Лк_2. Кинематика криволинейного движения.

2.1. Пример. Определим величину первой космической скорости, т.е. такой скорости, параллельной земной поверхности, которую должно иметь тело, чтобы оно никогда не упало на Землю. Задача может быть решена следующим образом. Движение тела вдоль земной поверхности можно представить, как сумму двух движений: равномерного горизонтального движения со скоростью бросания v и свободного падения тела к поверхности Земли с ускорением g (ускорением свободного падения).

Изобразим процесс движения на плоском рисунке 2.1. Земля – шар, в сечении – окружность. Траектория движения – окружность. За малый промежуток времени Dt тело пройдет, двигаясь перпендикулярно земному радиусу, из точки А в точку В. При этом его радиус-вектор повернется на некоторый малый угол β. За это же за время, скорость тела получит приращение ∆v=g∆t вдоль земного радиуса, т.е. вектор скорости также повернется на некоторый угол. Для того, чтобы тело продолжало двигаться вдоль земной поверхности этот угол должен совпасть с углом поворота радиус-вектора тела. Следовательно, угол поворота вектора скорости - это также угол β. Приравняем тангенс β, найденный из треугольника перемещения и треугольника скорости:

(2.1)

После этого выразим величину скорости:

. (2.2)

Как видно из вывода выражения для первой космической скорости, любое тело, двигаясь с этой скоростью вокруг Земли, изменяет направление скорости за счет постоянного падения на землю, и это изменение приводит к тому, что вектор скорости поворачивается, оказываясь всегда параллельным земной поверхности.

Движение с неизменным вектором скорости называется равномерным. В общем случае скорость изменяется как по величине, так и по направлению.

2.2. Ускорение. Для характеристики быстроты изменения скорости вводится понятие ускорения. Ускорением называется отношение приращения скорости за бесконечно малый интервал времени к этому интервалу, т.е. производная от скорости по времени

(2.3)

Вектор ускорения можно также разложить по координатным осям:

(2.4)

Модуль вектора ускорения равен:

. (2.5)

Подставив в (2.3) выражение скорости как производную от радиус-вектора тела, получим выражение ускорения в виде второй производной от радиус-вектора по времени:

(2.6)

В общем случае векторы скорости и ускорения образуют какой-то угол. При этом удобно разложить вектор ускорения на две составляющие. Одна из них - параллельна (или антипараллельна) вектору скорости и называется тангенциальной составляющей ускорения. Другая - перпендикулярна вектору скорости, она называется нормальной составляющей ускорения. Тангенциальная составляющая ускорения выражает изменение модуля скорости, а нормальная составляющая - изменение направления скорости. В рассмотренном выше примере тангенциальная составляющего ускорения равна нулю. Вследствие этого скорость изменяется только по направлению, модуль ее остается неизменным.

В общем случае модуль полного ускорения определяется по теореме Пифагора:

Пятиминутка. Радиус-вектор материальной точки изменяется во времени по следующему закону:

Определить координаты точки, векторы ее скорости и ускорения, а также их модули в конце второй секунды движения (при t=2с).

 

2.3. Кинематика вращательного движения, вектор угловой скорости, связь линейно и угловой скорости точки, вектор углового ускорения.

Движение по окружности является частным, но весьма распространенным типом движения. Для него вводятся такие дополнительные кинематические характеристики как угловая скорость - ω и угловое ускорение - ε.

Величина угловой скорости w определяется как отношение приращения угла - dj, на который повернется радиус-вектор точки за время dt, к этому интервалу времени т.е.

(2.8)

Если угол измеряется в радианах, то размерность угловой скорости [рад/с]. С учетом того, что радиан – отношение длины дуги к радиусу – величина безразмерная, размерность угловой скорости – [1/с].

Это вполне естественное определение. Однако, согласно (2.12), и угол поворота и угловая скорость определились как векторные величины. В будущем мы увидим, что такое определение угловых величин оказывается очень удобным и продуктивным. Направление вектора угла поворота определяется правилом правого винта: если правый винт поворачивать в направлении положительного приращения угла, то поступательное движение винта укажет направление вектора приращения угла.

Похожее определение уже встречалось нами при определении векторного произведения. Действительно, если выразить приращение радиус-вектора точки, движущейся по окружности, при ее повороте на угол ∆φ, то получим следующую формулу

(2.9)

Вектор линейной скорости при движении точки по окружности с угловой скорость ω определится на основе (2.9)

(2.10)

Если начало координат совмещено с центром окружности как на рисунке 2.3, то радиус-вектор вращающейся точки и вектор угловой скорости взаимно перпендикулярны. при этом модуль их векторного произведения равен произведению модулей. Следовательно

Вектор углового ускорения определяется через изменение угловой скорости вращения за время Dt:

Размерность углового ускорения [1/с²].

Вектор полного ускорения – это производная от скорости по времени. Из (2.10), получим

(2.13)

Первое слагаемое в (2.13) представляет собой вектор, перпендикулярный радиусу-вектору точки и лежит в плоскости вращения. Это означает, что он параллелен вектору скорости, т.е. - это тангенциальное ускорение точки.

Второе слагаемое перпендикулярно вектору скорости. Следовательно - это нормальное ускорение.

