Операции со спектральной плотностью

Лекция 11. Дискретные сигналы

1. Описание дискретных сигналов в z -области.

2. Описание дискретных сигналов в частотной области.

3. Основные свойства спектральной плотности.

4. Связь спектральных плотностей дискретного и аналогового сигналов.

5. Операции со спектральной плотностью:

· сдвиг;

· инверсия;

· формирование сигнала с ОБП.

11.1. Описание дискретных сигналов в z -области

В z-области дискретный сигнал описывается своим …

. (11.1)

Описание дискретных сигналов в частотной области

В частотной области дискретный сигнал описывается своим …

, (11.2)

называемым спектральной плотностью (СП).

В шкале дискретного нормированного времени и нормированной частоты:

. (11.3)

Спектральная плотность связанна с z -изображением соотношением:

(11.4)

11.3. Основные свойства спектральной плотности:

1. СП – непрерывная функция частоты.

2. СП – периодическая функция частоты с периодом в шкалах частот , и .

Доказательство:

 

 

3. Свойство линейности СП:

Доказательство следует из …

4. Для вещественного дискретного сигнала модуль СП – четная, а аргумент –нечетная функция частоты.

Доказательство.

 

5. Модуль (и аргумент) СП вещественного дискретного сигнала рассматривают в основной полосе частот , а комплексного – на периоде .

Запишите соответствие в шкалах и :

 

Поясните, почему это так для модуля СП.

 

 

6. Равенство Парсеваля (пояснить смысл, обратить внимание на пределы суммирования):

. (11.5)

В (11.5) устанавливается равенство между…

 

 

Пределы интегрирования в (11.5) не бесконечные, т.к. СП рассматривается на интервале …

7. Сдвиг СП:

Сдвиг СП вправо реализуется умножением исходной последовательности на экспоненту :

;

. (11.6)

Доказательство:

 

 

Сдвиг СП влево реализуется умножением исходной последовательности на экспоненту…

. (11.7)

8. Сдвиг (задержка) дискретного сигнала:

Дискретному сигналу, задержанному на m отчетов, соответствует умножение СП на экспоненту , т. е. к изменению… СП:

. (11.8)

Доказательство:

Связь спектральных плотностей дискретного и аналогового сигналов

Если дискретный сигнал получен в результате дискретизации аналогового сигнала , то связь между их СП-ми будет иметь вид:

. (11.9)

Спектральная плотность дискретного сигнала равна…

 

 

Связь (11.9) иллюстрируется на рис. 11.1.

Выводы:

1. Точное восстановление аналогового сигнала возможно при

2. При наблюдается …

 

 

Рис. 11.1 иллюстрирует теорему…

Рис. 11.1. Связь СП дискретного и аналоговых сигналов: модуль финитная СП финитного сигнала (а); модуль СП дискретного сигнала при: (б); (в); (г)

Операции со спектральной плотностью

Сдвиг СП – см. свойство 6.

Инверсия СП вещественного сигнала (рис. 11.2)

В результате инверсии любая спектральная составляющая модуля СП оказывается на противоположной частоте:

.

При инверсии СП вещественного сигнала должны обеспечить:

. (11.10)

Рис. 11.2. Инверсия СП

Инверсную СП можно получить посредством…

 

Инверсная СП:

Модули СП и вещественного сигнала …, а аргументы…, т.к.

 

 

Сдвиг СП вправо реализуется посредством…

 

т.е.

Рис. 11.3. Алгоритм реализации инверсии СП

Формирование сигнала с ОБП (рис. 11.4)

Рис. 11.4. Формирование сигнала с ОБП

Последовательность действий (алгоритм) формирования сигнала с ОБП

На рис. 11.4, а – СП вещественного сигнала с двумя БП. Будем выделять правую полосу.

1. Сдвиг СП влево на частоту ­– рис. 11.4, а:

. (11.11)

Реализация сдвига влево (рис. 11.5):

.

2. Фильтрация комплексного сигнала с помощью комплексного ФНЧ (КФНЧ).

КФНЧ представляет собой…

 

 

На рис. 11.4, в представлено условное изображение АЧХ КФНЧ.

На рис. 11.4, г – СП на выходе КФНЧ

На рис. 11.5 – … сигнал на выходе КФНЧ.

3. Сдвиг СП на частоту вправо – рис. 11.4, д.

Реализация сдвига вправо (рис. 11.5):

.

 

Рис. 11.5. Алгоритм формирования сигнала с ОБП