Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки.

Для каждого изделия модели А требуется 3 м² досок, а для изделия модели В – 4 м². Фирма может получать от своих поставщиков до 1700 м² досок в неделю.

Для каждого изделия модели А требуется 12 мин машинного времени, а для изделия модели В – 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует выпускать фирме в неделю, если каждое изделие модели В приносит 2 долл. прибыли, а каждое изделие модели в – 4 долл. прибыли.

 

Ход решения задачи 1

 

2.1 Составим математическую модель

Обозначим через x – количество изделий модели А, выпускаемых в течение недели, y – количество изделий модели В.

Прибыль от этих изделий равна 2x+4y долл. Эту прибыль нужно максимизировать. Функция, для которой ищется экстремум (максимум или минимум), носит название целевой функции.

Беспредельному увеличению количества изделий препятствуют ограничения. Ограничено количество материала для полок: 3x+4y £ 1700. Ограничено машинное время на изготовление полок (на изделие А уходит 0,2 часа, на изделие В – 0,5 часа): 0,2x+0,5y £ 160. Кроме того, количество изделий – неотрицательное и целое число, поэтому: x ³ 0, y ³ 0 и x, y - целые.

Формально задача оптимизации записывается так:

2x+4y ® max

3x+4y £ 1700

0,2x+0,5y £ 160

x ³ 0, y ³ 0

x, y – целые

2.2 Решение задачи в Excel

 

Дайте первому листу имя Полки и введите в ячейки рабочего листа информацию:

 

На вкладке Данные откройте Поиск решения:

 

 

Перейдите в окно Параметры поиска решения, нажав в окне Поиск решения на кнопку Параметры:

 

Сохраните параметры и нажмите кнопку Выполнить для поиска решения. Откроется диалоговое окно Результаты поиска решения.

 

Чтобы сохранить найденное решение, установите переключатель в диалоговом окне Результаты поиска решения в положение Сохранить найденное решение. ( Чтобы восстановить исходные данные, установите переключатель в положение Восстановить исходные значения. )

 

После нажатия ОК вид таблицы меняется: в ячейках Е2 и Е3 появляются оптимальные значения: изделие А нужно выпускать в количестве 300 штук в неделю, а изделие В – 200 штук. Соответственно пересчитываются все формулы. Целевая функция достигает значения 1400.

 

Задача 2

Фабрика выпускает два типа красок – для внутренних и наружных работ. Для производства красок используется три исходных продукта – А, В и С. Объем емкостей для хранения суточных запасов этих продуктов равен соответственно 2, 4 и 6 тонн. Расходы продуктов приведены ниже:

Исходный продукт	Расход исходных продуктов (в тоннах) на единицу краски	Максимально возможный запас
Краска внутр.	Краска наружн.
А		1,3
В	1,5
С		2,1

Изучение рынка показало, что суточный спрос на краску Квн никогда не превышает спрос на краску Кнаруж более чем на 1,5 тонны. Кроме того, исследования показали, что спрос на краску Кнаруж никогда не превышает 2,4 тонн в сутки. Продажные цены для красок (за тонну): Кнаруж= 45000 руб., Квн= 41000 руб.

Вопрос: какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации был максимальным?

Решение оптимизационной задачи, как правило, состоит из трех шагов:

1.Определить, в чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные,

2.Построить математическую модель задачи,

3.Ввести ограничения.

Ход решения задачи 2

4.1 Составим математическую модель

Цель – получение максимальной прибыли.

Для этого необходимо спланировать объем производства. Поэтому переменными будут Хнаруж – суточный объем производства краски Кнаруж и Хвн – суточный объем производства краски Квн.

Суммарная суточная прибыль от производства красок:

Таким образом, необходимо определить среди всех допустимых значений Хнаруж и Хвн те, которые максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию S.

Ограничения:

1. Объем производства красок не может быть отрицательным, поэтому

2. Расход исходного продукта для производства красок не может превосходить максимально возможный запас

3. Ограничения на величину спроса на краски имеют вид:

4.2 Решение задачи в Excel

Заполните ячейки

В окне Поиск решения введите следующие значения:

Решение задачи имеет вид:

Результат: доход от производства краски будет максимальным, если в день производится 2,4 тонны краски для внутренних работ и 1,23 тонны краски для наружных работ.

Сохраните результаты работы и сдайте отчет преподавателю.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Предприятие выпускает две модели механических часов, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства на первой линии – 60 изделий, на второй – 75 изделий. На часы первой модели расходуется 11 однотипных механических элементов, второй – 9. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 900 единицам. Прибыль от реализации одних часов первой и второй модели – 70 и 80 руб. соответственно. Определите оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

2. Фирма по производству моющих средств рекламирует свою продукцию в Интернете, по телевидению, на радио и в печатных изданиях. Затраты на рекламу ограничены 10000$ ежемесячно. При этом один блок рекламы по телевидению стоит в 10 раз дороже, чем по радио, в 5 раз дороже, чем в печатных изданиях и в 50 раз дороже рекламы по Интернету. При этом исследования показали, что эффективность рекламы по Интернету в 3 раза выше, чем в печатных изданиях и в 2 раза эффективнее, чем по радио. Рекламировать товар необходимо во всех источниках средств массовой информации. Определите ежемесячное оптимальное распределение вложений в рекламу.