Второй критерий устойчивости ЛДС

Нулями передаточной функции (4.5) называют значения z, при которых

Полюсы передаточной функции (4.5) называют значения z, при которых

Карта нулей и полюсов — это изображение нулей (кружками) и полюсов (звездочками) на z -плоскости одновременно с единичной окружностью.

Для определения нулей и полюсов дробно-рациональной передаточной функции следует ее представить в виде отношения многочленов— выразить относительно положительных степеней z!

Пример 4.1 (самостоятельно)

Определить нули и комплексно-сопряженные полюсы передаточной функции звена 2-го порядка:

(4.13)

и построить карту нулей и полюсов (см. аналогично в примере 3.8):

1. Записываем соответствие между передаточной функцией и ИХ для базового звена 2-го порядка:

2. Определяем радиус и аргумент комплексно-сопряженных полюсов:

3. Записываем комплексно сопряженные полюсы:

4. Для определения нулей выражает передаточную функцию относительно положительных степеней z:

5. Записываем нули:

6. Если нули оказались комплексно-сопряженными, определяем их радиус и аргумент :

и записываем нули в виде:

7. Строится карта нулей и полюсов.

4.4. Взаимосвязь передаточной функции и разностного уравнения

Разновидности представления рекурсивных ЛДС обусловлены различным математическим представлением дробно-рациональной функции (4.5):

:

1) произведение простейших множителей:

,

где — нули и полюсы, в общем случае – комплексно сопряженные;

2) произведения множителей второго порядка с вещественными коэффициентами:

,

или при :

; (4.14)

; (4.15)

3) сумма простых дробей:

, (4.16)

где —

4) сумма дробей второго порядка с вещественными коэффициентами:

;

или при :

, (4.17)

. (4.18)