Тема: Динаміка матеріальної точки

Лекція № 2

Мета лекції:

Ознайомлення з законами динаміки поступального руху

Матеріал лекції сприяє формуванню наступних компетенцій: загально-наукові компетентності КЗН-4 (Базові знання фундаментальних наук в обсязі, необхідному для освоєння загально-професійних дисциплін); Інструментальні компетентності КІ-1 (Здатність до аналізу і синтезу), КІ-5 (Усне і письмове спілкування рідною мовою); Системні компетентності (застосувати свої знання на практиці) КС-1; Спеціалізовано-професійні компетентності КСП-01 (Планування і проведення переходу та визначення місцезнаходження: уміння використовувати небесні тіла для визначення місцезнаходження судна.).

У процесі вивчення динаміки поступального руху курсант повинен отримати:

Знання, про:

- інерціальні системи відліку;

- сили та їх характеристики, рівнодійна кількох сил;

- закони динаміки Ньотона;

- принцип відносності Галілея;

- закон Всесвітнього тяжіння;

- закони Кеплера;

- вплив місяця на фізичні процеси та явища на Землі.

 

План:

1. Межі застосування класичної механіки.

2. Інерціальна система відліку.

3. Сила, рівнодіюча сил, маса тіла. Закони Ньютона.

4. Принцип відносності Галілея.

5. Приклади сил: пружні сили, сили тертя і сили опору. Центр мас абсолютно твердого тіла і системи тіл.

6. Закони Кеплера. Закон Всесвітнього тяжіння.

7. Роль Місяця у виникненні земних припливів та відпливів. Сила тяжіння.

8. Зв'язок між орбітальним періодом і висотою над поверхнею Землі супутників навігації і зв’язку.

 

Механіка, яка базується на трьох законах Ньютона і принципі відносності Галілея, називається класичною механікою. Її висновки справедливі для тіл великих (порівняно з масою елементарних частинок) мас, які рухаються з малими (порівняно із світлом) швидкостями.

Динаміка – розділ механіки, у якому розглядаються причини, що обумовлюють той або інший характер руху тіла. Стан спокою або руху тіла змінюється внаслідок взаємодії його з іншим тілом. Кількісною мірою взаємодії тіл є векторна фізична величина, яка називається силою: . Сила визначена, якщо задані модуль, напрямок і точка, до якої вона прикладена. Рівнодіючою силою називається сила, яка діє на тіло так само, як і всі сили, що прикладені до нього. Вона дорівнює векторній сумі всіх сил, які діють на тіло.

Початкові спостереження за рухом знарядь праці навели на думку, що сила є причиною руху тіла. Саме це стверджував давньогрецький філософ Аристотель. Тільки в 17 ст. італійський вчений Г. Галілей розкрив справжній характер руху тіла. Він показав, що всяке тіло має властивість зберігати рух, а сила є причиною його зміни.

Властивість тіла зберігати рівномірний прямолінійний рух або стан відносного спокою називають інертністю. Вона полягає у тому, що для зміни швидкості тіл потрібен деякий час, чим більший цей час, тим більш інертне тіло. Кількісною мірою інертності тіл є маса: .

Явище зберігання швидкості тіла при відсутності зовнішніх впливів називають інерцією. Системи відліку, у яких виконується явище інерції, називаються інерціальними.

Для інерціальних систем відліку справедливий принцип відносності Галілея, згідно з яким всі інерціальні СВ за своїми механічними властивостями еквівалентні одна одній. Інакше кажучи, у всіх ІСВ усі закони механіки виконуються однаково.

Узагальнюючи досягнення науки свого часу, англійський вчений І. Ньютон сформулював основні закони динаміки.

І-й закон: існують такі СВ, відносно яких тіло, що поступально рухається, зберігає свою швидкість сталою, якщо на нього не діють інші тіла або дія інших тіл компенсується.

В основу першого закону Ньютона покладена інертність, тобто властивість тіл зберігати свій стан незмінним. Рівнодіюча сила в цьому випадку дорівнює нулю: .

ІІ закон Ньютона визначає умови, за якими тіло змінює свою швидкість.

Перше формулювання:

Тіло, на яке діють сили, рухається з прискоренням, величина і напрям якого визначається відношенням рівнодійної всіх сил до маси тіла:

.

