легко сводится к одному уравнению при помощи элементарных преобразований (рис. 14). Линейное уравнение решается относительно одного из двух неизвестных, например, можно выразить х через у, выполнив команду Symbolic\Variable\Solve при выделенном х. Полученное выражение необходимо подставить в квадратное уравнение и упростить(Symbolic\Variable\Collect).

Решение квадратного уравнения с одним неизвестным, полученного в результате преобразований заданной системы, приведено на рис. 15. Графическое решение уравнение показало, что имеется два действительных корня. Поэтому решающий блок используется дважды с соответствующими начальными значениями.

Рис. 14.

Рис. 15

На рис.16 показано, как решить систему с помощью решающего блока.

Рис. 16

[1] Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель ∆= det A матрицы системы из n уравнений с n неизвестными A∙x=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x₁, x₂,..., x_n, определяемое по формулам Крамера x_i=∆_i/∆, где ∆_i – определитель матрицы, полученной из матрицы системы А заменой i –го столбца столбцом свободных членов b.

[2] Метод обратной матрицы: для системы из n линейных уравнений с n неизвестными A∙x=b, при условии, что определитель матрицы А не равен нулю, единственное решение можно представить в виде x=A^-1∙b.

[3] Обратите внимание, что в уравнении отсутствует переменная x в первой степени. Это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю.

[4] Обратите внимание на последнее обращение к функции root на рис.3.78. MathCAD выдал сообщение об ошибке: «Значения на обоих концах интервала должны иметь противоположные знаки». Произошло это потому, что интервал изоляции задан неверно. На графике видно, что на концах этого интервала функция знак не меняет.