Рассмотрим произвольную совместную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений:
Пусть у нее в общем случае 
, то есть имеется бесконечное множество решений.
Теорема 4.1. Сумма любого решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с любым решением соответствующей ей однородной системы является решением неоднородной системы.
Доказательство. Возьмем произвольное решение неоднородной системы
и произвольное решение соответствующей ей однородной системы 
Рассмотрим их сумму 
.
Если данная сумма является решением неоднородной системы, то она должна превратить в тождество любое ее уравнение:
что и требовалось доказать.
Теорема 4.2. Разность любых двух решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений является решением соответствующей однородной системы.
Доказательство. Возьмем два произвольных решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений:
и 
. 
Составим их разность.
Подставим полученную разность в любое уравнение неоднородной системы:
Так как левая часть уравнения обратилась в ноль, значит, 
является решением однородной системы, что и требовалось доказать.
Из теоремы 4.2 следует, что если 
, то 
. Иначе говоря, взяв какое-то одно решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений 
и прибавляя к нему разные решения соответствующей однородной системы 
, получим разные решения неоднородной системы, что подтверждается теоремой 4.1. Следствие. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений равно сумме какого-то частного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы.
Теорема Кронекера – Капелли.
Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n неизвестными
Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.
Примем ее без доказательства.
Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.
11. Система трех линейных неоднородных алгебраических уравнений: определение и метод Крамера решения. Примеры.Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в котором является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.
Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:
Здесь 
— количество уравнений, а 
— количество переменных, 
— неизвестные, которые надо определить, к оэффициенты 
и свободные члены 
предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений (
) формируются по следующему соглашению: первый индекс (
) обозначает номер уравнения, второй (
) — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент[1]. Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (
), иначе —неоднородной. Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы(причём для таких уравнений решение существует и единственно)
Пример.Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами: 
Определители:
