Информатика
III. Системы счисления
Позиционные системы счисления
К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.
Любая позиционная система характеризуется ее основанием. Основание (базис) позиционной системы счисления q – это количество знаков (цифр или символов), используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Например, для десятичной системы q=10, поскольку для изображения числа в этой системе используются 10 цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
для двоичной системы q=2 (0, 1);
для восьмеричной системы q=8 (0, 1, …, 7);
для шестнадцатеричной системы q=16 (0, 1, …, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).
Возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления, т. к. за основание можно принять любое число, образовав новую систему счисления.
Запись числа в некоторой системе счисления является кодом числа. Соответственно системам счисления существуют десятичный, двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный коды.
Элементы алфавита, которые используются для записи чисел в некоторой системе счисления, называются цифрами. Позиции для размещения числа называются разрядами числа в данной системе счисления. Количество разрядов в записи числа называется разрядностью числа, которая совпадает с его длиной. Таким образом, длина числа – это количество позиций в записи числа.
Разрядная сетка – это совокупность двоичных разрядов.
Длина разрядной сетки – это число разрядов (позиций), выделяемых в компьютере для представления числа.
Вес разряда числа в некоторой системе счисления – это величина
Pi = qi
i – номер разряда разрядной сетки, отсчитываемый справа налево.
Диапазон представления чисел в заданной системе счисления– это интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, значение которых зависит от длины разрядной сетки, выделенной в компьютере для представления чисел.
Существую мультипликативные и аддитивные позиционные системы счисления.
Для мультипликативных систем счисления справедливо следующее равенство:
= anqn х an -1 qn -1 х... х a 1 q 1 х a 0 q 0 х a -1 q -1 х... х a - m q -m
 |
Aq – число, представленное в системе счисления с основанием q
ai – цифры системы счисления.
n – количество разрядов для целой части числа
m – количество разрядов для дробной части числа
Аддитивная позиционная система счисления.
Большее распространение получили аддитивные системы счисления.
Аддитивная позиционная система должна удовлетворять следующему равенству:
= anqn + an -1 qn -1 +... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 +... + a - m q - m
Aq – число, представленное в системе счисления с основанием q
ai – цифры системы счисления
n – количество разрядов для целой части числа
m – количество разрядов для дробной части числа
Например, 1961,3210 = 1х103 + 9х102 + 6х101 + 1х100 + 3х10-1 + 2х10-2
124,5378 = 1х82 + 2х81 + 4х80 + 5х8-1 + 3х8-2 + 7х8-3
1001,11012 = 1х23 + 0х22 + 0х21 + 1х20 + 1х2-1 + 1х2-2 + 0х2-3 + 1х2-4
Согласно равенству, определяющему аддитивность системы, каждый разряд числа в двоичной системе счисления слева от запятой представляется двойкой в соответствующей положительной степени, а справа от запятой – двойкой в отрицательной степени:
| 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 2-1 | 2-2 | 2-3 | 2-4 |
| 1, | 0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 |
Номер разряда разрядной сетки, отведенной для изображения целого числа в двоичной системе счисления, совпадает с соответствующим показателем степени двойки.
Для разных систем счисления характерна разная длина разрядной сетки, необходимая для записи одного и того же числа.
Например, можно представить числа в разных системах счисления таким образом:
1010 = 10102 = 128 = A16
1610 = 100002 = 208 = 1016
25510 = 111111112 = 3778 = FF16
9610 = 1408 = 11000002
Таким образом, чем меньше основание системы счисления, тем больше длина числа.
В любых ЭВМ длина разрядной сетки фиксирована, что принципиально ограничивает точность и диапазон представления чисел.
Если n > 0 – длина разрядной сетки, то
(Aq)max = qn - 1
(Aq)min = -(qn - 1)
Например, если в двоичной системе счисления n =3, то (A2)max = 1112 = 710,