Згідно з визначенням прискорення: . Після відповідної підстановки, одержуємо:

, ,

де – імпульс тіла або кількість його руху – векторна фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість. .

Друге формулювання:

Швидкість зміни імпульсу тіла прямопропорційна рівнодіючій силі, що діє на тіло.

ІІІ закон Ньютона визначає характер взаємодії тіл:

Сили, з якими дві матеріальні точки діють одна на одну, завжди рівні за модулем, і спрямовані в протилежні сторони уздовж прямої, що з'єднують ці точки:

.

Особливості сил взаємодії:

- однієї природи;

- прикладені до різних матеріальних точок;

- виникають парами.

Основне рівняння динаміки матеріальної точки – математичний вираз другого закону Ньютона:

.

Розв’язок отриманого рівняння – основна задача динаміки матеріальної точки.

При цьому можливі дві постановки задачі:

1. Знайти F, якщо відомі m і r(t).

2. Знайти закон руху точки, якщо відома маса точки m, сила і визначені початкові умови ( і ).

Сили в механіці.

Силові взаємодії в механіці поділяються на гравітаційні та електромагнітні.

Сили електромагнітної природи:

Пружна сила – сила, яка пропорційна зміщенню матеріальної точки з положення рівноваги і спрямована до положення рівноваги: , де – радіус–вектор, який характеризує зміщення частинки з положення рівноваги, k – коефіцієнт, що характеризує пружні властивості тіла.

Сила тертя – виникає на границі контакту тіл і спрямована протилежно напрямкові пропонованого руху тіл.

Тертя підрозділяють на тертя спокою, тертя ковзання і тертя кочення.

Сила тертя спокою дорівнює проекції зовнішніх сил на лінію контакту L тіл.

.

Тертя ковзання – виникає при ковзанні одного тіла по поверхні іншого.

,

де m – коефіцієнт тертя ковзання, який залежить від природи і стану дотичних поверхонь, N – сила нормальної реакції поверхні.

Сила тертя кочення. Виникає з тієї причини, що точка опори при коченні тіла по поверхні зміщається вперед внаслідок деформації поверхонь, і момент сили тяжіння перешкоджає вільному коченню тіла.

,

де R – радіус тіла, що котиться, m_коч – коефіцієнт тертя кочення, який має лінійну розмірність і залежить від роду тіл.

Окрім сили внутрішнього тертя на тіло, що рухається у середовищі, діє сила нормального тиску. Сума цієї сили та сили в’язкого тертя дістала назву сили опору. При невеликих швидкостях ця сила є пропорційною першому ступеню швидкості:

(знак мінус вказує на те, що сила опору завжди спрямована в бік протилежний швидкості).

При великих швидкостях ця залежність стає квадратичною:

Центр мас абсолютно твердого тіла (тіло, яке ні за яких умов не деформується і за всіх умов відстань між двома точками якого залишається постійною), або системи матеріальних точок – це уявна точка С, положення якої характеризує розподіл маси цієї системи, її радіус вектора дорівнює:

Висновок: Центр мас будь–якої системи рухається так, ніби вся маса системи зосереджені в цій точці, і до неї були б прикладені всі зовнішні сили. При цьому прискорення центра мас зовсім не залежить від точок прикладання зовнішніх сил.

Якщо система замкнута, і , то .

Висновок: У замкнутій системі швидкість ЦМ залишається сталою при будь–якому русі тіл усередині системи.

При обертанні планет навколо Сонця їхня відстань до Сонця змінюється. Більш точно, всі планети рухаються по близьким до колових еліптичним орбітам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. Точку П орбіти, що знаходиться найближче до Сонця, називають перигелієм, а діаметрально протилежну їй точку А – афелієм (рис. 4.1).

На підставі численних дослідних даних Й. Кеплер сформулював такі закони, щодо обертання планет навколо Сонця:

1 Кожна планета рухається навколо Сонця по еліпсу, в одному із фокусів якого міститься Сонце.

2 Радіус-вектор, проведений від Сонця до планети, описує рівні площі за однакові проміжки часу.

3 Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх еліптичних орбіт:

(4.1)

Із закону рівності площ випливає, що швидкість руху планет біля перигелію найбільша, а біля афелію – найменша.

