Операции со сложными процентами

Финансовые вычисления базируются на понятии временной ценности денег. Наиболее широко они применяются для оценки инвестиционных проектов, в операциях с рынком ценных бумаг, в ссудозаемных операциях, в оценке бизнеса и др.

При этом разработаны специальные модели и алгоритмы, которые позволяют ориентироваться в истинной цене будущих доходов, с позиции текущего момента.

1. Проценты или процентные деньги – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме.

Например: выдача ссуд, продажа товаров в кредит, помещение денег на депозитные счета, покупка облигаций и т.д.

Измеряются в денежных единицах и обозначаются – I.

Процентная ставка – это относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Измеряется в виде десятичной дроби, редко в виде обыкновенной дроби, либо в процентах.

Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты, то есть получается доход, который может быть разбит на интервалы на начисления.

Интервал начисления – минимальный период времени, по прошествию которого происходит начисление процентов

Проценты, согласно договоренности между кредитором и заемщиком, либо выплачиваются по мере их начисления, либо присоединяются в основной сумме долга.

Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов, называется нарощением или ростом исходной суммы. Возможно также определение процентов при движении от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта.

Такой способ называется – дисконтирование или сокращение.

Искомая величина

Логика финансовых операций

заданы

заданы

Искомая величина

P2 – приведенная сумма

Si – сумма, ожидаемых поступлений d – процентная ставка

Дискон - Е

наращение

S – возвращаемая сумма

P – исходная сумма i – процентная ставка

Настоящее время Будущее время

 

 

Существуют различные способы начисления процентов, при которых применяют разные виды процентных ставок:

1. Декурсивный способ начисления процентов: проценты начисляют в конце каждого интервала начисления исходя из величины предоставленной в долг суммы, при этом используется декурсивная процентная ставка (i) или ссудный процент. Представляет собой – выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме имеющейся на начало данного интервала. S – будущая или наращиваемая сумма, Р - современная или первоначальная сумма, тогда I=S-P, i = I/P*100%=(S-P)/P*100%

2. Антисипативный способ, при котором проценты начисляются в начале каждого интервала начисления исходя из наращенной суммы, т.е. суммы долга увеличенной за счет присоединения начисленных процентов. Используется антисипативная процентная ставка(d), учетная ставка или ставка дисконта. Эта ставка – выраженное в процентах отношение суммы доходов, выплачиваемого за определенный интервал к величине наращенной суммы полученной по прошествии этого интервала.

d = (S-P)/S*100%=D/S*100%.

При обоих способах начисления процентов, проценты могут быть либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной сумме в течении всего периода начисления), либо сложные (если по прошествии каждого интервала начисления, если они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущий интервал процентов).

При начислении простых процентов нарощение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, при начислении сложных в геометрической.

В практических расчетах применяются дискретные проценты, которые начисляются за фиксированные интервалы времени (год, полугодие и т.п.).

Непрерывные проценты, когда нарощение или дисконтирование происходит непрерывно за бесконечно малые промежутки времени, чаще используют в теоретических разработках.

Вопрос.

НАРОЩЕНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ.

Обычно применяются в краткосрочных финансовых операциях со сроком проведения до года, либо когда по договору проценты не присоединяются к сумме долга а периодически выплачивается. Наращиваемая сумма S определяется умножение первончальной суммы P на множитель наращения.

Множитель наращения – во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Если n срок ссуды операции в годах, i – декурсивная,d- антисипатвная.

То проценты за весь срок ссуды составил I=P*i*n

Причем каждый год будет приносить проценты в сумме P*i

Тогда наращенная сумма будет определяться по формуле

S=P+I=P+P*i*n

S=P*(1+n*i) 1

1+n*i – множитель наращения простых декурсивных процентов

 

d – годовая учтенная ставка или антисипативная

D=S*d*n как дисконт

S=P+D=P+Sdn

S=P/(1-nd) 2

1/(1-nd) – множитель наращения простых антисипативных процентов

 

Продолжительность финансово операции n не всегда равна целому числу лет.

К – продолжительность года в днях (временная база)

t- количество дней пользования ссуды, тогда n=t/K

тогда первая формула S=P*(1+n*i) принимает следующий вид S=P*(1+(t/K)*i) -3 формула

вторая аналогично становится 4

если К=365 или 366 дней то проценты называются точными

если К= около 360 дней то проценты называют обыкновенными или коммерческими.

По счет длительности ссуды t также может быть точным (по календарю, либо по специальным таблицам номеров дней в году СКИНУТ) либо приближенным (исходя из продолжительности года в 360 дне при этом сначала подсчитывают число полных месяцев умножают их на 30 и затем добавляют число дне в неполных месяцах).

При расчетах используют правило день выдачи и день возврата ссуды считают за один день.

На практике применяют три варианта расчета простых процентов:

1. (365/365) – точные проценты с точным числом дней ссуды

2. (365/360) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

3. (360/360) – обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ

Дисконтирование – расчет современной стоимости будущих денежных поступлений, когда по известной будущей стоимости S и заданным значением i(d) процентной или учетной ставки и длительности финансовой операции n=t\k, находят первоначальную современную приведенную текущую стоимость P.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования.

1. Математическое дисконтирование

2. Банковский или коммерческий учет

 

1. Математическое дисконтирование – решение задачи обратно наращению первоначальной суммы когда расчеты выполняются по формуле:

1 и 3 – P=S/(1+ni)

1/1+ni – дисконтный множитель математического дисконтирования который показывает какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной ее сумме.

2. Банковский учет (учет векселей) – получил название от одноименной банковской операции. В ходе которой банк до наступления срока платежа по векселю приобретает его у владельца ниже наименования. Разница между номиналом и выкупной ценой образуют прибыль банка по этой операции. ДИСКОНТ.

Проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму подлежащую уплате в конце срока.

Применяется учетная ставка.d

Выкупная цена векселя или современная стоимость определяется по формуле

P=S(1-nd), n=t/k

n – срок от момента уплаты до даты погашения векселя.

1-nd – дисконтный множитель банковского учета по простым процентам.

ПРИМЕР НОМЕР 1.

Владелец векселя номиналом 25000 рублей(S), обратился в банк с предложением учесть его за 60 дней t до наступления срока погашения, банк согласен выполнить операцию по простой учетной ставке 35% годовых d, сколько составит выкупная цена векселя P-?. К= 360 дней

P=S(1-nd),n=t\k

P=25000(1-60\360*0,35) = 23541

ЗАДАЧА НОМЕР 2

Покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1млн рублей S. Уровень простой процентной ставки i=d=30% проценты обыкновенные. К=360 значит. Рассчитать текущую стоимость товара.

1 метод: математическое дисконтировнаие

P=S/(1+ni)

P=1000000/(1+90/360*0,30) = 930233

2 метод

P=S(1-nd),n=t\k

P=s(1-nd) = 1000000*(1-90\360*0,3)=925 тыс

Для кредитора более удобней 2 вариант так как сумма меньше.

 

Следует помнить что жестких тербований в выборе метода финансовых расчетов не существует.