Подставим вместо ее выражение (2.10) и распишем двойное векторное произведение. В результате получим:

Второе слагаемое – это нормальное ускорение. Как видно из (2.15) оно направлено против радиус-вектора - к центру вращения. Поэтому его называют центростремительным.

Пример. Радиус-вектор движущейся точки задан следующим выражением:

Определить характер движения, скорость и ускорение.

Для определения характера движения вычислим модуль радиус-вектора:

(2.16)

Таким образом, при движении точки |r|-const. Можно заключить, что это движение по окружности радиуса R с центром в начале координат.

Вычислим скорость движения точки:

(2.17)

Модуль скорости:

(2.18)

Модуль скорости также не изменяется во времени, следовательно, - это движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Определим ускорение точки:

(2.19)

Сравнив формулы для радиус-вектора точки и ее ускорения, видим, что они выражают противоположно направленные векторы. Если радиус-вектор направлен из центра траектории к точке, то вектор ускорения направлен от точки в центр траектории. При этом модуль ускорения не изменяется во времени и равен |a|=Rω². Вычислим скалярное произведение векторов скорости и ускорения:

Следовательно, в данном примере векторы скорости и ускорения перпендикулярны друг другу. Ускорение нормальное.

Пятиминутка: Материальная точка начинает движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением a_τ=0.5 1/c². Через какое время после начала движения тангенциальное и нормальной ускорения станут одинаковыми по модулю.

 

Динамика

в отличие от кинематики рассматривает движение тел под действием сил. Повседневный опыт показывает, что любое тело, движущееся на Земле или вблизи ее поверхности, само по себе останавливается, если каким-либо образом не поддерживать это движение. Недостаточно критическая оценка результатов опыта приводила к мнению, что для поддержания движения даже с неизменной скоростью необходимо воздействие окружающих тел. Эта точка зрения господствовала в древние времена.

Галилей, по-видимому, первым осознал, что прекращение движения есть результат каких-то воздействий, препятствующих ему (трение). Он понял, что без взаимодействий тело должно двигаться равномерно и прямолинейно (либо покоиться), а взаимодействия с другими телами вызывают изменения движения, т. е. ускорения. Это умозаключение, выходящее за пределы непосредственного опыта, явилось одной из гениальных абстракций в истории физики. Ньютон в своих законах динамики принял и развил мысль Галилея.

Первый закон Ньютона.

Первый закон динамики Ньютона гласит : всякое тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока внешние воздействия (силы) не выведут его из этого состояния.

Свойство тела сохранять свою скорость называют инерцией, а системы отсчета, в которых выполняется этот закон, - инерциальными. Физический смысл закона состоит в том, что для механики нет различия между состоянием покоя и равномерного прямолинейного движения. Таким образом определяется относительность движения. Строго говоря, этот закон является чистой абстракцией, но опыт подтверждает его справедливость.

Причина изменения состояния тела, т.е. появление ускорения связана с понятием силы. Сила - количественная мера воздействия на тело со стороны других тел. Вообще говоря, это воздействие может быть достаточно сложным, но в любом случае его можно разложить на так называемые простые воздействия. Поэтому силой называют количественную меру простого воздействия на тело со стороны других тел, в результате которого тело или его части получают ускорение. Силу принято измерять (в международной системе единиц СИ) в Ньютонах (Н)

До сих пор существуют метрические внесистемные единицы: грамм, килограмм, тонна. Они используются при определении веса тела. (Вес тела - это сила, с которой оно под действием земного притяжения давит на подставку или растягивает нить подвеса). Для измерения силы используют динамометр – пружину со шкалой.

2.5. Второй закон Ньютона. Опыт показывает, что одна и та же сила сообщает различным телам разные ускорения. Более массив-ные тела приобретают меньшие ускорения. Для характеристики способности тел противостоять действию силы используется понятие массы. Чем меньше ускорение, которое получает тело, тем больше его масса, т.е. ускорения тел обратно пропорциональны их массам:

Приняв какую-либо массу за эталон, с помощью этого соотношения можно измерять любую массу. В виду того, что масса в системе СИ является основной единицей, зависимость ускорения тела от приложенной к нему силы и массы используется для определения единицы силы на основании формулы

Ускорение - вектор, масса - величина скалярная (число), поэтому сила тоже вектор, направление которого совпадает с направлением ускорения. Если на тело действует несколько сил, то ускорение тела пропорционально их векторной сумме:

Уравнение (2.22) представляет одну из форм записи второго закона Ньютона. В механике это уравнение принято называть уравнением движения. Это уравнение - векторное, и его можно заменить тремя скалярными, проецируя поочередно (2.22) на оси координат X, Y и Z.

Второй закон Ньютона может быть сформулирован в более общем виде с помощью понятия импульса тела. Импульсом называется величина

где v - скорость тела. Если положить, что масса тела постоянна и не зависит от скорости, то:

Последнее равенство называется основным уравнением динамики.

 

Третий закон Ньютона.

Понятие силы определено как мера взаимодействия тел, т.е. при рассмотрении движения какого-нибудь тела учитывается только одна сторона этого взаимодействия. Ясно, однако, что все тела надо рассматривать как равноправные, т.е. если второе тело воздействует на первое, то и первое тело воздействует на второе. Третий закон Ньютона устанавливает соотношение между этими воздействиями.