Закони Кеплера, знайдені емпірично, дали можливість І. Ньютону встановити закон Всесвітнього тяжіння, який формулюється наступним чином: «Усі тіла у Всесвіті притягуються с силами, прямо пропорційними добутку їхніх мас і обернено пропорційними квадрату відстані між ними:

(4.2)

де – універсальна гравітаційна стала. У векторному вигляді його можна записати наступним чином:

(4.3)

де – сила притягання, що діє на матеріальну точку масою – радіус-вектор, проведений з цієї точки у точку, де міститься матеріальна точка масою Закон Всесвітнього тяжіння можна застосовувати як для матеріальних точок так і для однорідних тіл кулеподібної форми.

І. Ньютон пояснив виникнення припливів і відпливів, що відбуваються внаслідок дії сили тяжіння з боку Місяця. Схематично це можна пояснити так. Вважатимемо, що Земля покрита рівномірним шаром води (рис. 4.2). Внаслідок різних відстаней точок А, В і С від Місяця їхні прискорення будуть різними. Шар води поблизу точки А матиме більше прискорення, ніж шар води поблизу точки С. Отже, шари води поблизу точки А випереджатимуть земну кулю, а шари води біля точки С, навпаки, відставатимуть. Це приводить до того, що на лінії, яка з'єднує центри Місяця і Землі (див. рис. 4.2), утворюються два виступи (припливи), які переміщуються навколо Землі при її обертанні навколо власної осі. В цей самий час на кінці діаметра земної кулі, перпендикулярного до лінії АС, рівень води знизиться, тобто буде відплив. Отже, на земній кулі, де проходить лінія АС, двічі на добу відбуватимуться припливи. Відповідно двічі на добу відбуватимуться і відпливи. Справжня картина припливів і відпливів значно складніша.

Сила з якою всі тіла притягуються до Землі зветься силою тяжіння Землі. За другим законом Ньютона її величина дорівнює:

(4.4)

де – прискорення вільного падіння. З іншого боку, за законом Всесвітнього тяжіння де –маса і радіус Землі; – висота над її поверхнею. Тоді

(4.5)

Таким чином, прискорення вільного падіння залежить від географічної широти і висоти над поверхнею Землі. Усереднене по поверхні Землі значення дорівнює

Системи супутникового зв'язку можна розглядати як особливий вид радіорелейних ліній зв'язку, якщо антену ретранслятора підвісити на опору, висота якої дорівнює висоті орбіти супутника. У такій системі зв'язку значно збільшується зона прямої видимості поверхні Землі, що переглядається з супутника і, відповідно, розміри земної території, з якої видно супутник в один і той же момент часу.

Радіоустаткування супутникової системи зв'язку, розташоване на супутнику, називають космічної радіостанцією, а радіоустаткування, розташоване на Землі, називають наземної радіостанцією. Канал передачі радіосигналу від наземної станції на супутник називають вихідним, а канал передачі сигналів у зворотному напрямку - приймальними. На супутниках, крім ретрансляційної апаратури, розміщують також джерела електроживлення (сонячні батареї). Крім того, на супутниках є обладнання, що забезпечує стабілізацію положення супутників на орбіті і орієнтування його в просторі (антени ретранслятора направляють у бік Землі, сонячні батареї - у бік Сонця).

Характеристики супутникових систем зв'язку в значній мірі залежать від параметрів орбіти супутника. Орбіта супутника - це траєкторія руху супутника в просторі.

Фізичне тіло виходить на кругову орбіту навколо Землі і стає її супутником, якщо йому надати першу космічну швидкість. У цьому випадку доцентрова сила, рівна силі тяжіння Землі, яка діє на супутник, врівноважується доцентровою силою, яка визначається лінійною швидкістю супутника і відстанню між центрами мас Землі і супутника, рівного R+h, де R - радіус Землі, h - висота супутника над поверхнею Землі. Без урахування інших факторів, що впливають на поведінку супутника на орбіті, рівняння стану динамічної рівноваги супутника має вигляд:

де m - маса супутника; M - маса Землі, рівна М = 5,98 * 10²⁴ кілограм маси; γ - гравітаційна постійна, рівна γ = 6,67 * 10^-11 м³ / кгс²; R - середній радіус Землі, рівний R = 6371 км.

