Лекция 7. Функции, непрерывные на сегменте (продолжение)
План
Первая теорема Больцано-Коши
Вторая теорема Больцано-Коши
Первая теорема Больцано-Коши
Теорема 1. Пусть функция 
определена и непрерывна на 
, а на концах сегмента принимает значения разных знаков, то есть 
. Тогда существует такая точка 
, что 
.
Доказательство. Пусть для определенности 
. Разобьем точкой 
пополам (рис.1). Если 
, то все доказано. Если 
, то на концах одного из сегментов 
, 
функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его 
(рис.1). Для него: 
. Будем обозначать длину сегмента 
как 
. Тогда 
.
Сегмент поделим пополам точкой 
. Если 
, то все доказано. Если 
, то на концах 
или 
функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его 
. Для него: 
, 
.
Продолжим этот процесс. Тогда на 
м шаге возможны две ситуации:
1. 
, тогда все доказано;
2. 
. На концах 
или 
функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его 
. Для него: 
, 
.
Предположим, что ни на каком шаге функция в средней точке рассматриваемого сегмента не имеет значения 0. В ходе доказательства мы получили бесконечную последовательность вложенных сегментов:
, (1)
для которых 
, поэтому
. (2)
Из (2) по определению границы последовательности вытекает, что
для 
, что для 
: 
, т.е. для 
в построенной последовательности (1) вложенных сегментов существуют такие, длина которых будет меньше 
. Тогда по лемме о вложенных сегментах из этого будет вытекать, что последовательность (1) вложенных сегментов имеет лишь одну общую точку. Обозначим эту точку 
; для 
: 
, а поскольку длины сегментов стремятся к нулю, когда 
(равенство (2)), то
. (3)
Из (3) очевидно, что мы имеем две сходящихся последовательности: 
, 
, которые сходятся к точке 
. Поскольку по условию теоремы функция непрерывна везде на 
, то она непрерывна и в точке . Тогда по определению непрерывности функции по Гейне:
Поскольку для : 
, то
. (4)
Поскольку для : 
, то
. (5)
Сравнивая (4) и (5), имеем:
.
Таким образом, искомая точка найдена, теорема доказана.
Вторая теорема Больцано-Коши
Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна на , 
, 
. Тогда для 
, что
.
Доказательство. Пусть для определенности 
(если 
совпадает с 
или с 
, тогда как 
можно взять 
или 
- все доказано).
Построим вспомогательную функцию
.
Рассмотрим ее на 
. На этом сегменте 
- непрерывна, потому что является разностью двух непрерывных функций 
и 
, к тому же:
,
,
т.е. на концах сегмента функция принимает значения разных знаков. Тогда по предыдущей теореме 
, что 
, т.е. 
, а тогда , что и нужно было доказать.
Следствие. Пусть функция определена и непрерывна на , тогда множество ее значений - сегмент.
Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса достигает на своих супремума и инфимума. Обозначим:
.
Тогда
;
.
По второй теореме Больцано-Коши функция принимает все промежуточные значения, которые находятся между 
и 
, то есть областью значений является сегмент 
, что и нужно было доказать.
Вопросы
1. Может ли непрерывная на сегменте функция не принимать нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.
2. Может ли непрерывная на интервале функция не принимать нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.
3. Пусть функция определена и непрерывна на , а на концах сегмента принимает значения одного знака. Вытекает ли из этого, что функция не принимает нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.
4. Пусть функция определена и непрерывна на , а на концах сегмента принимает значения разных знаков. Вытекает ли из этого, что функция принимает нулевое значение в какой-то точке сегмента? Ответ объяснить.
5. Доказать первую теорему Больцано-Коши.
6. Доказать, не решая уравнение непосредственно, что уравнение 
обязательно будет иметь корень на сегменте 
.
7. Пусть функция определена и непрерывна на , а на концах сегмента принимает значения разных знаков. Сколько корней может иметь уравнение 
? Ответ объяснить.
8. Пусть функция определена на , а множество ее значений – это 
. Что можно сказать о непрерывности на ? Почему?
9. Доказать вторую теорему Больцано-Коши.
10. Доказать следствие из второй теоремы Больцано-Коши.
