Необхідна ознака збіжності числового ряду. Гармонійний ряд.

Лекція 23

Тема: Числові ряди.

Основні поняття

Нескінченні ряди широко використовуються в теоретичних дослідженнях математичного аналізу, мають різноманітні практичні застосування.

Числовим рядом (або просто рядом) називається вираз вигляду

(1)

де дійсні або комплексні числа, які називають членами ряду, - загальним членом ряду.

Ряд (1) вважається заданим, якщо відомий загальний член ряду виражений як функція його номера .

Сума перших членів ряду (1) називається -ою частинною сумою ряду і позначається через , тобто . Розглянемо часткові суми

Якщо існує кінцева границя послідовності часткових сум ряду (1), то цю границю називають сумою ряду (1) і говорять, що ряд збігається. Записують: .

Якщо не існує або , то ряд (1) називають тим, що розбіжний. Такий ряд суми не має.

Розглянемо приклади:

1. Ряд 2 + 17 - + 196 +... не можна вважати заданим, а ряд 2 + 5+8 +... — можна: його загальний член задається формулою

2. Ряд 0 + 0 + 0 +... + 0 +... збігається, його сума дорівнює 0.

3. Ряд 1 + 1 + 1 +... + 1 +... розбіжний при

4. Ряд 1 – 1 + 1 –1 + 1 – 1 +... розбіжний, оскільки послідовність, частинних сум 1,0,1,0,1,0... не має границі.

5. Ряд збігається. Дійсно,

……………………,

Отже, тобто ряд збігається, його сума дорівнює 1.

Властивість 1. Якщо ряд (1) збігається і його сума дорівнює , то ряд

(2)

де с – довільне число, також збігається і його сума дорівнює . Якщо ж ряд (1) розбіжний і , то і ряд (2) розбіжний.

Позначимо частинну суму ряду (2) через . Тоді

.

Отже, тобто ряд (2) збігається і має суму

Покажемо тепер, що якщо ряд (1) розбіжний , то і ряд (2) розбіжний. Припустимо протилежне: ряд (2) збігається і має суму .

Тоді Звідси отримуємо: тобто ряд (1) збігається, що суперечить умові про розходження ряду (1).

Властивість 2. Якщо збігається ряд (1) і збігається ряд

(3)

а їх суми дорівнюють і відповідно, то збігаються і ряди

(4)

причому сума кожного дорівнює відповідно .

Позначимо частинні суми рядів (1), (3) і (4) через , і відповідно. Тоді тобто кожний з рядів (4) збігається, і сума його дорівнює відповідно.

З властивості 1 витікає, що сума (різниця) рядів, що збігаються і рядів, що розбіжні є ряд, що розбіжний.

В справедливості цього твердження можна переконатися методом від протилежного.

Відзначимо, що сума (різниця) двох рядів, що розбіжні, може бути як рядом, що збігається, так і рядом, що розбіжний.

Властивість 3. Якщо до ряду (1) додати (або відкинути) кінцеве число членів, то отриманий ряд і ряд (1) збігаються або розбіжні одночасно.

Позначимо через суму відкинутих членів, через — найбільший з номерів цих членів. Щоб не змінювати нумерацію членів ряду (1), що залишилися, вважатимемо, що на місці відкинутих членів поставили нулі. Тоді при п > виконуватиметься рівність де — це п-а частинна сума ряду, отриманого з ряду (1) шляхом відкидання кінцевого числа членів. Тому . Звідси випливає, що границі в лівій і правій частинах одночасно існують або не існують, тобто ряд (1) збігається (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збігаються (розбіжні) ряди без кінцевого числа його членів. Аналогічно міркуємо у разі приписування до ряду кінцевого числа членів.

Ряд (5) називається -ою остачею ряду (1). Він отримується з ряду (1) відкиданням п перших його членів. Ряд (1) виходить із остачі додаванням кінцевого числа членів. Тому, згідно властивості 3, ряд (1) і його остача (5) одночасно збігаються або розбіжні.

З властивості 3 також випливає, що якщо ряд (1) збігається, то його остача прямує до нуля при , тобто

Ряд геометричної прогресії. Дослідимо збіжність ряду

(), (6)

який називається рядом геометричної прогресії. Ряд (6) часто використовується при дослідженні рядів на збіжність.

Як відомо, сума перших членів прогресії знаходиться по формулі . Знайдемо границю цієї суми:

Розглянемо наступні випадки в залежності від величини

1. Якщо | | < 1, то при . Тому ряд (6) збігається, його сума дорівнює

2. Якщо | | > 1, то при . Тому , ряд (6) розбіжний;

3. Якщо | | = 1, то при = 1 ряд (6) приймає вигляд + а + +... + +..., для нього і , тобто ряд (6) розбіжний; при = - 1 ряд (6) приймає вигляд а - - в цьому випадку = 0 при парному п і = а при непарному п. Отже, не існує, ряд (6) розбіжний.

Отже, ряд геометричної прогресії збігається при | | < 1 і розбіжний при | | 1.

Необхідна ознака збіжності числового ряду. Гармонійний ряд.

Знаходження -ої частинної суми і її границі для довільного ряду у багатьох випадках є непростою задачею. Тому для з'ясування збіжності ряду встановлюють спеціальні ознаки збіжності. Першою з них, як правило, є необхідна ознака збіжності.

Теорема Якщо ряд (1) збігається, то його загальний член и прямує до нуля, тобто = 0.

□ Нехай ряд (1) збігається і . Тоді і (при і Враховуючи, що при >1, отримуємо: ■

Наслідок 1. (достатня умова розбіжності ряду). Якщо 0 або ця границя не існує, то ряд розбіжний.

