Десять строчек, которые потрясли математический мир.

Невозможно поверить, что за 120 лет, прошедших с момента опубликования этого 10-строчного доказательства, два десятка поколений профессиональных математиков не смогли отделить "семена от плевел"!

Увы, речь-то идет не о простом историческом недоразумении, а, согласно Брауэру, о "патологическом казусе" в истории математики. Думаю, не последнюю роль здесь сыграл доведенный до абсурда, особенно в ХХ веке, пиетет перед так называемым профессионализмом. Вплоть до того, что "дважды два" - это моя "территория", где я говорю на своем языке, а "трижды три" - чужая "епархия", где говорят на другом языке, и в ней мне уже "не должно сметь свое суждение иметь". Как ни странно, эта опасная болезнь является прямым - сегодня уже социальным - следствием Великой Промышленной революции последних трех столетий и... современного "бурбакизма".

Один великий ученый открывает совершенно абстрактную формулу E=mс2, другой великий ученый открывает новый химический элемент U-238, третий, талантливый инженер, изобретает технологию обогащения урана и производит из него A-Bomb, четвертый, политик, принимает решение использовать эту A-Bomb в самых "высоких и гуманных" целях, пятый, пилот-исполнитель, доставляет этого "Малыша" куда надо и делает с ним то, что приказано. "Гуманитарные" последствия такого "подарка" напоминают о себе до сих пор. Кто виноват? Вопрос, на который не существует ответа! Так, один из величайших факторов промышленного прогресса - принцип разделения труда ради повышения его эффективности "во благо..." имеет своим следствием вначале разделение ответственности, а затем - и разделение совести.

Если не углубляться в социально-психологические "дебри" этого процесса, то... философы однажды решили, что теорема Кантора - это профессиональная математика, то есть зона для философии запретная; 99% реально работающих математиков, то есть таких математиков, чьи достижения в конечном счете проверяются числом или практикой, однажды решили, что теорема Кантора - это метаматематика, и с тех пор в эту область - "ни ногой". Так что математика получила то, что имеет, - теорему Кантора плюс "сплошная бурбакизация" всякого здравого смысла как науки, так и математического образования. Согласно мнению уважаемого Владимира Арнольда, к которому и я, и многие другие математики вынуждены с грустью присоединиться.

Однако если теорема Кантора неверна, то в чем же причина такой поразительной живучести этого "патологического казуса"? Тем более что в метаматематику, как правило, "идут" интеллектуалы, имеющие IQ заведомо выше среднего уровня? Дело в том, что 10 строчек канторовского доказательства содержат 7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок. Я уверен, что если бы таких ошибок было одна-две, то скорее всего нам бы не пришлось сегодня и обсуждать проблему "бурбакизма". Но когда на "площади" в десять строчек "размещаются" семь ошибок, переплетенных в немыслимый клубок почти правдоподобных рассуждений, - нет ничего удивительного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной более ста лет.

Вот одна из таких ошибок. За семь веков до Рождества Христова древнегреческий мудрец Эпименид изобрел, согласно Библии, знаменитый парадокс "Лжеца": "Я утверждаю, что я - лжец". Лжец ли я? Если я лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я не лжец. Но если я не лжец, то я говорю правду, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я - лжец.

Как свидетельствует беспристрастная наша историческая наука, совокупный разум человечества, включая, естественно, и его науку, вот уже более 2600 лет не может найти ответа на этот "детский" вопрос: "Кто же я, в конце концов, Лжец или не-Лжец?"

Коротко и символически это рассуждение можно записать так (здесь Л="Лжец"): ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л", но ЕСЛИ "не-Л", ТО "Л".

Так вот, оказывается, что доказательство Кантора представляет собой... половину парадокса, т.е. утверждение типа: ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л".

У любого нормального человека, не лишенного чувства юмора и "лево-правой" симметрии, сразу возникает вопрос: а нельзя ли эту половину достроить до полного парадокса? Оказывается можно! И мы приходим к довольно неожиданному для современной метаматематики выводу: знаменитое доказательство Кантора просто... не закончено автором. А если его завершить, как полагается по законам классической логики и классической математики, то мы получаем новый парадокс типа "Лжеца"! Таким образом, доказательство теоремы Кантора, а вместе с ним и вся современная метаматематика... построены на "Лжеце". Весьма сомнительное основание для "науки", которая претендует на роль "теории доказательства" современной (а также всей классической) математики. Словно бы наивные математики до сих пор и представления не имели о том, как им следует доказывать свои теоремы.

В чем же, однако, заключается смысл грядущей контрреволюции в математике?

Любая революция, как мы все хорошо знаем, разрушает то, что было создано до нее. Следовательно, контрреволюция призвана восстановить лучшее из того, что не успела разрушить последняя революция. Революция, связанная с внедрением трансфинитных идей Георга Кантора в сознание метаматематиков, не смогла разрушить здравого смысла классической математики и классической логики Аристотеля. Вот их и надлежит восстановить в освященном тысячелетней практикой праве служить прочным основанием для стабильного развития науки и на ней основанной педагогической и практической деятельности человечества. Только и всего.

Есть еще один парадокс, связанный с теорией Кантора. Конечно, ни один метаматематик, по определению, просто не допустит подобного "покушения на устои" и не глядя отправит любую работу, опровергающую теорему Кантора, в корзину. Тем не менее мои основные результаты опубликованы, причем не в самых заурядных научных журналах. Математикам (метаматематиков просят не беспокоиться - у них было более ста лет, чтобы в этом разобраться) я рекомендую мою статью "Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Кантора о несчетности)", опубликованную в журнале "Доклады РАН" (1997 год, том 356, номер 6, стр. 733-735). А философам - более популярное, но не менее строгое изложение в работе "Ошибка Георга Кантора", опубликованной в журнале "Вопросы философии" (2000 год, номер 2, стр. 45-48). Все вопросы и замечания можно направлять по электронному адресу: [email protected].

Упоминавшаяся выше статья академика Арнольда, к сожалению, содержит один существенный недостаток. Она неконструктивна, поскольку в ней не содержится критерий, по которому было бы возможно отличить нормальный, здоровый, естественный "абстракционизм" математики от метаматематического "бурбакизма". Думаю, указать такой критерий невозможно в принципе.

Поэтому я лично вижу два способа профилактики "левополушарной преступности", о которой говорит Арнольд. Первый путь - радикально-юмористический: искоренение причин, порождающих этот вид "преступности". Второй путь - не менее конструктивный: истина должна быть нарисована и предъявлена "неограниченному кругу" зрителей. Если это действительно Истина и если мой сосед не дальтоник, то мы (и все вокруг) будем видеть одно и то же. И никто при всем желании уже не сможет, прикрываясь камуфляжем "бурбакизма", выдать ложь за истину, а пустое место - за выдающееся научное достижение.

И в заключение - давайте не будем забывать, что математика все-таки - "королева всех наук, а теория чисел - королева математики", а также и о том, что обычные натуральные числа "создал Господь Бог, все остальное - дело рук человеческих".