ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
Термины и определения в области надежности
Под надежностью понимают свойство сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих нормальную работоспособность объекта. В понятие надежности входят такие свойства объекта, как безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость.
Полная или частичная утрата работоспособности прибора называется отказом. Свойство прибора сохранять работоспособность в течение заданного времени в определенных условиях эксплуатации называется безотказностью.
Отказы могут быть различного вида и по разным причинам. Внезапный отказ возникает в результате скачкообразного изменения одного или нескольких основных параметров из-за скрытого дефекта. Постепенный отказ является результатом постепенного изменения этих параметров, например, за счет старения. Полный отказ делает невозможным дальнейшее использование элемента. Частичный отказ позволяет хотя бы частично использовать элемент. Причинами отказов могут быть ошибки или несовершенство конструкции, нарушения или несовершенства технологического процесса изготовления, а также нарушения правил эксплуатации и непредусмотренные внешние воздействия. Соответственно, различают технологические, конструкционные и эксплуатационные отказы.
Долговечность (срок службы) определяется обычно тем, что главный параметр (или несколько параметров) с течением времени ухудшается, т. е. значение его становится минимально допустимым. Тогда элемент подлежит замене.
Ремонтопригодность является свойством элемента, характеризующим его приспособленность к предупреждению, обнаружению и устранению отказа.
Сохраняемость – это свойство элементов оставаться работоспособными
в процессе хранения и транспортировки.
В зависимости от конкретных систем и условий их эксплуатации, эти свойства могут иметь различную относительную значимость.
Основные показатели надежности невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем
Для невосстанавливаемых систем, чаще всего, используются четыре показателя надежности: вероятность безотказной работы P(t), плотность вероятности отказов (частота отказов) f(t), интенсивность отказов λ(t), среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) T 0.
Вероятность безотказной работы P(t) есть вероятность того, что время работы системы до отказа окажется больше заданного времени t.
, (3.1)
где Т – случайное время работы системы до отказа или наработка на отказ;
– интегральная функция распределения случайной величины Т (T < t).
Иногда пользуются понятием вероятности отказов Q(t):
. (3.2)
Если P(t) – надежность системы, то Q(t) – ненадежность системы.
Плотность вероятности, или частота отказов, является дифференциальной функцией распределения.
. (3.3)
Интенсивность отказа λ(t) – это отношение плотности вероятности к вероятности безотказной работы:
, (3.4)
откуда 
если λ = const, 
(3.5)
Среднее время безотказной работы системы – это математическое ожидание времени работы системы до отказа:
Пределы несобственного интеграла изменяются от 0 до ∞, так как время не может быть отрицательным.
Интегрируем по частям, получим
(3.6)
, так как при верхнем пределе P(t) быстрее стремится к нулю, чем t стремится к бесконечности.
На рис. 3.1 изображена зависимость вероятности безотказной работы от времени. В начальный момент вероятность Р равна единице. В конце времени работы системы Т вероятность равна нулю.
Показатели надежности функционально связаны между собой: зная одну из функций P(t), Q(t), f(t), λ(t), можно определить три остальные.
Статистические показатели надежности невосстанавливаемых систем, получаемые из экспериментальных данных, можно определить по следующим формулам:
- статистическая вероятность безотказной работы
, (3.7)
где N – число объектов в начале испытаний;
ni – число объектов, отказавших за время ti.
Под частотой отказов элементов понимают число отказов в единицу времени, отнесенное к первоначальному количеству поставленных на испытания элементов.
- статистическая частота отказов
, (3.8)
где ni – число отказов в интервале времени ∆ ti;
N – число испытуемых элементов;
∆ ti – время испытаний.
При этом отказавшие в процессе испытаний элементы не заменяются новыми, и число работающих элементов постепенно уменьшается.
В отличие от частоты отказов, интенсивность отказов характеризует надежность объекта в данный момент времени, т. е. его локальную надежность.
Под интенсивностью отказов понимают число отказов в единицу времени, отнесенное к среднему числу элементов, безотказно работающих в данный промежуток времени. При этом отказавшие элементы не заменяются.
- интенсивность отказов:
, (3.9)
где ni – число отказов за время ∆ ti;
– среднее число работоспособных элементов;
Ni – число элементов, работоспособных в начале рассматриваемого промежутка времени;
Ni +1 – число элементов, работоспособных в конце промежутка времени ∆ ti.
Интенсивность отказов в течение длительной эксплуатации не остается постоянной. В начальный период времени l имеет большее значение вследствие скрытых дефектов, не обнаруженных из-за несовершенства производственного контроля и возможных нарушений правил эксплуатации при первоначальной наладке объекта. Затем значение интенсивности отказов уменьшается и остается почти постоянным в течение длительного срока. В конце срока службы λ возрастает из-за старения элементов устройства. На рис. 3.2 изображена зависимость интенсивности отказов от времени.
Среднее время безотказной работы, или средняя наработка на отказ, определится по данным испытаний, как
, (3.10)
где ti – время исправной работы i -го элемента;
N – общее число испытуемых элементов.
При большом количестве элементов формула (3.10) становится слишком громоздкой. Используется другой способ вычисления среднего времени
(3.11)
где ni – количество отказавших элементов в интервале времени ∆ t = ti +1 - ti;
ti – время в начале i -го интервала;
ti +1 – время в конце i -го интервала;
– среднее время в i -ом интервале;
– число интервалов или разрядов;
tN – время, в течение которого отказали все элементы.
Пример 1.
Одновременно испытываются 20 машин.
В течение 500 часов непрерывной работы машин получены следующие данные.
За первый интервал работы ∆ t 1 = 100 часов вышло из строя 0 машин.
За второй интервал работы ∆ t 2 = 100 часов вышло из строя 1 машина.
За третий интервал работы ∆ t 3 = 100 часов вышло из строя 0 машин.
За четвертый интервал работы ∆ t 4 = 100 часов вышло из строя 0 машин.
За пятый интервал работы ∆t5 = 100 часов вышла из строя 1 машина.
Определим вероятность безотказной работы машин в течение 500 часов.
Решение.
Надежность испытуемых машин за время t = 500 часов
Пример 2.
На испытания поставлены N = 500 изделий. За время t = 2 000 часов отказало n = 200 изделий. За последующие ∆ t = 100 часов отказало еще ∆ n = 100 изделий. Определить вероятность безотказной работы в течение 2 000, 2 100 часов, частоту отказов, интенсивность отказов.
Решение.
Пример 3.
На испытании находилось 1 000 неремонтируемых изделий. Число отказов ni фиксировалось через каждые 100 часов работы (∆ t = 100 часов). Данные об отказах сведены в таблицу.
Таблица 3.1
| ∆ ti, ч | 0-100 | 100-200 | 200-300 | 300-400 | 400-500 | 500-600 |
| ni | ||||||
| ∆ ti, ч | 600-700 | 700-800 | 800-900 | 900-1000 | ||
| ni |
Определить вероятность безотказной работы в течение 1 000 часов и среднее время безотказной работы.
Общее число отказавших элементов – 241.
Решение.
.
Предположим, что на испытаниях находился 241 отказавший элемент.
Среднее время безотказной работы
