Примерные задачи для подготовки к экзамену по дисциплине
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
I. СЛАУ
- Решить систему уравнений
а) с помощью формул Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.
- Исследовать систему на совместность, в случае совместности указать число базисных и число свободных неизвестных, найти решение:
а) 
б) 
- Определить, при каком значении параметра
система однородных линейных уравнений имеет множество решений (неопределенна) и решить систему при найденном
- Вычислить определитель по теореме о разложении; найти произведение матриц, элементами которых являются элементы миноров
и 
а) 
б) 
- Вычислить: а) ранг матрицы С =А * В
, 
б) r(A), если А= 
- Решить матричные уравнения
а) 
б) 
.
Указание: 
- Вычислить определитель матрицы
если
транспонированная матрица А.
- Найти
из уравнения а) 
; б) 
- Для матрицы
не существует обратной матрицы при а =?
II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- Даны точки А(3; -7; 4) и В(0; -5; -2). Найти координаты и длину вектора АВ.
- Найти координаты и длину вектора
, если 
и 
-
Если 
то 
- Определить, при каких значениях векторы
и 
будут ортогональными (перпендикулярными). - Определить, при каких значениях
и 
вектора 
и 
будут коллинеарными? - Даны векторы
Разложить вектор 
через векторы 
и 
- Найти косинус угла между векторами
и 
- Найти проекцию вектора
на вектор 
- В плоскости находятся два вектора и
. Даны модули этих векторов 
и угол между ними 
. Найти скалярное произведение этих векторов и модуль вектора 
-
Найти координаты вектора , который перпендикулярен и вектору 
и вектору 
III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
- Составить общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки А (-3, 5) и В (1, 3).
- Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку пересечения прямых 2х +2y =5 и 3x – y = 1.5, которая а) параллельна прямой y = 5x + 3, б) перпендикулярна прямой y = 2x – 5.
- Составить уравнение медианы АМ и высоты ВК треугольника АВС, если А(-3;3), В(2;4),С(0;-1).
- Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ, где А (6;4), В (4; -2).
- Уравнение окружности с центром в точке С(-3;1) и радиусом R =2 имеет вид…
- Написать уравнение прямой, проходящей через центр окружности
перпендикулярно прямой 
- Составить каноническое уравнение гиперболы, мнимая ось которой равна 4 а уравнения асимптот имеют вид
- Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет
а) эллипса 
б) гиперболы 
Записать уравнения асимптот.
- Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между его фокусами равно
а длинна большой оси равна 12. Построить эллипс, указать его вершины и эксцентриситет.
IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
- Плоскости
и 
перпендикулярны, если m =? - Составит уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости 
. - Составит уравнение плоскости, которая проходит через точку
, перпендикулярно двум плоскостям 
и 
- Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
- Среди плоскостей
указать параллельные и перпендикулярные. - Определить угол между двумя плоскостями
- Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно: а) вектору 
; б) прямой 
- Составит параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно вектору 
- Центр сферы
имеет координаты? - Вершина конуса
имеет координаты?
РАЗНОЕ
- Потребитель тратит весь свой доход на потребление двух благ А и В. В таблице приведены ежемесячные данные об объемах потребления и динамике изменения дохода потребителя по отношению к предыдущему месяцу:
| месяцы | потребление | Доход потребителя (у.е) | |
| Благо А(ед) | Благо В(ед) | ||
| январь | |||
| февраль | Увелич на 20% | ||
| март | Увелич на 25% |
Найти отношение стоимости единиц блага А к стоимости единицы блага В?
Указание. x - стоимость единицы блага А, y - стоимость единицы блага В. Доход потребления: январь 
, февраль….., март…….Динамика 
……..Найти 
- Потребитель тратит весь свой доход на потребление двух благ А и В. В таблице приведены ежемесячные данные об объемах потребления и динамике изменения дохода потребителя по отношению к предыдущему месяцу:
| месяцы | потребление | Доход потребителя (у.е) | |
| Благо А(ед) | Благо В(ед) | ||
| январь | |||
| февраль | Увелич. на 20% | ||
| март | Уменьш. на 25% |
Найти отношение стоимости единиц блага А к стоимости единицы блага В?
- Потребитель тратит весь свой доход на потребление двух благ А и В. В таблице приведены ежемесячные данные об объемах потребления и динамике изменения дохода потребителя по отношению к предыдущему месяцу:
| месяцы | потребление | Доход потребителя (у.е) | |
| Благо А(ед) | Благо В(ед) | ||
| январь | |||
| февраль | Увелич. на 20% | ||
| март | Уменьш. на 25% |
Если стоимость единицы блага А равна 3 у.е., то доход потребителя в марте изменился на? у.е.
Указание. Надите 
. По условию y =3. Найдете x. Рассчитаете доход в феврале и марте и найдете разницу в доходе вычитанием.
