Производная.
Определение производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции (без доказательства, найдена производная дифференцируемой функции). Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Примеры непрерывных функций, не являющихся дифференцируемыми. Пример функции, имеющий гладкий график, но не являющейся дифференцируемой. Примеры функций, имеющих бесконечные производные (плюс, минус и без знака). Формулировка предела, который надо найти для вывода производной синуса. Производная сложной функции. Таблица производных от 12 основных элементарных функций (без вывода). Правила дифференцирования четырёх арифметических действий (без вывода). Теорема Ферма (геометрический смысл вместо доказательства). Теорема Лагранжа (геометрический смысл вместо доказательства). Следствие из теоремы Лагранжа. Следствие из следствия из теоремы Лагранжа. Правило Лопиталя (без доказательства).
Исследование функций.
Достаточный признак возрастающей (убывающей) функции (без доказательства). Точки экстремума функции. Определение максимума и минимума. Необходимый признак экстремума функции. Точки подозрительные на экстремум. Достаточный признак экстремума функции (без доказательства).
Лекция №12
26 октября 2011 года
Выпуклость (вогнутость) графика функции. Нахождение формулы касательной к графику функции. Достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции. Точки перегиба графика функции. Необходимый признак точек перегиба графика функции (без доказательства). Достаточный признак точек перегиба графика функции (без доказательства). Достаточный признак экстремума функции по второй производной. Асимптоты. Нахождение вертикальных асимптот.
Лекции №13 и №14
2 ноября 2011 года
Нахождение невертикальных (наклонных и горизонтальных) асимптот. Независимость друг от друга наличия и вида асимптот на разных бесконечностях.
Дифференциал.
Определение дифференциала функции. Дифференциал независимой переменной. Обозначение производной с помощью дифференциалов. Инвариантность дифференциала.
Неопределённый интеграл.
Понятие первообразной функции. Свойства первообразной функции. Неопределённый интеграл. Производная неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл от производной. Дифференциал неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл от дифференциала. Линейность неопределённого интеграла. Замена переменной в неопределённом интеграле. Правило интегрирования по частям. Получение таблицы интегралов из таблицы производных.
Определённый интеграл.
Определение определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Линейность определенного интеграла. Монотонность определённого интерала по функции. Монотонность определённого интерала по промежутку. Случаи, когда верхний предел меньше или равен нижнего предела. Аддитивность определенного интеграла (геометрический смысл вместо доказательства). Замечание о справедливости свойства аддитивности при произвольных отношениях порядка между пределами интегрирования. Теорема о среднем значении (геометрический смысл вместо доказательства). Теорема о производной от определенного интеграла по верхнему пределу (теорема Барроу). Формула Ньютона-Лейбница. Обозначение скачка функции на отрезке с помощью вертикальной палочки, обычно используемое в формуле Ньютона-Лейбница.
Лекция №15
9 ноября 2011 года
Определенные интегралы от кусочно-непрерывных функций.
Несобственный интеграл.
Несобственный интеграл по неограниченному (справа, слева, с обеих сторон) промежутку. Несобственный интеграл от неограниченной функции. Несобственный интеграл от функции с особенностью на левом конце промежутка, на правом, во внутренней точке промежутка, на обоих концах промежутка. Несобственный интеграл от функции с бесконечными границами по неограниченному о обоих сторон промежутку.
Ряды.
Числовые ряды. Сумма бесконечного числа слагаемых. Сумма ряда. Сходимость ряда. Нахождение коэффициентов разложения функции в степенной ряд. Факториал. Определение факториала от нуля. Разложение функции в ряд Маклорена (без доказательства и без формулировки теоремы). Разложения в ряд экспоненты. Получение в виде ряда константы e.
Лекции №16 и №17
16 ноября 2011 года
Разложение в ряд синуса. Получение разложения косинуса дифференцированием ряда для синуса. Интегрирование в виде ряда.
Комплексные числа.
Определение комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Число i. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Модуль комплексного числа. Аргумент комплексного числа (многозначный и однозначный). Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа. Экспонента от комплексного числа. Формула Муавра. Корень натуральной из степени комлексного числа (их количество). Логарифм комплексного числа (многозначный и однозначный). Синус и косинус комплексного числа. Тангенс и котангенс комплексного числа. Способ вычислить обратные тригонометрические функции от комплексного числа. История развития понятия числа.
Функции многих переменных.
Функции нескольких переменных. Формула Евклида для определения расстояния. Понятие окрестности в многомерном пространстве. Понятие проколотой окрестности в многомерном пространстве. Определение предела функции нескольких переменных.Непрерывность функции нескольких переменных.
