Обработка результатов, оценка воспроизводимости эксперимента

Введение

В практике моделирования ряда устройств вычислительных систем имеет место класс статических безынерционных устройств. Модели подобных устройств описываются полиномами от входных параметров. Увеличивая степень полинома можно добиться адекватности модели.

Для нахождения параметров модели обычно используют экспериментальное статистическое исследование натурного образца устройства или его макета. При этом проводят регрессионный анализ, т. е. определяют усредненную функциональную зависимость выходных параметров устройства от входных.

Цель работы

Цель работы – создание модели зависимости выходного параметра электронного устройства от входных с помощью полного эксперимента.

Сведения из теории

Структура модели устройства

Структура модели статического безынерционного устройства, имеющего n входных переменных X и одну выходную переменную Y (рис. 1)

Рис. 1

определяется полиномом

где b_i, b_ij – коэффициенты влияния, находятся в результате регрессионного анализа, т.е. проведение экспериментальных исследований устройства и обработки (усреднения) статистических данных. Количество слагаемых в полиноме определяется адекватностью модели.

Планирование эксперимента

Планирование эксперимента необходимо для того, чтобы за более короткое время, т. е. с минимальными материальными ресурсами провести исследование.

Наибольшее распространение получили эксперименты, в которых входные переменные (факторы) варьируются на двух уровнях. Чтобы реализовать все возможные сочетания факторов и уровней необходимо провести полный эксперимент с количеством состояний (входных ситуаций) N = 2 ⁿ.

Для определения уровней по каждому фактору , j = 1, 2,..., n выбирается базовый уровень в центре области исследования, для которой строится модель, а также половина интервала варьировать > 0. Отсюда находятся уровни факторов , задаваемые при экспериментальных исследованиях. Для двух входных переменных область исследований имеет вид, показанный на рис. 2.

Рис. 2

Конечные точки прямоугольника соответствуют номерам опытов, и искомая модель устройств будет справедлива для этой области.

От ненормированных переменных удобно перейти к нормированным

причем X_j = –1, когда и X_j = +1, если . Введение нормировки позволяет упростить обработку данных.

После определения уровней факторов составляется матрица планирования (табл. 1), в которой заполняются столбцы X_j, X_jk. Строки матрицы соответствуют номерам опытов, количество строк равно N = 2 ⁿ. Столбец X ₀ введен формально для упрощения вычислений коэффициента b ₀ модели, а столбец X ₁ X ₂ используется при вычислении коэффициента b ₁₂.

Таблица 1

i	X ₀	X ₁	X ₂	X ₁ X ₂	Y	S
	+1	–1	–1	+1	Y ₁₁, Y ₁₂, …, Y _{1 m}	S ₁
	+1	+1	–1	–1	Y ₂₁, Y ₂₂, …, Y _{2 m}	S ₂
	+1	–1	+1	–1	Y ₃₁, Y ₃₂, …, Y _{3 m}	S ₃
	+1	+1	+1	+1	Y ₄₁, Y ₄₂, …, Y _{4 m}	S ₄

Основные свойства матрицы планирования:

1) симметричность (кроме столбца X ₀);

2) нормировка

3) ортогональность .

Первые два свойства позволяют упростить выражения для оптимальных значению коэффициентов в модели, а второе – рассчитать эти коэффициенты независимо друг от друга.

Проведение эксперимента

При проведении экспериментальных исследований реализуется последовательность опытов. В каждом опыте i на входы устройства подаются значения в соответствии с матрицей планирования (табл.1), измеряется выходное значение Y_i и записывается в таблицу.

Для уменьшения влияния случайных ошибок используются повторные опыты, т. е. каждая строка матрицы повторяется m раз. Выбор номера опыта следует производить случайно по времени, чтобы не было систематических ошибок. Нельзя проводить повторно подряд один и тот же опыт i.

Обработка результатов, оценка воспроизводимости эксперимента

На основе экспериментальных значений для каждой строки столбца Y рассчитывается среднее арифметическое

которое будет использовано для вычисления коэффициентов b, а также статистические дисперсии

Дисперсии S_i обусловлены наличием ошибок опытов (ошибок воспроизводимости). Требование однородности дисперсий является одним из требований регрессионного анализа.

Гипотеза об однородности дисперсий проверяется с помощью критерия Кохрена. При этом рассчитывается относительная величина

Гипотеза об одноразности дисперсий не отвергается, если расчетное значение G не превышает порогового G_α, т.е. G < G_α. Значение G_α находят из таблицы (прил. 1) в зависимости от уровня значимости α (чаще всего α = 5%), числа степеней свободы f ₁= m – 1 и числа опытов N. Так, например, для N = 8, f ₁= 4 имеем G_α = 0,391.

Если проверка показала, что эксперименты воспроизводимы, то их результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессии. В противном случае можно рекомендовать увеличить число повторных опытов.