Для висот, значно від менших радіуса Землі (h<<R), вираз спрощується:

де – прискорення вільного падіння біля поверхні Землі.

Швидкість, необхідна для того, щоб рух тіло перетворилося на супутника Землі, визначається як:

Перша космічна швидкість біля поверхні Землі (h ~ 0) . Період обертання супутника навколо Землі визначається як:

Графіки залежності лінійної швидкості супутника на круговій орбіті і періоду обертання супутника навколо Землі від висоти орбіти над поверхнею Землі наведені на малюнку.

Більш точні формули руху супутника враховують вплив інших факторів (відмінність форми Землі від кулястої, тяжіння Місяця, Сонця та інших небесних тіл і т.д.).

Якщо супутнику надати швидкість більшу, ніж перша космічна, то він буде рухатися по еліптичній орбіті. Швидкість супутника при русі по еліптичній орбіті безперервно змінюється від найменшого значення в точці максимального віддалення від Землі (апогей) до максимального значення в точці найбільшого зближення із Землею (перигей).

Орбіти можуть проходити в будь-якому напрямку навколо земної кулі, але площина орбіти буде проходити через центр Землі. Орбіти можуть бути класифіковані за різними ознаками.

Орбіти розрізняють за взаємним розташуванням площини орбіти супутника і площини земного екватора. Якщо площина орбіти супутника збігається з площиною екватора Землі, то орбіту супутника називають екваторіальній. Орбіту називають полярною, якщо площина орбіти супутника проходить через полюси Землі. Орбіту називають похилою при інших взаємних розташуваннях площини орбіти супутника і площини земного екватора.

Орбіти можуть бути круговими з центром кола, розташованим в центрі Землі, або еліптичними, при цьому центр Землі знаходиться в одному з фокусів еліпса. Крім того, орбіти розрізняються також по висоті над поверхнею Землі.

Унікальні властивості має супутник, розташований на екваторіальній орбіті, на висоті близько 36 тисяч кілометрів від поверхні Землі. Період обертання супутника на такій висоті збігається з періодом обертання Землі навколо своєї осі. Якщо на таку орбіту запустити супутник в напрямку, що збігається з напрямком обертання Землі, то такий супутник буде здаватися нерухомим щодо поверхні Землі. Супутник на такій орбіті називають геостаціонарним.

Для побудови супутникових систем зв'язку використовують, в основному, три різновиди орбіт: геостаціонарну орбіту, високу еліптичну орбіту і низько-висотну орбіту. Зразкові схеми цих орбіт наведені на малюнку.

Ділянка земної поверхні, на якій можуть бути розташовані наземні станції супутникового зв'язку, називається зоною обслуговування.

 

Питання для самоконтролю:

1. Дайте визначення сили та вкажіть її характеристики.

2. Що таке рівнодійна сил?

3. Дайте визначення інерції.

4. Сформулюйте закони Ньютона, запишіть їх математичні формули та вкажіть умови, за яких вони застосовуються.

5. Дайте визначення та запишіть математичні формули для розрахунку сил: тертя, пружності, опору

6. Сформулюйте закони Кеплера та запишіть їх математичні вирази.

7. Сформулюйте закон Всесвітнього тяжіння та запишіть його математичний вираз.

8. Виведіть залежність прискорення вільного падіння від висоти.

9. Який зв'язок між орбітальним періодом і висотою над поверхнею Землі супутників навігації і зв’язку?

 

Література:

1. Бушок Г.Ф., Венгер Є.Ф. Курс фізики: У 3 кн. Кн.1. Фізичні основи механіки. Молекулярна фізика і термодинаміка: Навч. Посібник. – Вища школа, 2002. – 375с.

2. Воловик П.М. Фізика: Для університетів. – К.; Ірпінь: Перун, 2005. – 864с.

3. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т. 1. Механика, молекулярная физика, колебания и волны. – М.: Наука, 1974. – 336 с.

4. Кучерук І.М., Горбачук І.Т. Загальний курс фізики. У 3 т.: навч. посіб. для студентів вищ. техн.і пед. закл.освіти / За ред. І.М.Кучерука. Т.1. Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка. – К.: Техніка, 1999. – 536с.