□ Дійсно, якби ряд сходився, то (за теоремою) =0. Але це суперечить умові. Значить, ряд розбіжний. ■

Теорема 1. дає необхідну умову збіжності ряду, але не достатню: з умови =0 не випливає, що ряд збігається. Це означає, що існують ряди, що розбіжні, для яких, = 0.

Для прикладу розглянемо так званий гармонійний ряд

(7)

Очевидно, що =0. Проте ряд (7) розбіжний. Покажемо це.

Як відомо, Звідси випливає, що при будь-якому має місце нерівність Логарифмуючи цю нерівність на основі , отримаємо: тобто

Підставляючи в отриману нерівність по черзі отримаємо:

Склавши поважно цю рівність, отримаємо Оскільки отримуємо тобто гармонійний ряд (7) розбіжний.

В якості другого прикладу можна взяти ряд

Тут = Проте цей ряд розбіжний.

Дійсно, тобто Отже, при , ряд розбіжний.

Достатні ознаки збіжності знакосталих рядів. Необхідна ознака збіжності не дає, взагалі кажучи, можливості говорити про те, чи збігається даний ряд чи ні. Збіжність і розбіжність ряду у багатьох випадках можна встановити за допомогою так званих достатніх ознак.

Розглянемо деякі з них для знакосталих рядів, тобто рядів з від’ємними членами (знаконегативний ряд переходить знакосталий шляхом множення його на (-1), що, як відомо, не впливає на збіжність ряду).

Ознаки порівняння рядів.

Збіжність або розбіжність знакосталих ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим («еталонним») рядом, про який відомо, збігається він чи ні. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.

Теорема Нехай дано два знакосталі ряди

(2.1) (2.2)

Якщо для всіх виконується нерівність

(2.3)

то із збіжності ряду (2.2) виходить збіжність ряду (2.1), з розбіжності ряду (2.1) виходить розбіжність ряду (2.2).

□ Позначимо -і частинні суми рядів (2.1) і (2.2) відповідно через і . З нерівності (2.3) виходить, що

(2.4)

Нехай ряд (2.2) збігається і його сума дорівнює . Тоді Члени ряду (2.2) додатні, тому і, отже, з урахуванням нерівності (2.4), Таким чином, послідовність монотонно зростає () і обмежена зверху числом За ознакою існування границі послідовно має границю тобто ряд (2.1) збігається.

Нехай тепер ряд (2.1) розбіжний. Оскільки члени ряду від’ємні, в цьому випадку маємо Тоді, з врахуванням нерівності (2.4), отримуємо тобто ряд (2.4) розбіжний. ■

Зауваження. Теорема 2.1 справедлива і у тому випадку, коли нерівність (2.3) виконується не для всіх членів рядів (2.1) і (2.2), а починаючи з деякого номера . Це випливає з властивості 3 числових рядів.

Теорема (гранична ознака порівняння). Нехай дано два знакосталі ряди (2.1) і (2.2). Якщо існує кінцева, відмінний від 0, границя то ряди (2.1) і (2.2) збігаються або розбіжні одночасно.

□ За визначенням границі послідовності для всіх , крім, можливо, кінцевого числа їх, для будь-якого > 0 виконується нерівність , або (2.5)

Якщо ряд (2.1) збігається, то з лівої нерівності (2.5) і теореми 14.2.1, випливає, що ряд також збігається. Але тоді, згідно властивості 1 числових рядів, ряд (2.2) збігається.

Якщо ряд (2.1) розбіжний, то з правої нерівності (2.5), теореми 2.1, властивості 1 випливає, що і ряд (2.2) розбіжний.

Аналогічно, якщо ряд (2.2) збігається (розбіжний), то рядом, що збігається (розбіжний) буде і ряд (2.1). ■

Ознака Даламбера. На відміну від ознак порівняння, де все залежить від здогадки і запасу відомих рядів, що збігаються і розбіжні, ознака Даламбера (1717-1783, французький математик) дозволяє часто вирішити питання про збіжність ряду, виконавши лише деякі операції над самим рядом.

Теорема 2.3. Нехай дано ряд (1) з додатніми членами і існує кінцева або нескінченна границя Тоді ряд збігається при <1 і розбіжний при > 1.

□ Оскільки , то за означенням границі для будь-якого >0 знайдеться натуральне число N таке, що при п > N виконується нерівність

або . (2.6)

Нехай < 1. Можна підібрати так, що число < 1. Позначимо + = , <1. Тоді з правої частини нерівності (2.6) отримуємо або и < и , п>N. Через властивість 3 числових рядів можна вважати, що и < и для всіх =1,2,3... Даючи номеру ці значення, одержимо серію нерівностей:

тобто члени ряду менше відповідних членів ряду , який збігається як ряд геометричної прогресії із знаменником 0< <1. Але тоді, на підставі ознаки порівняння, збігається ряд , отже, збігається і початковий ряд (1).

Нехай >1. В цьому випадку . Звідси випливає, що, починаючи з деякого номера N, виконується нерівність >1, або тобто члени ряду зростають із збільшенням номера . Тому . На основі наслідку з необхідної ознаки ряд (1) розбіжний. ■

Зауваження.

1. Якщо , то ряд (1) може бути як, тим що збігається, так і тим, що розбіжний.

2. Ознаку Даламбера доцільно застосовувати, коли загальний член ряду містить вираз або

Радикальна ознака Коші. Іноді зручно користуватися радикальною ознакою Коші для дослідження збіжності знакосталого ряду. Ця ознака багато в чому схожа з ознакою Даламбера, про що говорять його формулювання і доведення.