Аддитивная позиционная система счисления.

Информатика

III. Системы счисления

Позиционные системы счисления

К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Любая позиционная система характеризуется ее основанием. Основание (базис) позиционной системы счисления q – это количество знаков (цифр или символов), используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Например, для десятичной системы q=10, поскольку для изображения числа в этой системе используются 10 цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

для двоичной системы q=2 (0, 1);

для восьмеричной системы q=8 (0, 1, …, 7);

для шестнадцатеричной системы q=16 (0, 1, …, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).

Возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления, т. к. за основание можно принять любое число, образовав новую систему счисления.

Запись числа в некоторой системе счисления является кодом числа. Соответственно системам счисления существуют десятичный, двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный коды.

Элементы алфавита, которые используются для записи чисел в некоторой системе счисления, называются цифрами. Позиции для размещения числа называются разрядами числа в данной системе счисления. Количество разрядов в записи числа называется разрядностью числа, которая совпадает с его длиной. Таким образом, длина числа – это количество позиций в записи числа.

Разрядная сетка – это совокупность двоичных разрядов.

Длина разрядной сетки – это число разрядов (позиций), выделяемых в компьютере для представления числа.

Вес разряда числа в некоторой системе счисления – это величина

P_i = qⁱ

i – номер разряда разрядной сетки, отсчитываемый справа налево.

Диапазон представления чисел в заданной системе счисления– это интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, значение которых зависит от длины разрядной сетки, выделенной в компьютере для представления чисел.

Существую мультипликативные и аддитивные позиционные системы счисления.

Для мультипликативных систем счисления справедливо следующее равенство:

= a_nqⁿ х a_{n -1} q^{n -1} х... х a ₁ q ¹ х a ₀ q ⁰ х a _-1 q ^-1 х... х a _{- m} q ^-m

A_q – число, представленное в системе счисления с основанием q

a_i – цифры системы счисления.

n – количество разрядов для целой части числа

m – количество разрядов для дробной части числа

Аддитивная позиционная система счисления.

Большее распространение получили аддитивные системы счисления.

Аддитивная позиционная система должна удовлетворять следующему равенству:

= a_nqⁿ + a_{n -1} q^{n -1} +... + a ₁ q ¹ + a ₀ q ⁰ + a _-1 q ^-1 +... + a _{- m} q ^{- m}

A_q – число, представленное в системе счисления с основанием q

a_i – цифры системы счисления

n – количество разрядов для целой части числа

m – количество разрядов для дробной части числа

Например, 1961,32₁₀ = 1х10³ + 9х10² + 6х10¹ + 1х10⁰ + 3х10^-1 + 2х10^-2

124,537₈ = 1х8² + 2х8¹ + 4х8⁰ + 5х8^-1 + 3х8^-2 + 7х8^-3

1001,1101₂ = 1х2³ + 0х2² + 0х2¹ + 1х2⁰ + 1х2^-1 + 1х2^-2 + 0х2^-3 + 1х2^-4

Согласно равенству, определяющему аддитивность системы, каждый разряд числа в двоичной системе счисления слева от запятой представляется двойкой в соответствующей положительной степени, а справа от запятой – двойкой в отрицательной степени:

24	23	22	21	20	2-1	2-2	2-3	2-4
				1,	0,5	0,25	0,125	0,0625

 

Номер разряда разрядной сетки, отведенной для изображения целого числа в двоичной системе счисления, совпадает с соответствующим показателем степени двойки.

Для разных систем счисления характерна разная длина разрядной сетки, необходимая для записи одного и того же числа.

Например, можно представить числа в разных системах счисления таким образом:

10₁₀ = 1010₂ = 12₈ = A₁₆

16₁₀ = 10000₂ = 20₈ = 10₁₆

255₁₀ = 11111111₂ = 377₈ = FF₁₆

96₁₀ = 140₈ = 1100000₂

Таким образом, чем меньше основание системы счисления, тем больше длина числа.

В любых ЭВМ длина разрядной сетки фиксирована, что принципиально ограничивает точность и диапазон представления чисел.

Если n > 0 – длина разрядной сетки, то

(A_q)_max = qⁿ - 1

(A_q)_min = -(qⁿ - 1)

Например, если в двоичной системе счисления n =3, то (A₂)_max = 111₂ = 7₁₀,